基于積分法的粗糙壁面湍流邊界層發展預測

張濤，朱曉軍，彭飛，閔少松

海軍工程大學艦船工程系，湖北武漢430033

0 引 言

粗糙表面上的流動在生產、生活中隨處可見，包括地貌上風的運動、河床上水的流動，以及人造表面（例如：船舶、飛機、管道系統等）上的流動。粗糙度對壁面流動的影響研究一直是流體動力學中的熱點問題，其準確影響至今尚未完全確定［1］。從上世紀的Nikuradse 粗糙砂粒管道試驗到著名的Moody 圖，許多學者都曾嘗試給出粗糙度影響的高精度工程計算方法。Schultz 等［2］通過試驗，研究了砂粒以及船體污損中的生物粘膜［3］、絲狀海藻［4］和藤壺［5］等粗糙形態對壁面流動的影響，并以此為基礎評估了海洋污損生物對艦艇航速、軸功率和經濟性的影響［6］。Jimenéz［7］對以往有關粗糙度對湍流影響的研究成果予以了評述，詳細分析了粗糙形態的分類和粗糙度影響的機理，認為粗糙壁面對湍流的影響受2 個參數的控制：粗糙度雷諾數ks+和粗糙度函數ΔU+。近年來，國內開展了一些有關脊狀表面減阻方面的試驗［8］和數值計算［9］研究，取得了一些成果。

目前，求解湍流邊界層的方法有微分法和積分法2 種。微分法是直接對N-S 方程進行求解，即CFD 方法。在目前的CFD 軟件中，粗糙壁面流動的計算是采用壁面函數或者低雷諾數湍流模型等近壁面處理方法來對粗糙形態進行建模，這2種方法或依賴經驗關系式，或增加粗糙元附近的網格密度，但由于經驗關系式的通用性較差，且增加網格密度并不意味著能提高計算精度；因此，粗糙壁面的流動計算被認為是CFD 的致命弱點之一［10］。

積分法發展較早，它利用動量或能量積分方程展開求解，在喪失一些湍流結構信息的同時也避開了粗糙壁面邊界層復雜的湍流尺度計算，較為簡便，而且對于壓力梯度不是很大的湍流邊界層，積分法的結果并不比最好的微分法差［11］。Dvorak［12］利用積分法對均勻砂粒粗糙的翼型邊界層進行了計算，計算結果與試驗數據吻合較好，但其所使用的關聯方程中的表面摩擦力經驗公式只適用于二維均勻分布的砂粒，而且沒有考慮外層速度剖面對壁面律的偏離。本文將利用積分法對零壓力梯度下的棱錐形粗糙壁面湍流邊界層開展研究，以粗糙度函數來表征粗糙度對平均流動的影響，并結合動量積分方程和壁面律進行計算分析。

1 求解方法

1.1 粗糙度影響的表示

粗糙度對壁面流動最主要的影響體現在改變近壁面流動的平均速度分布［7］上，因此，可以把平均速度分布的下降量作為粗糙度對壁面流動影響的表征，稱之為粗糙度函數ΔU+。

光滑壁面湍流邊界層的平均速度分布可用Coles 公式表示為

式中：y 為邊界層內以壁面為原點的法向坐標；U為y 處順流方向的平均速度；uτ為摩擦速度；Π為尾流參數，其與順流方向的壓力梯度和壁面粗糙情況有關；W 為尾流函數，代表著外層速度剖面對對數律的偏離；δ 為邊界層厚度；B0為光滑壁面對數律的截距；κ 為卡門常數，通常取為0.41；υ為流體的運動粘性系數。

由粗糙度函數ΔU+的定義，粗糙壁面湍流邊界層的速度分布可表示為

粗糙度函數ΔU+取決于粗糙的本質特征和雷諾數，關于粗糙度函數的形式，一般認為它與粗糙度參數成對數關系，可表示為

式中：h'為粗糙度參數；B 和C 為常系數，可根據具體的粗糙形式而定。

粗糙度參數的表示方法有多種，例如粗糙元的高度、間隔以及其形狀特征等。很多文獻將粗糙元的高度作為粗糙度唯一的表示參數，例如，Nikuradse 經典試驗和Moody 圖等，這種表示方法適用于粗糙元密集均勻分布的表面。然而，工程實際應用中的粗糙表面通常都不是均勻分布的，因此僅使用粗糙元高度這一個參數明顯不足以對粗糙形態進行充分描述。一般認為，對于非均勻隨機分布的粗糙表面，可以使用統計方法進行描述，統計量包括概率密度函數、均方根偏差、偏態和峰度等，例如，Townsin［13］在研究船體表面粗糙的阻力影響時，是使用粗糙元高度的譜矩作為粗糙度參數。本文是采用Newcastle University upon Tyne 的船舶性能組提出的粗糙度參數［14］：

式中：Rq 為采樣長度上平均剖面的偏差均方根；Sa 為采樣長度上輪廓平均斜率的絕對值。

1.2 粗糙邊界層的特性參數關系式

當y=δ 時，U=Ue（其中Ue為自由流速），粗糙壁面的速度分布式（2）可轉化為

將式（5）減去式（2），可得粗糙壁面的虧損律

將式（7）代入邊界層位移厚度δ*和動量厚度θ 的定義式中，可得邊界層特性參數關系式：

其中，

1.3 動量積分方程

零壓力梯度下的二維動量積分方程為

將式（8）代入式（10）中，并考慮到對于零壓力梯度下平板邊界層，可得

其中：

1.4 粗糙壁面方程

根據粗糙壁面邊界層的速度分布來推導粗糙壁面方程，由式（5），可得

將式（8）代入式（13）中并對x 求導，可得

其中：

聯立式（11）和式（14），可得到以dδ/dx 和dw/dx 為變量的線性方程組，利用Crammer 法則，可解得δ 和w 的二元常微分方程組，在已知粗糙度函數和流向初始點的速度分布的情況下，使用數值積分法便可求解出δ 和w 在邊界層順流方向上的變化情況。

2 計算模型

Schultz 等［15］對三維正四棱錐體的粗糙形式進行了試驗研究，其由3 種棱錐體高度和3 種棱錐體傾斜角共同組合出了9 種粗糙形態，如圖1 所示。每種粗糙形態分別在4 種流速（1，3，5，7 m/s）下進行試驗，在流向x=1.35 m 位置處進行36 次速度分布測量。試驗在美國海軍學院的高速水洞中進行，采用激光多普勒測速儀（LDV）進行測量。本文選用前6 種粗糙形態進行計算分析。

圖1 粗糙形態示意圖（左上為主視圖，左下為俯視圖，右側為單個粗糙元的形狀）Fig.1 Demonstration of roughness texture（upper left：the front view;bottom left：the top view;right：the geometry of single roughness element）

根據粗糙度參數h'的定義式，圖1 所示粗糙形態的h'可表示為

式中，kt和α 分別為棱錐體的高度與傾角。

采用式（3）和式（16）對試驗數據進行擬合，求得B=0.32，C=-2.78，擬合結果如圖2 所示。考慮到Coles 速度分布中的尾流參數Π 與壁面粗糙情況有關，其在壁面粗糙情況下要比光滑情況下大得多，根據文獻［16］的研究可知，在一般粗糙壁面情況下，Π 取0.7 較為合適，因此，在下文的計算中Π=0.7。

圖2 粗糙度函數ΔU+的擬合情況Fig.2 Fitting of roughness function ΔU+

3 計算結果分析

采用4 階Runge-Kutta 方法對δ 和w 的二元常微分方程組進行求解，積分起點δ0和w0（當x=0.2 m 時）通過以下方式進行確定：δ0通過基于冪次律的光滑平板經驗關系式進行估算，見式（17），而w0則通過牛頓迭代法求解式（13）的零點來確定。

通過編程實現上述算法，計算得到4 種流速下6 種粗糙形態在x=1.35 m 處的局部摩擦系數Cf和邊界層厚度δ 值。將試驗測量點處的計算結果與文獻［15］中的試驗數據進行對比，并與光滑壁面下基于冪次律的邊界層厚度和局部摩擦系數公式（式（18））進行對比，其結果如圖3 和圖4 所示。圖中3 條曲線分別表示6 種粗糙形態在4 種流速下文獻［15］中的試驗值、本文的計算值以及光滑壁面在相應流速下的理論值。

圖3 在試驗測點處局部摩擦系數Cf 的計算值與試驗值和光滑壁面理論值的對比Fig.3 Comparison of the calculated values，the experimental data and the theory values of smooth walls for local friction factor Cf at the measurement location

圖4 在試驗測點處邊界層厚度δ 的計算值與試驗值和光滑壁面理論值的對比Fig.4 Comparison of the calculated values，the experimental data and the theory values of smooth walls for boundary layer thickness δ at the measurement location

由圖3 可以看出：

1）在粗糙情況下，Cf的計算值與試驗值吻合較好，平均絕對誤差為4.9%，而文獻［15］的試驗中使用總應力方法確定的摩擦速度uτ的誤差為±6%，可見本文采用的積分法準確度較高。

2）相對光滑壁面，粗糙壁面的Cf要大得多，可見粗糙度對壁面摩擦阻力的影響很大。

3）在粗糙度的影響下，Cf不再隨自由流速的增加而減小，而是受流速和粗糙度的共同影響。

由圖4 可以發現：首先，在粗糙情況下，δ 的計算結果與試驗值的變化趨勢吻合較好，兩者間的平均絕對誤差為7.1%，誤差相對于局部摩擦系數較大，這可能與δ 的積分起點采用光滑壁面的邊界層厚度有關；其次，可以發現在粗糙度的影響下，δ 不再隨自由流速的增加而減小，而是呈現出隨自由流速的增加而增加的趨勢，這說明粗糙度的攝動隨自由流速的增加而增強了。

將第2 種粗糙形態（kt=450 μm，α=45°）在自由流速為7 m/s 情況（即第8 次測量）下的局部摩擦系數Cf與邊界層厚度δ 沿流向的變化情況及光滑壁面進行了對比，如圖5 和圖6 所示。

圖5 粗糙壁面與光滑壁面局部摩擦系數Cf 沿流向變化情況的對比Fig.5 Comparison of the local friction factor Cf between the rough walls and the smooth walls along the flow direction

圖6 粗糙壁面與光滑壁面邊界層厚度δ 沿流向變化情況的對比Fig.6 Comparison of the boundary layer thickness δ between the rough walls and the smooth walls along the flow direction

由圖5 可知，Cf在壁面粗糙和光滑情況下沿流向的變化趨勢基本相同，只是兩者的截距不同。由圖6 可知，δ 在壁面粗糙和光滑情況下由于采用了相同的邊界層厚度經驗公式，因而兩者起始點的值相同，但在粗糙壁面，δ 沿流向的增加速度更快。

4 結 語

本文采用邊界層積分法對零壓力梯度下棱錐體形態的粗糙壁面湍流邊界層進行計算，并與試驗數據和光滑壁面的經驗公式進行了對比，計算結果與試驗數據吻合較好，說明采用積分法求解粗糙壁面湍流邊界層精度較高。可見，積分法可以較準確、方便地預測出粗糙壁面湍流邊界層厚度和局部摩擦系數沿流向的發展，可為研究粗糙度對湍流邊界層的影響提供適于工程應用的方法。在本文研究的基礎上考慮壓力梯度的影響因素，還可對粗糙螺旋槳葉切面湍流邊界層的發展展開研究。

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