關于Young不等式的幾點推廣

汪云峰，王丹丹，劉建波

（東北大學秦皇島分校 數學與統計學院，河北 秦皇島 066004）

關于Young不等式的幾點推廣

汪云峰，王丹丹，劉建波

（東北大學秦皇島分校 數學與統計學院，河北 秦皇島 066004）

對Young不等式的成立條件做了一些變化而形成了一些新的不等式，給出了Young不等式的多維形式，并且推廣了Young不等式的成立范圍，并給出了多種證明。

Young不等式；Jensen不等式；數學歸納法

Young不等式是一類非常重要的基本不等式，由Young不等式可以推導出許多有用的不等式，比如Holder不等式，Minkowski不等式，Cauchy不等式。在不同的文獻資料中，Young不等式有多種不同的表現形式，[1]、[3]是以積分的形式給出的，本文的描述方法則與[2]中的說法相一致，在不同的學科里Young不等式的表現形式也有所差異。

1 Young不等式

設p＞1，q＞1且

對任意的a，b＞0，

成立，且等號成立的充分必要條件是pqa=b。

2 Young不等式的推廣與證明

對Young不等式的條件加以改變，有以下幾種推廣方式[7,8]：

1）當p＜1且p≠0時，討論不等號的變化。

2）擴展維數。即設

的大小關系。

3）當

時，討論不等式的變化。

下面對這三種推廣做具體的討論證明。在展開具體的討論之前，給出如下的一個引理。

引理當x＞0，α-β=1時，有

引理1的內容與Bernoulli不等式等價，為了論述的方便，我們將其作為引理。

定理1設p＜1，p≠0且

對任意的a，b＞0

成立，且等號成立的充分必要條件是pqa=b。

證法一。根據引理，取α=p，得到：

又p＜1，p≠0，所以當等號成立時當且僅當x=1，也就是ab=bq，進一步可以推導得ap=bq。

故所證結論成立，證畢。

證法二。設f( x)在［c, d］上是嚴格單調非負遞減函數，對［c, d］進行n等分，使得c=x0＜x1＜…＜xn=d ，由于f( x)在［c, d］上是嚴格單調遞減函數，所以根據Riemann可積的定義，有：

所以有

特別的，

1）若將f( x)定義在［0,a］即取c=0，d=a則，

2）若將f( x)定義在（0，∞）上，并且假定：

f-1(x)為f( x)的反函數，廣義積分

收斂，則存在ε＞0，使得當x∈(0,ε)時，f( x)＞0，從而

又由廣義積分（1）收斂，可以推出

由夾逼性準則得到

所以，對于?ε∈(0,a)，

1）當f（ b）＞a＞0時，

綜上，可以得到

特別地，取f( x)=xq-1(q＜1，q≠0)，對于?a，b＞0，p＜1，p≠0，且

則

故所證結論成立，證畢。

定理2設p1,p2,…,pn＞1，a1, a2, …, an＞0，且

則

證法一[5]。

1）由引理可以得：當α≤1時，

即得

化簡后得到

根據式(2)，可以得：

化簡得

同理，可以得：

以此類推，將n個不等式相加后得：

時，以下不等式成立

則

綜上所述，不等式

成立，其中ak＞0，pk＞1，（1≤k≤n） 且

故所證結論成立，證畢。

證法二。利用數學歸納法進行證明[4,6]。

當k=2時，由Young不等式可知結論成立。假設對k=n-1時結論成立，現證明對k=n時也成立。

令

則

由歸納法

由以上兩式可得：

所以對k=n時不等式也成立。綜上，不等式：

成立，其中p1，p2，…，pn＞1，

且a1，a2，…，an＞0。

證法三。利用Jensen不等式可以直接推出結論。

根據凸函數的Jensen不等式，設f( x)為任意凸函數，bi＞0且

則

成立。取f( x)=lnx (x ＞0)，顯然f( x)為凸函數。所以

成立，其中

所以

可得

由f( x)=lnx (x ＞0)的單調性可得

綜上，不等式：

成立，其中p1，p2，…，pn＞1，

且a1，a2，…，an＞0。

以上兩個定理在相關文獻中已經有一些結論出現，并且也有類似的證明過程，接下來定理3及其推論將給出Young不等式更一般的推廣。

定理3 設p＞1，q＞1

對任意的a，b＞0，

成立，當且僅當r∈（0，1］，且等號成立的充分必要條件是ap=bq，p+q=pq。

證明由引理，當α≥1時，xα≥αx -β，令

代入得

化簡得

又有

代入得

化簡得

等號成立時當且僅當x=1，r=1也就是ab=bq，p+q=pq，亦即ap=bq，p+q=pq。

證畢。特別地，可以得到推論1及推論2。

推論1設p＞1，q＞1，

對任意的a，b＞0，

成立，且等號成立的充分必要條件是pqa=b，p+q=pq。

推論2設p＞1，q＞1，

對任意的a，b＞0，

成立，且等號成立的充分必要條件是pqa=b。

[1] 常庚哲,史濟懷.數學分析教程(第3版)[M].中國科學技術大學出版社,2012:305-306.

[2] 匡繼昌.常用不等式(第四版)[M].山東科學技術出版社, 2012:295.

[3] 胡克.解析不等式的若干問題[M].武漢大學出版社, 2007:13-14.

[4] G H Hardy, J E Littlewood, G Polya.越民義,譯.不等式[M].科學出版社,1965:38-40.

[5] 胡克.論一個不等式及其若干應用[J].中國科學,1981, 31(2):141-148.

[6] 樓宇同.Young不等式,Holder不等式與Minkowski不等式的新證法[J].南京航空學院學報,1990,22(4):128-133.

[7] 曾書慶.Young不等式的若干推廣[J].吉安師專學報(自然科學),1994,14(6):25-28.

[8] 匡繼昌.一般不等式研究在中國的新進展[J].北京聯合大學學報(自然科學版),2005,18(1):29-36.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Generalizations for Young Inequality

WANG Yun-feng, WANG Dan-dan, LIU Jian-bo
(School of Mathematics and Statistics, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China)

Some changes are made on the condition of Young inequality’s establishment to form a new inequality. The form of the multidimensional Young inequality is given. And the range of the condition of Young inequality’s establishment is generalized. A variety of proofs are put forward.

Young inequality; Jensen inequality; induction

O178

A

1009-9115(2014)02-0021-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.006

2013-10-10

汪云峰（1992-），男，安徽安慶人，本科生，研究方向為不等式。

劉建波（1978-），男，河北遵化人，博士，副教授，東北大學碩士研究生導師。