關于Diophantine方程x3-1=3py2

萬 飛，杜先存

（紅河學院 教師教育學院，云南 蒙自 661199）

關于Diophantine方程x3-1=3py2

萬 飛，杜先存

（紅河學院 教師教育學院，云南 蒙自 661199）

設p是6k+1型的奇素數，探討了Diophantine方程x3-1=3py2的正整數解的情況。運用Pell方程px2-3y2=1的最小解、同余式、平方剩余、勒讓德符號等初等方法證明了兩個結論。

Diophantine方程；奇素數；最小解；正整數解；勒讓德符號

方程

x3±1=Dy2(D是無平方因子的正整數)

是一類重要的Diophantine方程，其整數解已有不少人研究過。1981年，柯召和孫琦[1]證明了當D不含3或6k+1型的素因子時，方程

無整數解，但當D含6k+1型的素因子時，方程的求解較為困難。2010年，段明輝[2]給出了方程

的全部整數解。2012年，杜先存等[3]給出了D為

型的奇素數時，方程

無正整數解的兩個充分條件。同年，杜先存等[4]給出了方程

無正整數解的三個充分條件。2013年，杜先存等[5]給出了方程

無正整數解的兩個充分條件。黃壽生[6]則于2007年證明了p為

型素數時，方程

無正整數解。

本文討論p為6k+1型素因數時，Diophantine方程

的解的情況。

1 若干引理

引理1[7]設p是奇素數，則方程組

無非零整數解。

引理2[4]若p =3n(n+1)+1(n∈N)，則

的最小解為(2,2n+1)。

引理3[8]設a＞1,(a,b)∈N2,ab不是完全平方數，如果ax2-by2=1有解(x,y)∈N2,設是方程ax2-by2=1(x,y∈Z)的基本解，則ax2-by2=1的任一組解可以表示為：

2 主要定理

定理1設奇素數p=3n(n +1)+1(n∈N)，若存在形如24k-1，24k-5，24k-7，24k-11型的素數q使得，則Diophantine方程

無正整數解。

定理2設奇素數

則Diophantine方程

無正整數解。

3 定理證明

3.1 定理1證明

證明設(x,y)是方程(2)的正整數解，由費馬小定理可知x3≡x(mod3)，故有x3-1≡x-1≡0(mod3)，此時x2+x+1≡0(mod3)。故

又x-1≡0(mod3)，則有9/|(x2+x+1)，故(2)可分解為以下兩種情形：

由引理1知，情形（I）無正整數解。

對于情形（II），消去x并整理得

則(2v,6u2+1)是方程(1)的一組解。因為

故由引理2，得(2,2n+1)是方程(1)的最小解。

由引理3知，從(3)可得：

由(4)可得6u2+1≡0(mod(2n +1))，因為所以6u2+1≡0(modq)，因此6u2≡-1(modq)，(6u)2≡-6(modq)，故模q的勒讓德符號

又由題意知，q≡-1, -5, -7, -11(mod24)，故模q的勒讓德符號

矛盾。由此可知，情形（II）不成立。

綜上，方程(2)在題設條件下無正整數解。

3.2 定理2證明

證明：由定理1的證明可知，由(4)可得

6u2+1≡0(mod(2n +1))。

又因為n≡1(mod3)，故2n+1≡0(mod3)，即所以

6u2+1≡0(mod3)，

這不可能。由此可知，式(4)不成立。

綜上，方程(2)在題設條件下無正整數解。

[1] 柯召,孫琦.關于丟番圖方程x3±1=Dy2[J].中國科學, 1981,24(12):1453-1457.

[2] 段明輝.關于丟番圖方程x3+1=57y2[J].重慶師范大學學報,2010,27(3):41-43.

[3] 杜先存,李玉龍,趙金娥.關于不定方程x3-1=Dy2[J].四川理工學院學報,2012,25(4):79-80.

[4] 杜先存,史家銀,趙金娥.關于不定方程x3-1=py2[J].西南民族大學學報(自然科學版),2012,38(5):748-751.

[5] 杜先存,趙東晉,趙金娥.關于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜師范大學學報(自然科學版),2013,39(1):42-43.

[6] 黃壽生.關于指數Diophantine方程x3-1=2py2[J].數學研究與評論,2007,27(3):664-666.

[7] 張同斌,潘家宇.關于丟番圖方程x±1=,x2?x ±1=[J].河南教育學院學報(自然科學版),1999,8(3): 1-3.

[8] 夏圣亭.不定方程淺說[M].天津:天津人民出版社, 1980: 97-98.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Diophantine Equation x3-1=3py2

WAN Fei, DU Xian-cun
(Teachers’ Educational College, Honghe University, Mengzi 661199, China)

The positive integer solutions of the Diophantine equationx3-1=3py2are studied on condition thatpis an odd prime of the form6k+1. By using the elementary method of the minimal solution of the Pell equationpx2-3y2=1, congruent formula, quadratic residue and Legendre symbol, two related conclusions are proved.

Diophantine equation; odd prime; minimal solution; positive integer solution; Legendre symbol

O156.1

A

1009-9115(2014)02-0014-02

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.003

云南省教育廳科研基金（2012C199），江蘇省教育科學“十二五”規劃課題項目（D201301083）

2013-03-24

萬飛（1969-），女，云南建水人，副教授，研究方向為數學教育及初等數論。