深海復合材料懸鏈線立管基于可靠度的優化設計

沈欽雄，楊和振，朱云

上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院海洋工程國家重點實驗室，上海200240

0 引 言

隨著經濟的快速增長，為了滿足市場需求，油氣的勘探與開采逐漸由陸地向海洋延伸，由淺海邁向深海。然而，深海復雜多變的水文環境與海況使得傳統立管容易遭受破壞。一方面，傳統的深海立管多由金屬材料結構設計而成，而金屬材質的高密度使得其隨著作業水深的增加，鋼制立管的重量會使得結構的頂部張力急劇增大，從而嚴重限制海洋平臺的開采輸出能力；另一方面，在海水的長期浸泡下，鋼制立管容易發生腐蝕，因此必須進行周期性的檢修與維護，但繁瑣的拆卸與安裝過程會影響正常的生產運營能力。復合材料作為新型的結構材料，由于其具有比強度高、比剛度大、抗疲勞、耐腐蝕性能好以及良好的阻尼特性等優點，近年來得到許多企業的關注，也投資了大量的資金用于不同行業的研究與推廣，尤其在航空及深海鉆井領域最為顯著［1-5］。本研究采用的是異于傳統柔性管和鋼制立管的新型粘結性深海立管，由于該類型的立管目前國內還沒有，國外也只是處于研究階段，因此進行實用的例子較少，本文只是提出一種指導性的設計方法。

復合材料立管的可設計性較強，疊層順序不同、各層鋪角變化以及層間厚度差異等都會影響到結構的應力狀態，可能導致結構性能降低或可靠性指數不足。傳統的確定性優化設計并沒有將設計變量的不確定性因素考慮進去，這就有可能使所設計的結構可靠性不高甚至是無效。在工程實際中，不確定性因素主要包括材料屬性、環境載荷的變化以及制造工藝水平的差異等。由于復合材料結構復雜，設計變量眾多，因此材料參數屬性的微小變化都會對結構力學性能產生較為明顯的影響；再者，深海復合材料立管的工作環境惡劣，若立管破壞，會造成重大的環境污染和人員傷亡。由此，基于可靠性的深海復合材料立管優化設計就顯得尤為重要。

近年來，有關深海復合材料海洋管線結構的相關研究日益得到重視。Sparks 等［6］首次對采用復合材料生產立管進行了設計和分析。Baldwin等［7］系統地闡述了采用復合材料生產立管的設計，并將其運用于3 000～5 000 ft 的海域，發現減重效果良好，并能降低成本。由于復合材料具有可設計性強的特點，許多學者也對其結構上的關鍵參數進行了優化設計研究。Lemanski 等［8］在給定的截面剛度特性下，對具有4 個疊層的復合材料圓柱殼進行確定性優化，提出了基于全局目標的近似迭代方法，該方法相對于傳統的一階連續線性規劃方法具有較高的運算效率及魯棒性。Teófilo 等［9］運用優化技術對復合材料懸鏈線立管進行初步設計，將結構強度和穩性作為優化模型的邊界約束，以復合材料層厚度和纖維角為設計變量，得到了較好的設計結果。劉昊等［10］在考慮多工況不同危險截面的強度和屈曲的情況下，建立了等效結構模型，使用多島遺傳算法進行優化設計，為深海復合材料立管的工程實際設計提供了一定的借鑒價值。Yang［11］采用蒙特卡羅及代理模型的方法對深海鋼懸鏈線立管進行了隨機性優化，相比于確定性優化結果，該方法既能保證結構的可靠性，又能降低材料成本，還可大大提高計算效率。

基于上述研究，本文將為深海復合材料立管設計提供一種確保安全性的、基于可靠度的優化設計方法。深海復合材料懸鏈線立管一般動輒上千米，為簡化運算，本文擬采用整體局部分析的方法，通過整體分析得到危險截面的內力，再用這些內力進行局部有限元分析。在對局部模型進行優化分析時，若每次優化均調用有限元模型，將耗費較大的運算成本。因此，提出運用試驗設計方法來構建Kriging 近似模型，然后利用蒙特卡羅撒點方法對比分析確定性優化（Deterministic Optimiza?tion，DO）與可靠性優化（Reliability-Based Design Optimization，RBDO）的結果。

1 方法介紹

1.1 復合材料立管等效力學特性

復合材料層合立管是由一系列單層板根據設計所需的剛度和厚度按一定的順序和鋪角疊合而成。建立如圖1 所示的全局坐標系，其中x 軸平行于管線的縱向，y 軸和z 軸構成的平面平行于管線橫截面，在全局坐標系下計算復合材料立管的等效力學特性。

圖1 復合材料管線全局坐標系Fig.1 Global coordinate system of the composite tube

由于復合材料結構存在層合角，為便于計算分析，常引進材料坐標系，即局部坐標系（x1，x2，x3）。其中x1為纖維角方向，x2為垂直于纖維角指向面內方向，x3為垂直于x1和x2組成的平面指向面外方向。

在局部坐標系下，由廣義胡克定律可知相應的應力—應變關系

其中，系數矩陣Q 可由本構關系得到

由上述分析可知，在實際應用中，材料坐標系與全局坐標系并不重合，因此，需要對結構進行偏軸方向上的應力—應變轉換，即

式中，Tσ和Tε分別為應力和應變轉換矩陣。

由式（3）可知偏軸下的應力—應變關系為

式中：m=cos θ ；n=sin θ 。其中，θ 為單向板纖維角。

由經典層合板理論（CLT）可知，與中性面相平行的應變可表示為

式中：ε0為中面應變（膜應變）；κ 為層合板曲率；z 為距中和軸的距離。

由經典層合板理論，可知

式中：A 為拉伸剛度；D 為彎曲剛度；B 為拉伸與彎曲的耦合剛度矩陣；N，M 分別為層合板的內力和內力矩。

對于對稱鋪設結構而言，層與層的拉伸和彎曲之間沒有耦合，因此B=0。將式（7）進行相應的求逆變換，可得到相應的柔度矩陣

對于細長梁結構而言，通常假定Nx=0 和Mx=0。則上式可簡化為

將上式求逆并忽略耦合項，可得相應的新的剛度矩陣

1.1.1 軸向剛度計算

考慮應變僅有εx且在每層中為常數的情況，軸向拉力可表示為

考慮復合材料的對稱性，沒有剛度耦合項，即Bx=0 時，由式（11），有

由于ds=Rdα（R 為中性面半徑），則

1.1.2 彎曲剛度計算

由材料力學可知，復合材料的截面彎曲剛度在旋轉坐標下為

根據平行移軸定理，可得整體坐標系下的彎曲剛度

將上式進行積分，得復合材料管線的等效彎曲剛度

1.2 試驗設計及近似模型

試驗設計（Design of Experiment，DOE）是以概率論和數理統計為理論基礎，經濟、科學地安排試驗的一項技術，它為研究者展示如何進行科學研究的概貌，試圖解決研究的全過程。DOE 可以獲得更多的設計空間信息，了解各個設計變量是如何對目標函數及約束產生影響，得到設計后的一組結構化數據，從而構建出近似模型。本文將運用局部有限元模型對結構進行深入分析，但在進行優化時，如果每次都調用有限元仿真模型，其迭代時間的耗費將非常巨大。因此，為了避免高強度的仿真迭代計算，減少計算成本，引進了近似模型［12］。近似模型（Approximation Model）用于模擬一系列輸入參數與輸出響應之間的響應關系，其可以在不降低計算精度的前提下有效減少計算運行時間。常用的近似模型為Kriging 模型

式中：βi為回歸系數；fi(x)為基于設計變量x 的多項式函數；Z(x)是一個隨機過程，滿足均值為0、方差為σ2的高斯隨機分布函數。在預定的設計空間中，fi(x)提供了全局模擬近似，而Z(x)則提供了局部模擬近似。

Kriging 近似模型是基于小樣本數據點的建模方法。不同于傳統的數值參數化模擬，Kriging 模型是一種半參數模型，模型的有效性并不依賴于試驗設計點隨機誤差的存在，這就使得模型的運用范圍更廣，更為靈活方便［13］。另外，所構造的Kriging 近似模型覆蓋了所有的設計樣本點，這使得所包含的變量信息更為全面，模型精度更高，但同時也使得構建模型所耗費的時間成本更大。

2 算例分析

深海立管作為深水資源開發的關鍵設備，其一端連接海底井口，另一端連接水上浮式平臺結構。由于管線自身重量，再加上海上波浪的作用，使得立管與頂部平臺懸掛區域有著較大的張力，立管與底部觸地區域有著較高的屈曲應力，因此，傳統的鋼制立管在深海工作中面臨著諸多挑戰。而復合材料立管由于具有高比強度、高比剛度、低重量和耐腐蝕等優良特性，使得其在深海油氣開發中發揮著日益重要的地位。復合材料懸鏈線立管較輕的重量特性大大降低了立管頂端張力，使得所連接的海洋平臺更小，從而可相應地降低成本。另外，復合材料懸鏈線立管的高比強度與高比剛度特性使其能適應更為惡劣的海況［14］。

2.1 整體—局部分析法

在結構設計中，往往會涉及到大構件的局部詳細分析，即分析大型結構在不同工況下，某些關鍵截面的局部力學響應。要深入分析關鍵截面的局部特性，普遍的做法是借助通用有限元軟件對結構進行較密的網格劃分，加載求解以獲得所需區域的截面應力、應變與彎矩等力學特性。對深海復合材料立管而言，一般是采用殼單元或者實體單元建立仿真模型，然而要建上千米的深海復合材料立管，再進行相應的網格劃分以獲得關鍵截面的力學響應，面對如此龐大的結構，一般難以承擔高昂的運算成本。因此，本文分析的方法是：先利用復合材料等效理論分析得到相應的等效彈性模量等力學特性，利用有限元軟件建立整體模型，加載求解得到關鍵截面的力學響應；然后再建立詳細的局部結構模型，從而精確求解結構在不同工況下的響應。相比于建立細化的整體模型而言，整體—局部分析方法不僅能簡化建模過程，提高運行效率，還能節約大量的計算成本，并在一定程度上改善計算精度。圖2 所示為整體與局部分析模型。

圖2 深海復合材料懸鏈線立管整體模型與局部模型Fig.2 The global and local model of the deep-water composite catenary riser

2.2 設計參數分析

優化設計的主要流程如圖3 所示。

圖3 復合材料懸鏈線立管優化設計流程圖Fig.3 The flow chart of composite catenary risers optimization design

設計變量：

1）復合材料鋪層厚度ti(i=1，2，3，4，5)，為連續性變量，其中0.5 mm ≤ti≤10 mm ；

2）復合材料鋪層角度θi(i=1，2，3，4，5)，為連續性變量，其中-90°≤θi≤90°。

約束條件：

1）內襯層需要滿足結構強度約束條件，查相關手冊［15］可知，X80 鋼的屈服強度為550 MPa，相應的應力衡準系數為SFline＞1；

2）復合材料層滿足結構強度約束條件，考慮到首層破壞時的最大應力，通過最大應力準則計算得到最大應力衡準系數SFstress＞3；

3）復合材料管滿足外壓屈曲約束條件，在1 500 m 水深下計算的屈曲應力為Buckling ≥45.2 MPa。

優化數學模型：

深海復合材料立管截面屬性如表1 所示。其內襯層由X80 鋼制成，內襯層的主要作用是保證內部管道封閉，使管內流體順利流通。選用AS4-Epoxy 作為復合材料層，這樣一方面可以有較明顯的減重效果，另一方面，相應的力學性能也較為優越。

表1 復合材料立管材料屬性Tab.1 The mechanic properties of composite riser

初始設計選用正交鋪設方式，鋪設為（90/0/90/0/90）s，其中s 表示對稱鋪設形式。立管內襯層厚度為5 mm，復合材料各層厚度均為2 mm。利用經典層合板理論以及復合材料等效理論對立管做整體梁模型的等效，計算得到相應的等效材料屬性如表2 所示。

表2 等效后的復合材料立管屬性Tab.2 The effective properties of composite riser

通過上述等效材料屬性，建立整體分析模型，加載求解關鍵截面的響應。隨機性優化參數如表3 所示。

表3 復合材料立管隨機性優化參數Tab.3 The probabilistic optimization parameteters of composite riser

2.3 Kriging 模型的精度評估

本次研究采用優化拉丁方方法進行試驗設計以獲得設計空間信息，優化拉丁方方法是隨機拉丁試驗方法的一種改進方法，其優化了試驗設計矩陣每列中各個水平出現的次序，這樣，就使得各個樣本設計點的分布較為均勻，所構建的近似模型也更加準確。近似模型的構建采用Kriging 代理模型，采用交叉驗證圖來對代理模型的精度做直觀驗證，并給出相應的均方根誤差RSME（又稱標準誤差）進行衡量。

式中：yi為局部復合材料立管的實際響應值；y^i為由Kriging 代理模型計算的預測值；n 為總的樣本數據點。均方根誤差并不是實際的測量值誤差，也不是誤差范圍，它是對一組測量數據可靠性的估計。均方根誤差越小，測量的可靠性就越大，反之，測量就不大可靠，它是用來衡量觀測值與真值之間偏差的。

圖4 中的預測響應值代表的是由Kriging 代理模型計算得到的輸出響應值，真實響應值代表的是直接由有限元模型計算得到的輸出響應值。從最終總質量的交叉驗證圖可以看到，Kriging 代理模型具有較高的擬合精度。另外，計算邊界約束最大應力衡準系數SFstress、內襯層應力衡準系數SFline以及外壓屈曲應力Buckling 的均方根誤差RSME 分別為2.63%，3.69%和3.48%，從近似模型精度評估指標RSME 上看，Kriging 代理模型的擬合效果滿足初步設計的要求。因此，完全可以用Kriging 代理模型來近似取代局部復合材料立管的有限元模型，進行進一步的結構優化設計，這樣不僅能有效減少計算運行成本，還不失計算精度，從而提高優化效率。

圖4 Krging 模型對總質量Tcom的交叉驗證Fig.4 Cross validation for Tcom（Kriging）

圖5 與圖6 分別為確定性優化（DO）和可靠性優化（RBDO）的結果時間歷程圖。由于確定性優化較為簡單，本次確定性優化采用外點罰函數優化算法；而可靠性優化由于考慮了更多的不確定性因素，樣本空間更大，單一的優化算法可能會出現不收斂或者收斂速度慢等問題，因此在此次可靠性優化中采用多島遺傳和外點罰函數聯合算法。由圖中可以看到，確定性優化時間短，運行效率高，在運行約300 次迭代步數后即得到了優化結果；而可靠性優化的計算成本要比確定性優化的高，但也在運行約2 000 步后得到了最終的優化結果。

圖5 確定性優化Tcom的迭代時間歷程Fig.5 Time history iteration steps of DO

圖6 可靠性優化Tcom的迭代時間歷程Fig.6 Time history iteration steps of RBDO

為了對比得到確定性優化與可靠性優化的可靠度，研究采用蒙特卡羅模擬方法（MCS）進行結構可靠度的分析。由概率的定義可知，某事件發生的概率可以用大量試驗中該事件發生的頻率來估算，當樣本容量足夠大時，可以認為該事件的發生頻率即為其概率。因此，可以先對影響其可靠度的隨機變量進行大量的隨機抽樣，然后再把這些抽樣值依次代入功能函數式，確定結構是否失效，最后求得結構的失效概率。樣本點的采集數量越多，得到的結果便更精確。為此，本文采用50 000 個數據樣本點進行蒙特卡羅模擬，得到了相應的確定性優化和可靠性優化蒙特卡羅撒點結果。為了更好地對比確定性優化與可靠性優化的結果，將蒙特卡羅撒點結果進行了正態化，并將相應的概率密度函數（Probability Density Function，PDF）在同一張圖中予以了表示，如圖7～圖9 所示。由圖7～圖9 可以看到，可靠性優化因犧牲了部分結構性能，因而獲得了更高的可靠性。由圖8 和圖9 可以看到，確定性優化的內襯層應力衡準系數SFline以及外壓屈曲應力Buckling 的可靠性均在50%左右，沒能滿足實際工程需要；而可靠性優化僅在厚度和角度上進行微小的變化，便可得到較高的可靠性，體現了可靠性優化的實際可操作性。

圖7 SFstress的概率密度函數Fig.7 The PDF of SFstress

圖8 SFline的概率密度函數Fig.8 The PDF of SFline

圖9 Buckling 的概率密度函數Fig.9 The PDF of Buckling

優化結果如表4 所示。由表中可知，在確定性優化條件下，復合材料立管由原來的58.36 kg/m下降到了43.21 kg/m，結構重量減幅達到25.95%，減重效果明顯。在確定性優化條件下，由于相應的內襯層強度約束、復合材料立管外壓屈曲強度均接近臨界邊界值，若考慮到海洋環境的復雜多樣、材料屬性變化以及立管加工工藝等，各設計變量均存在一定的變化，因此確定性優化結果不可接受。為了提高結構在惡劣深海環境下的可靠性，可采用可靠性優化設計方案。從表4 中可以看到，為了達到較理想的安全性水平，可靠性優化犧牲了部分結構質量，但相應的可靠度卻由確定性優化的50.54%和50.24%分別提高到了99.69%和94.54%。可靠性優化相對于傳統的確定性優化更為保守，但卻考慮了外界環境的變化，提高了結構的可靠度，可為深海復合材料立管的結構設計提供新的方案。

表4 確定性優化與可靠性優化結果對比Tab.4 Comparison of DO and RBDO

3 結 論

本文研究了深海復合材料立管的可靠性優化設計，通過對整體—局部模型的分析，以整體分析提取的關鍵截面響應作為局部模型的邊界。為降低運算成本，采用優化拉丁方算法進行實驗設計，對目標函數和約束函數構建Kriging 近似模型，最后，通過蒙特卡羅模擬，對比分析了確定性優化與可靠性優化的可靠度結果。主要結論如下：

1）采用整體—局部分析方法，通過梁單元理論和經典層合板理論分析復合材料的結構力學特性，運用等效理論計算復合材料的等效剛度，結合單元的本構關系計算材料系統下的應力水平，從而得到局部分析模型的邊界條件，避免了建立龐大、復雜的整體分析模型，可有效減少運算成本，提高工作效率。

2）將優化拉丁方方法、Kriging 近似模型以及蒙特卡羅方法相結合，把深海復合材料立管的復雜模型（非線性程度高、設計變量多）轉化成簡單的數值Kriging 近似模型，避免了每次優化計算時都要調用有限元模型而耗費大量的運算成本，從而可節省計算時間，提高運行效率。

3）對深海復合材料立管結構進行可靠性優化設計，從優化結果看，方法是可行的。基于可靠度的優化設計不僅能降低結構重量，還在一定程度上保證了結構在工作期間的可靠性，體現了經濟性與安全可靠性的結合，具有一定的工程實用價值。

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