關于不定方程x3+8=py2的整數解的研究

普粉麗

（普洱學院 數學與統計學院，云南 普洱 665000）

關于不定方程x3+8=py2的整數解的研究

普粉麗

（普洱學院 數學與統計學院，云南 普洱 665000）

設p=3(8k+5)(8k+6)+1(k∈N)為奇素數，利用初等方法證明了不定方程x3+8=py2無gcd(x,y)=1的正整數解的一個充分條件。

不定方程；奇素數；正整數解；同余式

方程

x3+8=Dy2(x,y ∈N,D＞0，且無平方因子) (1a)是一類重要的不定方程，其整數解已有不少人研究過。

當D含素因素3時，1981年柯召、孫琦[1]證明了D不能被3或6k+1形的素因子整除時，若D≡1,9(mod 20)，則方程

無非平凡整數解；曹玉書[2]給出了D含6k+1型素因子時方程x3-8=3Dy2無非平凡整數解的一些充分性條件；1992年，曹玉書、黃龍鉉[3]給出了D含6k+1型素因子時方程

無非平凡整數解的一些充分條件；2004年，樂茂華[4]給出了方程

無gcd(x,y)=1的正整數解的一個充分條件；2010年，韓云娜等[5]給出了D含6k+1型素因子時方程

無非平凡整數解的一些充分條件。

當D不含素因素3時，1981年柯召、孫琦[1]證明了D不能被3或6k+1形的素因子整除時，若D≡0,1,2(mod4)，則方程(1c)僅有整數解(x, y)=(2,0)；2004年，樂茂華[6]給出了方程

無gcd(x,y)=1的正整數解的一個充分條件；2009年，占金虎[7]給出了方程(1f)無gcd(x,y)=1的正整數解的一個充分條件；2012年，霍夢圓[8]給出了方程

的所有解。本文給出了D含6k+1型素因子時方程(1f)無正整數解的一個充分條件。

定理若p=3(8k+5)(8k+6)+1(k∈N)為奇素數，則不定方程(1f)無gcd(x,y)=1的正整數解。

證明因為gcd(x,y)=1，故x≡/0(mod2)，所以方程(1f)可分

而12的正約數有1,2,3,4,6,12，且x ≡/0（mod2），即x+2≡/0（mod 2）。故(x+2,x2-2x +4)=1或3。由此可見，方程(1f)可以分解為以下四種情形：

配方得

解得x=2或x=0。把x=2代入x+2=pa2得pa2=4，又a2≥0，且

所以p≡3(mod8)，所以pa2=4不成立。把x=0代入x+2=pa2同理可得不成立。所以對于情形（I），不定方程(1f)無gcd(x,y)=1的正整數解。

對于情形（II），因為x ≡/0(mod2)，則x一定是奇數，那么x+2和x2-2x+4也一定是奇數。又x+2=a2,所以a2也是奇數，故a2≡1(mod8)，所以

又x2-2x+4=pb2，x2-2x+4和p是奇素數，所以b2≡1(mod8)，又p≡3(mod8)，所以pb2≡3(mod8)，因此有

矛盾。所以對于情形（II），方程(1f)無gcd(x,y)=1的正整數解。

對于情形（III），因為x≡/0(mod2)，則x一定是奇數，那么x+2和x2-2x+4也一定是奇數。又x+2=a2，則a2也是奇數，故a2≡1(mod8)，所以

又b2≡1(mod8)，所以3b2≡3(mod8)，則

矛盾。所以對于情形（III），方程(1f)無gcd(x,y)=1的正整數解。

對于情形（IV），因為x ≡/0(mod2)，則x一定是奇數，那么x+2和x2-2x+4也一定是奇數。又x+2=3a2，所以a2也是奇數，故a2≡1(mod8)，由x+2=3a2知x=3a2-2，即x≡1(mod8)，所以

其中x2-2x+4也是奇數，所以

b2≡1(mod8)，3b2≡3(mod8)，

又p≡3(mod8)，所以

1≡3pb2=x2-2x +4≡3(mod8)，

矛盾。所以對于情形（IV），不定方程(1f)無gcd(x,y)=1的正整數解。

綜合以上四種情形，若

為奇素數，則不定方程

x3+8=py2無gcd(x,y)=1的正整數解。

[1] 柯召,孫琦.關于丟番圖方程x3±8=Dy2和x3±8= 3Dy2[J].四川大學學報(自然科學版),1981(4):1-5.

[2] 曹玉書.關于丟番圖方程x3±8=3Dy2[J].黑龍江大學學報自然科學學報,1991,8(4):18-21.

[3] 曹玉書,黃龍鉉.關于丟番圖方程x3±8=3Dy2[J].黑龍江大學學報自然科學學報,1992,9(2):3-5.

[4] 樂茂華.關于Diophantine方程x3+8=3py2[J].寧德師專學報,2004,16(4):347-349.

[5] 韓云娜,趙春華.關于Diophantine方程x3±8=3Dy2[J].四川理工學院學報(自然科學版),2010,23(2):156-157.

[6] 李娜.關于Diophantine方程x3±8=Dy2[J].四川理工學院學報(自然科學版),2011,24(5):593-595.

[7] 占金虎.關于Diophantine方程x3±8=Dy2[J].科學技術與工程:2009,9(1):91-93.

[8] 霍夢圓.關于不定方程x3+8=73y2[J].重慶師范大學學報(自然科學版),2012,3(11):18-20.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Integer Solution of the Indeterminate Equation x3+8=py2

PU Fen-li
(College of Mathematics and Statistics, Puer University, Puer 665000, China)

Letp=3(8k+5)(8k+6)+1(k∈N)be an odd prime. By using the elementary method, the sufficient condition of positive integer solution is proved on the condition that the indeterminate equation x3+8=py2(x,y∈N) has no integer solutions with gcd(x,y)=1.

indeterminate equation; odd prime; positive integer solution; congruence;

O156

A

1009-9115(2014)02-0016-02

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.004

2013-10-03

普粉麗（1980-），女，云南江川人，碩士，講師，研究方向為初等數論及數學教育。