功在課前 動(dòng)在課中 用在課后——初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課學(xué)生自主復(fù)習(xí)新模式的探究

何月芳（浙江省杭州市高新實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

一、存在的問(wèn)題

（一）傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)忽略了學(xué)生自主性的作用

復(fù)習(xí)課中，學(xué)生已經(jīng)具備一定基礎(chǔ)知識(shí)，也能完成一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題.但是傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課仍將復(fù)習(xí)看成知識(shí)回顧，方法傳授，思路講解，不是安排學(xué)生做題，就是讓學(xué)生聽(tīng)老師講題，使復(fù)習(xí)課變成了“一言堂”.學(xué)生的主體探究需求得不到滿(mǎn)足，這樣的復(fù)習(xí)勢(shì)必給學(xué)生一種簡(jiǎn)單重復(fù)的心理感覺(jué)，當(dāng)學(xué)生主體思考缺乏、心理準(zhǔn)備不夠、安全感得不到滿(mǎn)足時(shí)，學(xué)生很難參與交流互動(dòng)，只能機(jī)械模仿和記憶，久而久之對(duì)課堂必然失去興趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得不到發(fā)展.學(xué)習(xí)必須依靠學(xué)生的主體參與才有意義，一切知識(shí)、能力都很難通過(guò)講授的方式給予學(xué)生.

（二）新課程下需把復(fù)習(xí)的主動(dòng)權(quán)歸還學(xué)生

隨著素質(zhì)教育改革的深入發(fā)展，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力一直是教育界關(guān)注、思考和探索的一個(gè)重要課題.復(fù)習(xí)中學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和反思能有效促進(jìn)學(xué)生的查漏補(bǔ)缺、自主建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)及經(jīng)驗(yàn)積累.在復(fù)習(xí)中，知識(shí)的整理、問(wèn)題的提出與分析、問(wèn)題解決方案的生成、解決的實(shí)施過(guò)程等核心任務(wù)一旦忽視了學(xué)生的自主性，放棄了應(yīng)由學(xué)生自身來(lái)執(zhí)行的活動(dòng)設(shè)計(jì)、組織和概括提升等任務(wù)，而把一些操作類(lèi)、計(jì)算類(lèi)問(wèn)題留給學(xué)生，使學(xué)生很難發(fā)展形成知識(shí)系統(tǒng)，學(xué)生的能力難以得到發(fā)展.

二、復(fù)習(xí)課學(xué)生自主學(xué)習(xí)新模式的實(shí)施

本文是筆者和同事們通過(guò)兩年多的研究，根據(jù)復(fù)習(xí)課的不同內(nèi)容特點(diǎn)，不同年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，開(kāi)展了一系列課例實(shí)踐研究，逐漸摸索出的一些單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)模式.“自助式”數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的基本四步驟分為:自主整理，形成思維導(dǎo)圖；自主選材，形成解題方法；課堂互補(bǔ)展示，形成共性思想；課后自主反思形成個(gè)性經(jīng)驗(yàn).如下圖所示：

（一）自主整理，形成思維導(dǎo)圖

認(rèn)知心理學(xué)理論指出：復(fù)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的再加工.所以在整理知識(shí)點(diǎn)之前，學(xué)生應(yīng)該是先翻閱課本目錄，根據(jù)目錄回顧這個(gè)章節(jié)學(xué)過(guò)大致知識(shí)，然后回歸課本，逐一梳理.在循序漸進(jìn)的交流中，初步形成一個(gè)整體的思維導(dǎo)圖.例如浙教版七年級(jí)下冊(cè)第4 章“因式分解”思維導(dǎo)圖的形成過(guò)程：

因式分解：通過(guò)目錄學(xué)生自主形成第一張思維導(dǎo)圖.

通過(guò)教師引導(dǎo)，同伴互助交流，補(bǔ)充完成第二張思維導(dǎo)圖.

評(píng)析：展示的第一張思維導(dǎo)圖是學(xué)生在課前梳理的，這是學(xué)生在梳理知識(shí)時(shí)形成的最開(kāi)始輪廓，然后通過(guò)學(xué)生之間的互相交流，老師適時(shí)的引導(dǎo)幫助，最后師生一起完成知識(shí)的梳理形成第二張思維導(dǎo)圖.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在互相交流碰撞中學(xué)習(xí)積累反思感悟.

（二）自主選材，形成解題方法

自主式復(fù)習(xí)是學(xué)生通過(guò)主動(dòng)性來(lái)培養(yǎng)其自主學(xué)習(xí)能力，使其成為會(huì)學(xué)習(xí)和掌握技能的人.學(xué)生通過(guò)自主整理知識(shí)，形成思維導(dǎo)圖，再根據(jù)思維導(dǎo)圖進(jìn)行題材的匯編，題材靈活地注入，使學(xué)到的數(shù)學(xué)真正做到活學(xué)活用，舉一反三.學(xué)生自主選材，包括以下兩個(gè)過(guò)程：

1.課前自主選材，形成個(gè)性學(xué)案

由于時(shí)間和容量的限制，學(xué)生在課前選材過(guò)程中，題量不能多，一般5 到8 題，內(nèi)容精簡(jiǎn)，但富有針對(duì)性和系統(tǒng)性，要適合學(xué)生個(gè)性需求.在因式分解概念的題材編制中，特選兩個(gè)不同的題材：

試題1：下列屬于因式分解的是______________________.

（1）27a2+9a=9a（3a+1）；

（2）x2-y2=（x+y）（x-y）；

（3）k（x+y）=kx+ky.

試題2：如圖，用一張正方形紙片Ⅰ、兩張長(zhǎng)方形紙片Ⅱ、一張正方形紙片Ⅲ，拼成一個(gè)大正方形A.寫(xiě)一個(gè)表示因式分解的等式.（見(jiàn)圖形）

（大正方形A）

試題1 能將概念落實(shí)到位，但是對(duì)于程度較好的學(xué)生來(lái)講，會(huì)有更深程度的題材出現(xiàn)，于是就出現(xiàn)了試題2.這樣的試題補(bǔ)充，運(yùn)用圖形解釋因式分解的概念，很好地將數(shù)形結(jié)合的思想融入于其中.

2.課中小組交流，形成共享學(xué)案

羅杰斯認(rèn)為，同伴教學(xué)是促進(jìn)學(xué)習(xí)的一種有效的方式，它對(duì)雙方學(xué)生都有好處.學(xué)生進(jìn)行自主整理知識(shí)、自主進(jìn)行選材后，對(duì)自身的學(xué)生能起到自我提高、自我反思的作用，如果借鑒同伴的整理，學(xué)習(xí)同伴的數(shù)學(xué)思考方式，對(duì)于數(shù)學(xué)核心問(wèn)題的理解有非常大的幫助.

學(xué)生根據(jù)思維導(dǎo)圖編制的題材，有的來(lái)自于教輔材料，有的來(lái)自作業(yè)本，也有學(xué)生的原創(chuàng)，但是基本能反映平時(shí)存在的一些共性錯(cuò)誤.所以將他們的題材先進(jìn)行小組內(nèi)部交流，形成和完成有小組特色的復(fù)習(xí)學(xué)案，再根據(jù)各小組整理的復(fù)習(xí)學(xué)案，進(jìn)行組間交流整理，形成班級(jí)學(xué)案.這樣可以避免題材重復(fù)、編怪或是編錯(cuò)，可以糾正以前存在的錯(cuò)誤癥點(diǎn)，這是一種自主式的學(xué)習(xí)方式，能讓學(xué)生獲得的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)更遠(yuǎn)更深，還能提升他們的思維能力.

第一組編制的題材：

A.因式分解：

（2）x4-1；

（3）（x-2y）2+16y-8x+16；

（4）x2（x-3y）+12y-4x；

（5）a2+4b2-4ab-4x2-4y2+8xy；

（6）辨析：4x2+1 能分解嗎？如果能，如何分解？

B.配方法

（7）a2+b2+8a+6b+25=0，求a 和b 的值.

（8）x2-4xy+5y2-2y+1=0，求x 和y 的值.

第二組編制的題材：

（1）6a（a+b）-4b（a+b）；

（3）3x2-ax+b 分解因式結(jié)果為（3x+1）（x-2），求a2+b2.

（4）三角形三邊a，b，c，a2+b2+c2=ab+ac+bc，則判斷三角形的形狀.

第一組同學(xué)編制的題目蘊(yùn)含了整體思想，還凸顯了因式分解最常見(jiàn)的方法——配方法.第二組同學(xué)編制的題目更難一些，如第（2）題的編寫(xiě)還考查了公式變形；第（3）題以不同方式考查因式分解的概念，也提及了數(shù)學(xué)方法——待定系數(shù)法的應(yīng)用.兩個(gè)小組形成的學(xué)案對(duì)于因式分解的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法都會(huì)得到相互補(bǔ)充，同學(xué)們互相借鑒，夯實(shí)基礎(chǔ)，提升解題能力.

（三）課堂互補(bǔ)展示，形成共性思想

“功在課前”就是學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)將知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，題材精心編制，然后通過(guò)小組合作交流，在已有的發(fā)展區(qū)內(nèi)將復(fù)習(xí)課的學(xué)案完善，這些操作都是真正來(lái)自于學(xué)生，又將解決學(xué)生的問(wèn)題，更具有針對(duì)性.帶著這些問(wèn)題，學(xué)生的“獨(dú)學(xué)”發(fā)展成“群學(xué)”，最后變成“共學(xué)”.形成的學(xué)案各組有不同的側(cè)重點(diǎn)，所以教師選擇學(xué)案兼顧基礎(chǔ)知識(shí)和拓展思維的一組主講，其余各組圍繞主講組進(jìn)行補(bǔ)充，讓學(xué)生將學(xué)案活用起來(lái).

以“因式分解”為課堂展示案例：

第一部分知識(shí)梳理和概念辨析：主講組

1.思維導(dǎo)圖展示（逐一講解）

2.概念辨析

（1）27a2＋9a=9a（3a＋1）；

（2）-x2+y2=－（x2－y2）=－（x－y）（x＋y）

（3）x2－4＋3x=（x＋2）（x－2）＋3x；

（4）k（x＋y）=kx＋ky.

以上哪些屬于因式分解，哪些不是？

補(bǔ)充講解組：x（x-4）+4 是不是因式分解？如不是，請(qǐng)訂正.

主講組通過(guò)四個(gè)代數(shù)式的呈現(xiàn)，鞏固因式分解概念.補(bǔ)充講解組補(bǔ)充的題目要求訂正實(shí)為分解因式的方法做鋪墊.

第二部分 因式分解：主講組

公式的回顧：a2-b2=（a+b）（a-b），a2+b2+2ab=（a+b）2，a2+b2-2ab=（a-b）2.

補(bǔ)充講解組：十字相乘法：x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b）.主講組只講到了用平方差和完全平方公式進(jìn)行因式分解，補(bǔ)充組將十字相乘法進(jìn)行補(bǔ)充，點(diǎn)明了十字相乘法具備的特點(diǎn)，使學(xué)生知識(shí)再憶.

第三部分 應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解：主講組

第二組題目編制（1）6a（a+b）-4b（a+b），提出了提取公因式法的方法和注意點(diǎn)即先提公因式中系數(shù)的最大公約數(shù)，再提取字母及字母的最低次，并提出了整體思想，即公因式不一定是個(gè)單項(xiàng)式，可以是多項(xiàng)式，應(yīng)用因式分解可以使計(jì)算簡(jiǎn)化.

第一組題目編制（2）直接出現(xiàn)x4-1（平方差）這類(lèi)題目有些難度，學(xué)生出現(xiàn)分解不徹底情況.教師在此之前引導(dǎo)學(xué)生做了這樣一個(gè)分解因式9a2-4b2的鋪墊，對(duì)于此題會(huì)有幫助.

補(bǔ)充講解組：分解因式，a4-16b4.結(jié)合主講組的題材，及時(shí)鞏固平方差分解時(shí)要注意分解徹底.

第四部分 分組分解：主講組

第一組題目編制（3）（x-2y）2+16y-8x+16（完全平方），題材難度大，考查整體思想和完全平方公式的運(yùn)用.教師及時(shí)鋪墊，編制因式分解：x2+16y2-8xy 后，學(xué)生對(duì)照上題能夠順利解決問(wèn)題.

補(bǔ)充講解組：（x2+y2）（x2+y2-2）=8，求x2+y2的值，2 0052-4 010×2003+2 0032.兩個(gè)題型互相補(bǔ)充，整體思想再次顯現(xiàn)，十字相乘法得到鞏固，計(jì)算與因式分解得到統(tǒng)一.

第一組題目編制（4）x2（x-3y）+12y-4x，（5）a2+4b2-4ab-4x2-4y2+8xy 題目中代數(shù)式多于3 項(xiàng)，則需要分組分解，學(xué)生通過(guò)4 項(xiàng)式和6 項(xiàng)式典型的分析，提出4 項(xiàng)式一般采用二二結(jié)合或三一結(jié)合，6 項(xiàng)則是三三結(jié)合或三二一的結(jié)合法.但是只能點(diǎn)到為止，沒(méi)有做更深的挖掘.

補(bǔ)充講解組：n（x-y）-mx+my，a2-4b2-4b-1.提供了4項(xiàng)式分解時(shí)明顯的規(guī)律：代數(shù)式任一項(xiàng)不具備乘積的2 倍時(shí)一般選用二二分法，如果具備則一般為三一分法.

第五部分 應(yīng)用拓展：主講組

第一組題目編制（7）已知a2+b2+8a+6b+25=0，求a 和b的值.求x2-4xy+5y2-2y+1=0，求x 和y 的值.兩個(gè)題目都考查了配方法，學(xué)生講解明確，方法很合理，能講清數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)問(wèn)題.結(jié)合新課型的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)方法的歸納還是不夠齊全，比如待定系數(shù)法、降次法等.

補(bǔ)充講解組：3x2-ax+b 分解因式結(jié)果（3x+1）（x-2），求a2+b2.若二次多項(xiàng)式x2+2kx-3k2能被x-1 整除，求k 的值.這里，學(xué)生提出了待定系數(shù)法，找到了一元二次方程的解和因式分解之間的聯(lián)系.通過(guò)對(duì)因式分解的展開(kāi)運(yùn)算，與多項(xiàng)式進(jìn)行比較，求出a 和b 的結(jié)果，體現(xiàn)解題方法的多樣性，體驗(yàn)乘法計(jì)算與因式分解是互逆的過(guò)程.

第五部分 數(shù)學(xué)思想和方法：主講（教師）

數(shù)學(xué)思想：學(xué)生提供的題材在前面的學(xué)習(xí)過(guò)程中呈現(xiàn)很多，因式分解中數(shù)學(xué)思想也是比較常見(jiàn)的，但是學(xué)生沒(méi)有一個(gè)提出，給遺漏了.

補(bǔ)充講解組：能在整數(shù)范圍內(nèi)分解，求k 的值.x2+kx+4能在整數(shù)范圍內(nèi)分解，求k 的值.

兩個(gè)看似相同卻不同的題材，將十字相乘法再次得到了補(bǔ)充，并且讓學(xué)生感受到了系數(shù)與分解的兩個(gè)數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，學(xué)生體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：整體思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

學(xué)生在課堂中自由、靈活地將自己組內(nèi)編制好的題材一環(huán)扣一環(huán)地展示補(bǔ)充，不斷地完善原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將數(shù)學(xué)方法和思想得到充分應(yīng)用，提升解決問(wèn)題的能力，提高數(shù)學(xué)思維能力.

（四）課后自主反思，形成個(gè)性經(jīng)驗(yàn)

課前的自主整理知識(shí)導(dǎo)圖，編制相應(yīng)題材，將個(gè)體的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)通過(guò)班級(jí)共學(xué)，汲取他人的思想方法并做下反思，能使學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中靈活遷移知識(shí)，舉一反三.反思是自己對(duì)所學(xué)內(nèi)容存在的一種知識(shí)漏洞進(jìn)行補(bǔ)全，提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和解題方法，對(duì)于自己不熟悉或容易遺漏的，可以用圖形或例題加以說(shuō)明，以加深印象.反思同樣是鑒取同伴學(xué)習(xí)過(guò)程中特有的一種數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，不斷改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方法.

三、成效與反思

這種復(fù)習(xí)課，教學(xué)上教師從“教為中心”向“學(xué)為中心”轉(zhuǎn)移，學(xué)生從自身存在的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過(guò)互助式將內(nèi)容進(jìn)行內(nèi)化，已經(jīng)從“數(shù)學(xué)模仿”向“數(shù)學(xué)思考”轉(zhuǎn)移，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的主體地位.搭建各類(lèi)學(xué)生有效復(fù)習(xí)的舞臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題能力.但是自主式復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容來(lái)自于學(xué)生，呈現(xiàn)的題材有些雜而亂，有些創(chuàng)新題材編制的錯(cuò)誤較多，能力較差的學(xué)生只會(huì)通過(guò)機(jī)械摘抄而不具創(chuàng)造性的現(xiàn)象，這是自主式復(fù)習(xí)課堂中出現(xiàn)的一些問(wèn)題，這也將是今后要研究的問(wèn)題.

［1］教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［2］郭思樂(lè).教育走向生本［M］.北京：人民教育出版社2012.

［3］余文森.有效教學(xué)十講［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.

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