時變混合系統的在線FastICA算法*

陳海平,張 杭,路 威,張 江

(1.解放軍理工大學通信工程學院,江蘇南京210007;2.總參第63研究所,江蘇南京210007)

時變混合系統的在線FastICA算法*

陳海平1,張 杭1,路 威1,張 江2

(1.解放軍理工大學通信工程學院,江蘇南京210007;2.總參第63研究所,江蘇南京210007)

現有的多數盲源分離(BSS,Blind Source Separation)算法都是假設混合系統是時不變的,然而在實際的通信系統中混合系統常常是時變的。傳統的快速不動點(FastICA)算法具有快速收斂的優點,但是不能直接用于處理混合系統時變的盲源分離問題。為了提高盲源分離算法的收斂速度和對時變混合系統的跟蹤性能,改進了傳統FastICA算法,將混合信號分段,在各段樣本中估計峭度并采用批處理的方法進行分離。仿真實驗表明,改進后的FastICA算法能在時變環境中跟蹤混合系統的時變,并能有效地抗多音干擾。

盲源分離 時變 快速不動點算法 收斂速度 在線算法

0 引 言

盲源分離是在源信號和信道未知的條件下,根據源的獨立性,僅利用傳感器輸出的混合信號來實現源信號的分離的過程[1],是信號處理領域和神經網絡領域的研究熱點之一。在無線通信系統中,由于信號源或接收端運動等因素影響,無線信道往往是時變的。因此,研究時變混合盲源分離算法具有重要的意義。

然而,大部分盲分離算法都是在假設混合系統時不變的條件下得到的,如特征矩陣聯合近似對角化(JADE)算法[2]、快速不動點算法(FastICA)及其改進算法[3-4]等,這些算法無法實時跟蹤混合系統的時變,因此不能用來解決時變混合盲分離問題。

根據對數據處理方式的不同,盲分離算法可分為在線算法(或自適應算法)和批處理算法。通過在線算法估計的分離矩陣既與前一時刻估計的分離矩陣有關,還與當前時刻的觀測信號有關,因此,在線算法具有跟蹤時變混合系統的能力。而批處理算法則不具備這種能力,如果在時變混合系統中采用基于混合系統時不變假設的批處理算法,恢復的源信號往往是錯誤的。很多經典的盲源分離算法可用于解決時變混合的盲源分離問題,如基于獨立性的等變自適應(EASI,Equivariant Adaptive Separation via Independence)盲源分離算法,非線性主元分析(NPCA,Nonlinear Principal Component Analysis)算法等,但是這些算法收斂速度慢,當混合信道變化很快時無法跟蹤信道變化。

為了提高算法收斂速度和對時變混合系統的跟蹤性能,文中將借鑒傳統FastICA算法的快速收斂、迭代簡潔等優點,但是由于FastICA算法屬于批處理算法,它是以四階累積量(即峭度)作為非高斯性的度量,基于不動點迭代推導而來的,無法跟蹤混合系統的時變。因此,文中考慮改進FastICA算法,使之能夠跟蹤混合系統的時變,實現在時變混合條件下的盲源分離。考慮到峭度作為非高斯性的度量,不能用單個樣點值估計,必須以一定數量的采樣點才能比較準確地估計出來,因此,文中將采用分段批處理的方法改進FastICA算法,使之既保持FastICA算法快速收斂和迭代形式簡潔的優點,又能跟蹤時變混合系統。

1 問題描述

1.1 時變混合盲源分離

時變混合盲源分離的模型如圖1所示。

圖1 時變混合盲源分離模型Fig.1 Time-varying BSS model

假設具有n個相互統計獨立分量的源信號矢量s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T中,至多只有一個分量是高斯的,其中t=1,2,…,L表示采樣時刻,L為采樣長度。經過時變系統混合后,得到觀測信號(或混合信號)矢量x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T,其中m為觀測信號的分量個數,本文考慮m=n(即適定混合)的情況。混合過程可由下式表示:

其中n(t)=(n1,n2,…,nn)T是系統中的噪聲矢量, A(t)是時變混合矩陣。

盲源分離的主要任務是使觀測信號x(t)= (x1(t),x2(t),…,xm(t))T通過盲分離算法分離后,得到的分離信號y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T的各個分量盡可能統計獨立。

對觀測數據進行白化預處理有助于簡化對數據的后續分離,在時變環境中,一般采用在線白化的方法來實現觀測信號的白化預處理,白化信號z(t)= (z1(t),z2(t),…,zn(t))T可由以下迭代公式得到:

其中Q(t)為t時刻的白化矩陣,η為迭代步長,I為單位矩陣。然后為白化信號尋找一個合適的分離矩陣W(t),使得白化信號z(t)經過W(t)后得到各分量盡可能獨立的分離信號y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T,即

由于盲源分離問題存在順序和幅度的不確定性,當全局矩陣G=W(t)Q(t)A(t)可表示成置換矩陣和對角陣的乘積時,即可認為y(t)是源信號s(t)的有效估計。

1.2 時變混合系統

在時變混合盲源分離中,常常用時變混合矩陣來描述混合系統的時變。文中考慮混合方式為時變線性瞬時混合的情形,并把時變混合矩陣A(t)建模成漸變模型。

為了表示方便,在時變混合系統中建立直角坐標系,如圖2所示。源S1和S2(S2與坐標軸原點O重合)以及一個傳感器X1固定,而另一個傳感器X2以一定的速度v在x軸上的B、C兩點之間來回運動,S1X1與x軸平行。若只考慮自由空間損耗,則可認為傳感器接收到的信號的衰減因子為其與源之間的距離平方的倒數[5],因此圖2所示的時變混合矩陣可表示為

隨著傳感器X2的不斷運動,混合矩陣不斷變化,于是得到一個漸變的混合系統。由于源和傳感器之間發生了相對運動,必然產生多普勒頻移,即傳感器接收到的信號是經過多普勒頻移的混合信號,經算法分離后得到的信號也是帶多普勒頻移的信號。一般而言,通信系統接收端有消除多普勒頻移的處理,但這并不是盲源分離算法解決的問題,所以,文中不予討論。

圖2 時變混合系統模型Fig.2 Time-varying mixing system model

2 FastICA算法

FastICA算法由芬蘭赫爾辛基工業大學學者提出,是盲源分離算法中一種快速有效的典型批處理算法,這種算法因無需設置迭代步長,迭代形式簡單,且收斂速度快而被廣泛運用。

FastICA算法往往以峭度作為非高斯性的度量,可定義以下代價函數[3]:

其中w是W的列向量。對上式求導,可得代價函數對w的梯度:

考慮到數據經過白化后有:E{(wTz)2}=‖w‖2=1,因此,可以得到FastICA算法的迭代公式:

在實際中,我們用所有樣點的統計平均值來估計式(7)中的峭度和數學期望[6],然而,在時變混合盲源分離中,由于系統時變,要求以在線的方式對混合數據進行實時處理,因此FastICA算法不能直接用于解決時變混合盲源分離問題。為此,我們改進了FastICA算法。

3 改進的FastICA算法

在時變混合系統中必須采用在線算法進行實時處理,而要想使用式(5)有效地估計峭度,又要求利用更多的數據通過批處理的方式進行估計,為了解決這個矛盾,考慮如圖2所示的時變混合信道,當傳感器以低于50 km/h的速度運動時,在一段較短的時間間隔內混合矩陣變化很小,可以認為混合信道是基本時不變的,這時可以利用傳統的FastICA算法進行分離,并且段與段之間實現在線處理。

首先將L個采樣點等分成若干段,定義一個新的代價函數:

其中,H(t)是一個寬度為τ的窗函數,設當前處理第k段數據,則窗函數可表示為:

由式(8)可知,新的代價函數可以通過分段的方式進行近似在線估計,對w求導,可得到新的代價函數的梯度:

若τ的取值合適,不僅可以比較準確地估計出峭度,還能做以下近似替換,方便計算:

令新的代價函數的梯度與w相等,就得到一種新的不動點算法:

每次迭代后均對w做歸一化處理,即使其范數為1:

在實際應用中,時間間隔長度應兼顧間隔時間內混合信道的時不變性,時間間隔越大,對峭度的估計就越準確,算法的精度就越高,但同時間隔時間內混合信道的時不變性越差;反之,間隔時間混合信道的時不變性越好,但對峭度的估計越不精確,算法的精度也越差。

我們把這種新算法稱為改進的FastICA算法,為了方便表示,記為M-FastICA算法。由以上分析可知,當τ=L時,M-FastICA算法與FastICA算法相同;當τ=1時,M-FastICA算法變成普通的在線算法,但此時無法估計峭度;若τ的取值合適,則既可以較為準確地估計出峭度,又可以以近似在線的方式處理數據,這樣就能跟蹤混合系統的時變。

4 仿 真

下面通過Matlab仿真驗證文中所提算法在時變混合系統中的分離性能。為了便于描述算法的分離性能,采用性能指數(PI)[7]和相似度[1]作為評價準則,其定義如下:

式中,gij表示全局矩陣G的第i行第j列元素。PI的值越接近于零,說明算法對混合信號的分離效果越好。

相似系數ξij(t)是衡量t時刻已經分離得到的輸出信號波形與源信號波形之間相似程度的評價指標,其定義如下[10]:

其中sj為源信號向量S的第j個源信號,yi為盲分離算法分離出的第i個信號,cov(sj,yi)=E{[sj-E[sj]][yi-E[yi]]}為sj和yi之間的協方差。

文中采用相似度系數以10為底的對數:ξ=lg[ξij(t)]來描述分離信號和源信號的相似程度,則該值越接近于0,則可以認為分離效果越理想。

窗函數H(t)的寬度為τ=1 000個采樣間隔,初始分離矩陣設為W(0)=I。

由于M-FastICA算法采用分段批處理的思想進行設計,每段數據采用相同的分離矩陣分離,對于每段數據,本文選用一個PI值來表示該段的分離效果。圖3給出了NPCA算法和M-FastICA算法分段性能指數PI隨采樣點的變化關系曲線。由圖3可知,M-FastICA算法收斂速度快于NPCA算法,采用M-FastICA算法得到的第一段數據(即前1 000個樣點)的PI值較大,說明其分離效果較差,這主要是因為樣點數少,算法尚未達到收斂;從第二段數據始, PI值較小,說明分離效果較好。

圖3 NPCA算法和M-FastICA算法的相似度曲線Fig.3 PI curve of NPCA and M-FastICA algorithm

圖4給出了各段源BPSK信號與分離得到的BPSK信號的相似度曲線,由圖4可得到與圖3相似的結論,第一段分離信號與源信號的相似度遠低于其余各段的相似度,自第二段數據始,分離信號與源信號的相似度達到0.99以上,分離效果較好。

圖4 NPCA算法和M-FastICA算法得到的各段數據的相似度曲線Fig.4 Similarity curves of each subsection of NPCA and M-FastICA algorithm

為進一步驗證M-FastICA算法的性能,文中還仿真了該算法的誤碼性能。仿真中干信比取JSR= 10 dB,其他仿真條件和仿真環境與前面相同,圖5給出了將混合信號直接解調得到的誤碼率和采用文中所提算法得到的誤碼率隨信噪比SNR變化曲線。

圖5 誤碼率隨信噪比變化曲線Fig.5 Curve ofthe BER versus SNR

由圖5可知,在時變環境中,M-FastICA算法的誤碼性能隨信噪比增大而提高,當信噪比滿足SNR≥7 dB時,誤碼率隨信噪比增大而快速減小,而當1 dB＜SNR＜7 dB時,誤碼率隨信噪比增大而緩慢減小,主要原因是M-FastICA算法采用分段方式估計峭度,估計精度不夠高,加之混合信道是時變的,所以,當信噪較低時,誤碼性能主要受算法分離精度的影響,隨著信噪比的增加,算法的誤碼性能改善得不是很明顯。

5 結 語

FastICA算法具有收斂速度快和迭代簡單的優點,但其屬于批處理算法,不能實時跟蹤信道變化。為了提高算法收斂速度和跟蹤時變信道的性能,文中在FastICA算法的基礎上,運用分段的思想將混合信號分成若干段,由于混合信道緩慢變化,因而可近似認為在各段數據中混合信道是時不變的,因此,可在各段數據中采用FastICA算法進行分離,這樣我們就得到一種改進算法——M-FastICA算法,該算法保持了傳統FastICA算法簡潔的迭代。仿真實驗表明,在時變環境中,M-FastICA算法收斂速度快于NPCA算法,并且能有效地抗多音干擾。

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CHEN Hai-ping(1989-),male,graduate student,majoring in blind signal processing.

張 杭(1962—),女,碩士,教授,博士生導師,主要研究方向為盲信號處理,通信抗干擾等;

ZHANG Hang(1962-),female,M.Sci.,professor,doctoral tutor,mainly specialized in blind signal processing,communication anti-jamming,etc.

路 威(1978—),男,博士,副教授,主要研究方向為通信信號處理、通信抗干擾等;

LU Wei(1978-),male,Ph.D.,associate professor,maily engaged in communication signal processing,communication anti-jamming,etc.

張 江(1984—),男,博士,工程師,主要研究方向為盲信號處理等。

ZHANG Jiang(1984-),male,Ph.D.,engineer,principally working at blind signal processing,etc.

On-Line FastICA Algorithm for Time-Varying Mixing System

CHEN Hai-ping1,ZHANG Hang1,LU Wei1,ZHANG Jiang2
(1.Institute of Communication Engineering,PLA University of Science and Technology,Nanjing Jiangsu 210007,China; 2.No.63 Research Institute,PLA General Staff Headquarters,Nanjing Jiangsu 210007,China)

Most existing BSS(Blind Source Separation)algorithms are developed by assuming that the mixing matrix is invariable.However,the mixing matrix is commonly time-varying in practical communication system.The traditional fast fixed-point(FastICA)algorithm cannot directly separate the sources mixed in time-varying system,although is very fast in convergence.Thus in order to accelerate the convergence rate and improve the tracking performance for time-varying system,the FastICA algorithm is modified by dividing samples into several subsections,thus to estimate the kurtosis and separate the sources off-line in each subsection.Simulation results indicate that the modified FastICA algorithm could track the time-varying system effectively.

blind source separation;time-varying;FastICA;convergence rate;on-line algorithm

TN911.7

A

1002-0802(2014)02-0136-05

10.3969/j.issn.1002-0802.2014.02.003

陳海平(1989—),男,碩士研究生,主要研究方向為盲信號處理;

國家自然科學基金:欠定條件下基于擾信分離的信干比增強方法研究(No.61001106)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China:Signal-to-Jamming Ratio Enhancement Research based on the Separation of Interference and Signal in the Underdetermined Condition(No.61001106)