關于不定方程

管訓貴

（泰州學院 數理信息學院，江蘇 泰州 225300）

管訓貴

（泰州學院 數理信息學院，江蘇 泰州 225300）

討論了不定方程

不定方程；解數；真因數；解序列

1 引言及主要結論

二十多年來，不定方程

的正整數解{x1,x2,…,xk}的確定已成為數論及其相關領域的一個引人關注的問題。

1985年，孫琦和曹珍富[1]給出了方程(1)的解數A(k)的下界，并指出(1)的解在計算機的模記數法中的應用。對于3≤k≤5，方程(1)的正整數解容易求出，即

1986年，孫琦和曹珍富[2]又證明了A(6)=17：

1997年，吳薇[3]證明了(7)=27 A，并給出了其全部正整數解。本文運用方程

解的若干性質，證明了

定理396≤A(8)＜2.006×1029。

并給出396組正整數解。這一結果也支持了孫琦[4]提出的如下猜想：

k≥7時，A(k +1)＞A(k )。

首先我們注意到，若xi是方程(1)的解，則有xi≠1，且i≠j時，gcd(xi,xj)=1。事實上，由(2)可得整理后可得(6)。

引理4方程(5)共有9組正整數解：

根據(3)式，gcd(xi, xj) | 1，且(2)式顯然不能有xi=1的解。故不失一般性，我們可假定1＜x1＜x2＜…＜x8，gcd(xi,xj)=1，i≠j。

2 若干引理

引理1若u1,u2,…,u7是方程

的正整數解，則u1,u2,…,u7,u1u2…u7-1是(2)的一組正整數解。

證明直接驗證可得。

引理2方程(4)共有26組正整數解：

證明參見文獻[5]。

引理3若u1,u2,…,u6是方程

的正整數解，則u1,u2,…,u6,x7,x8是(2)的一組正整數解，其中

證明易知，

證明參見文獻[6]。

引理5設1＜x1＜…＜xr（r＜7）滿足條件

如果存在正整數xr+1，…，x8，xr＜xr+1＜…＜x8使得{x1,x2,…,xr,xr+1,…,x8}是方程(2)的一組正整數解，則

證明由

證畢。

引理6設x1,x2,…,x6是正整數，滿足

則當且僅當

存在因數F使得

i=1

時，{x1,x2,…,x6,x7,x8}是方程（2）的正整數解，其中

證明參見文獻[3]。

3 定理的證明

由引理1、引理2易求出方程(2)的26組正整數解：

若x1=3，則方程(2)無正整數解。限于篇幅，將另文討論。

因此，A(8)＜2.006×1029。

綜上，定理得證。

4 結語

從理論上講，重復運用引理5、引理6，再利用微機可得到方程(2)的全部正整數解。事實上，x1=2時，2＜x2＜14，x2只可能取3，5，7，9，11，13。

若x1=2，x2=3，則6＜x3＜36，x3只可能取7，11，13，17，19，23，25，29，31，35。

若x1=2，x2=3，x3=7，則42＜x4＜210，x4只可能取43，47，…，205，209。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，則1806＜x5＜7224，x5只可能取1807，1811，…，7223。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，則3263442＜x6＜9790326，x6只可能取3263443，3263447，…，9790325。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=3263443，則

此時可得方程(2)的256組正整數解。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=3263447，則

此時可得方程(2)的1組正整數解。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=9790325，則

但x7,x8均不為整數，故此時方程(2)沒有x6=9790325的正整數解。

盡管理論上能通過上述方法找出方程(2)的全部正整數解，但實際操作較為困難，能否找到一個最優的算法，以便快速地求出方程(2)的全部正整數解，需要我們進一步去研究。

[2] 孫琦.數論進入了應用學科[J].數學研究與評論,1986, 6(4):149-154.

[4] Sun Qi. Some unsolved problems in the diophantine equations[J]. SEA Bull Math, 1(1991): 65-69.

[6] 柯召,孫琦.關于單位分數表1的問題[J].四川大學學報(自然科學版),1964(1):13-29.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Indeterminate Equation

GUAN Xun-gui
(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou Normal University, Taizhou 225300, China)

indeterminate equation; true factor; solution sequence

O156

A

1009-9115(2014)02-0007-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.002

江蘇省教育科學“十二五”規劃課題資助項目（D201301083）

2013-10-01

管訓貴（1963-），男，江蘇興化人，副教授，研究方向為數論。

給出了該方程解序列的遞歸性和求解的一個充要條件，同時得到了方程的部分正整數解。