改進同倫分析方法及非線性熱傳導問題的同倫解

韓元春, 那仁滿都拉

(內蒙古民族大學 物理與電子信息學院, 內蒙古 通遼 028043)

實際上,工程中遇到的大量的熱傳導問題應該用非線性熱傳導方程來描述.自然界中的其他現象,如擴散、滲流等都與熱傳導現象有共性之處,因此也可用類似的非線性方程來描述.因此,非線性熱傳導方程的研究一直是數學和物理學家關注的熱點問題.然而,由于非線性方程的復雜性,大多數方程很難求得精確解析解,只能用數值方法或近似解析方法求得近似解.Lyapunov人工小參數法、攝動方法、δ展開法和Adomian分解法等傳統近似方法,雖然能夠成功地解決許多非線性問題[1],但這些方法給出級數解的收斂區域和收斂速度都是確定的,不能簡便地控制和調節級數解的收斂區域和收斂速度.針對這些不足,廖世俊[2]發展傳統的同倫方法,提出同倫分析方法.該方法的優點是適合于求解強非線性問題、無需小參數假設條件、可自由選取基函數而更有效地表達解、所得級數解的收斂區域和速度可由一個輔助參數來調節和控制.文獻[3-7]中證實了該方法的有效性.文獻[8]改進了文獻[2]提出的同倫分析方法,得到帶有2個輔助參數的改進同倫分析方法.該方法可提供2個輔助參數來調節和控制所得級數解的收斂區域和速度,從而實質性地改善同倫分析方法所得級數解的收斂區域和速度,使其更有效地求解和分析復雜非線性問題.

一般熱傳導問題的一維控制方程[9]為

(1)

其中,u表示溫度,k(u)為傳熱系數,f(u)是熱源產生的熱量,兩者都是溫度的函數.當k(u)和f(u)為溫度的不同函數時,方程(1)表示不同的非線性熱傳導方程.當k(u) = 2u,f(u) =β(u-u2)時,方程(1)表示文獻[10]中研究的非線性熱傳導方程

(2)

當k(u)=α,f(u)=β(u-u3)時,方程(1)就表示文獻[11]中研究過的非線性熱傳導方程

(3)

在方程(2)和(3)中,α和β是任意常數.

本文先介紹改進的同倫分析方法,并運用該方法,將研究非線性熱傳導方程(2)和(3)在初始條件(4)和(5)下的傳熱問題,給出2種非線性初值問題的同倫解,并分別與該問題的精確解進行比較分析

(4)

(5)

1 改進同倫分析方法簡介

對于原同倫分析方法,許多文獻做了介紹和應用[1-6].因此,本節介紹改進同倫分析方法時,只介紹對原方法的改進部分,其余部分不再闡述.文獻[8]主要在2個方面對原同倫分析方法進行了改進.首先對原同倫分析方法的零階形變方程進行改進,構造新的零階形變方程為

[1-gp+(g-1)p2]{L[φ(x,t;p)-

u0(x,t)]}=phN[φ(x,t;p)],

(6)

其中h(h≠0)和g都是輔助參數.由于方程(6)包含2個輔助參數h和g,第二個輔助參數g對開始系統到目標系統之間的同倫增添了一個新的自由度,因此能夠更有效地調節和控制所得級數解的收斂區域和速度.當第二輔助參數g=1時,零階形變方程(6)就變成廖世俊[2]提出的原同倫分析方法的零階形變方程.因此,原同倫分析方法的零階形變方程可看作是方程(6)的一種特殊情況.其次對原同倫分析方法的高階形變方程改進為

L[um(x,t)-χmgum-1(x,t)+

(7)

其中

(8)

很顯然,當g=1時,高階形變方程(7)就變成原同倫分析方法的高階形變方程.對方程(7)兩邊作用逆算符L-1可得

(9)

這樣,由(9)式和初始猜測解,可得原方程的任意階級數解.

2 初值問題的同倫解

2.1方程(2)滿足初始條件(4)的同倫解依照改進同倫分析方法的思想,首先選擇如下初始猜測解

(10)

以及輔助線性算符

這里c為初始條件確定的積分常數.另外,根據方程(2),定義非線性算符為

βφ(x,t;p)+βφ(x,t;p)2,

(12)

這樣,可構造如下零階形變方程

[1-gp+(g-1)p2]{L[φ(x,t;p)-u0(x,t)]}=

phN[φ(x,t;p)].

(13)

當p=0,p=1時,顯然有φ(x,t;0)=u0(x,t),φ(x,t;1)=u(x,t).由零階形變方程(13),可得到如下m階形變方程

L[um(x,t)-χmgum-1(x,t)+

(14)

以及所滿足的初始條件um(x,0)=0.上式中

(15)

m階形變方程(14),對于m≥1的解為

um(x,t)=χmgum-1(x,t)-

(16)

這樣,由(10)和(16)式可以計算出u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t),…,從而可得到原方程任意階級數解

(17)

這里利用數學軟件Maple,當β=1時計算出了前10項(由于表達式太長這里已忽略),并得到了如下10階級數解

(18)

圖1 v=μt(0,0)等高線圖Fig. 1 Contour map of V=μt(0,0)

圖2 級數解(18)(實線)與精確解(圓圈)的比較:Fig. 2 Series solution (18)(real line) comparison with the exact solution(circle line)

圖3 原同倫分析方法和改進同倫分析方法給出解(實線)與精確解(圓圈)的比較Fig. 3 The comparision of the solution(real line) by using original homotopy analysis method and improved one with the exact solution(circle line)

2.2方程(3)滿足初始條件(5)的同倫解同樣,初始猜測解和輔助線性算符選為

這里c為初始條件確定的積分常數.另外,還定義非線性算符

這樣,可構造如下零階形變方程

[1-gp+(g-1)p2]{L[φ(x,t;p)-u0(x,t)]}=

phN[φ(x,t;p)].

(22)

由零階形變方程(22),可得到如下m階形變方程

L[um(x,t)-χmgum-1(x,t)+

(23)

以及所滿足的初始條件um(x,0)=0.在(23)式中

(24)

m階形變方程(23),對于m≥1的解為

um(x,t)=χmgum-1(x,t)-

(25)

這樣,當α=2,β=0.2時,用數學軟件Maple計算出前10項(這里已忽略),進而得到了如下級數解

(26)

圖4 W=ut(0,0)之等高線圖Fig. 4 Contour map of W=ut(0,0)

圖5 級數解(26)(實線)與精確解(圓圈)的比較Fig. 5 Series solution (26)(real line) compared with the exact solution(circle line)

圖6 原同倫分析方法和改進同倫分析方法給出解(實線)與精確解(圓圈)比較Fig. 6 The comparision of the solutions(real line) by using original homotopy analysis method and improved one with the exact solution(circle line)

3 結語

本文首先介紹了一種改進同倫分析方法,然后用該方法研究非線性熱傳導方程,得到不同初始條件下的2種同倫解.把所得的2種同倫解與該問題的精確解分別進行比較后發現了兩者的高度吻合性.這表明利用改進同倫分析方法可以獲得非線性方程的高精度近似解.另外,把改進同倫分析方法給出的解和原同倫分析方法給出的解分別與精確解進行比較,結果發現由于改進同倫分析方法中有2個輔助參數來調節和控制所得級數解的收斂區域和速度,所以改進同倫分析方法給出的解能夠更快、更好地逼近真實解.可見,改進同倫分析方法對復雜非線性問題的研究有它的獨特優點.非線性熱傳導問題的研究具有重要的理論意義和實際應用價值[9-12],而本文介紹的方法和所得結果將有助于深入分析這類非線性問題.

致謝內蒙古民族大學科研創新團隊建設計劃資助項目對本文給予了資助,謹致謝意.

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