2n階非線性p-Laplacian型泛函差分方程的周期解

吳賢敏, 石海平

(廣東建設職業技術學院 現代商務與管理系, 廣東 廣州 510450)

1 引言及主要結果

記N,Z及R分別表示自然數集、整數集和實數集.任取a,b∈Z滿足a≤b,定義Z(a)={a,a+1,…},Z(a,b)={a,a+1,…,b}.*表示向量的轉置.

考慮2n階非線性泛函差分方程

Δn(rk-nφp(Δnuk-1))=(-1)nf(k,uk+M,uk,uk-M),

n∈Z(1),k∈Z

(1)

周期解的存在性.其中,Δ是向前差分算子Δuk=uk+1-uk,Δ2uk=Δ(Δuk),rk>0是Z上的實值函數,φp(s)是p-Laplacian算子φp(s)=|s|p-2s(1

方程(1)可以看作下列非線性泛函微分方程的離散類似

(-1)nf(t,u(t+M),u(t),u(t-M)),

t∈R.

(2)

對于非線性泛函微分方程的研究,在應用和理論上都有十分重要的意義[1-5].

眾所周知,差分方程跟微分方程一樣,也是對現實世界的一些現象的一種描述.近年來,差分方程已廣泛出現在科學研究的各個領域中,如概率論、矩陣論、電路分析、組合分析、排隊論、數論、心理學與社會學等[6-10].而且,由于在生產實際和科學研究中所遇到的微分方程往往很復雜,在很多情況下都不可能給出解的解析表達式,為了數值模擬的需要,常常需要將微分方程加以離散化,研究其相應的差分方程.因此,理論和實際的需要使得差分方程理論得到迅速的發展.文獻[11]考慮了具有滯后、超前項的泛函差分方程的單調迭代技術,文獻[12-13]研究了具有超前和滯后的泛函差分方程同宿軌的存在性.本文將應用臨界點理論給出2n階非線性p-Laplacian型泛函差分方程(1)周期解存在性和多重性的充分條件,所得結果推廣和改進了文獻[14-15]相關結果.所采用的方法主要是利用環繞定理結合變分技巧.研究的主要結果如下.

定理1.1假設下列條件滿足:

(F1) 對?k∈Z,存在泛函F(k,v1,v2)∈C1(Z×R2,R)滿足F(k,v1,v2)≥0,且

F(k+T,v1,v2)=F(k,v1,v2),

則對任意給定的正整數m>0,方程(1)至少存在2個非平凡mT-周期解.

注1.1由(F3)容易知道存在常數γ′>0,使得

事實上,令

易證所得的結論.

注1.2文獻[14-15]獲得當非線性項在超線性增長的條件下周期解的存在性,在(1)中分別取n=1,rk≡1,M=1及p=2,M=0,當非線性項在非超非次線性增長的條件下分別推出文獻[14-15]的結果.因此,定理1.1推廣并改進了文[14-15]的結果.

2 變分結構及基本引理

設S表示由所有如下形式的實數序列組成的向量空間,

u={uk}k∈Z=(…,u-k,…,u-1,u0,u1,…,uk,…).

對任意的u,v∈S,a,b∈R,au+bv定義為

則S是向量空間.

對于給定的正整數m及T,定義S的子空間EmT為

EmT={u∈S|uk+mT=uk,?k∈Z}.

顯然,EmT與RmT同構.在EmT中定義內積

?u,v∈EmT.

(3)

由此內積可誘導出空間EmT中的范數‖·‖為

?u∈EmT.

(4)

顯然,(EmT,〈·,·〉mT)是有限維Hilbert空間,且與RmT線性同構.

另一方面,對?s>1,在EmT上定義‖·‖s為

?u∈EmT.

(5)

由于‖u‖s與‖u‖2等價,存在常數c1,c2使得c2≥c1>0,且

c1‖u‖2≤‖u‖s≤c2‖u‖2,

?u∈EmT.

(6)

顯然,‖u‖=‖u‖2.對?u∈EmT,在空間EmT上定義泛函J

(7)

顯然,J∈C1(EmT,R)且對?u={uk}k∈Z∈EmT,由u0=umT,u1=umT+1,得

f(k,uk+M,uk,uk-M).

因此,u是J在EmT上的臨界點當且僅當

Δn(rk-nφp(Δnuk-1))=(-1)nf(k,uk+M,uk,uk-M),

?k∈Z(1,mT).

由于u={uk}k∈Z∈EmT及rk,f(k,v1,v2,v3)關于k的周期性,因此,尋求方程(1)的mT-周期解問題就轉化為尋求泛函J在EmT上的臨界點.從而,泛函J在EmT上的臨界點正好是方程(1)的古典mT-周期解.

設mT×mT矩陣P為

(8)

記W=kerP={u∈EmT|Pu=0∈RmT},則W={u∈EmT|u={c,c,…,c},c∈R}.令V是W關于EmT的正交補空間,即EmT=V⊕W.為方便起見,將u∈EmT與u=(u1,u2,…,umT)*看作是一致的.

設E是實的Banach空間,J∈C1(E,R),即J是定義在E上的連續Fréchet可微的泛函.稱泛函J滿足Palais-Smale條件(簡稱P.S.條件),如果對任意的序列{u(i)}?E,若{J(u(i))}有界且J′(u(i))→0(i→∞),則{u(i)}在E中存在收斂的子列.記Bρ為E上中心在原點半徑為ρ的開球,?Bρ為Bρ的邊界.

引理2.1(環繞定理[16]) 設E是實的Banach空間,E=E1⊕E2,其中E1是E的有限維子空間.假設J∈C1(E,R)滿足P.S.條件,并且

(J1) 存在常數a>0,ρ>0使得J|?Bρ∩E2≥a;

引理2.2假設條件(F1)～(F3)成立,則J在EmT上有上界.

其中,x=(Δn-1u1,Δn-1u2,…,Δn-1umT).因為

所以

mTγ′≤mTγ′.

故存在常數K=mTγ′>0,使得對?u∈EmT,J(u)≤K.證畢.

引理2.3假設條件(F1)～(F3)成立,則泛函J滿足P.S.條件.

證明設{J(u(i))}是有下界的序列,即存在常數M1,使得對?i∈N,-M1≤J(u(i)).由引理2.2的證明,易知

-M1≤J(u(i))≤

因此

3 定理1.1的證明

斷言c0>0.事實上,由(F2)及引理2.2的證明過程知,對?u∈V,‖u‖≤δ,

其中,x=(Δn-1u1,Δn-1u2,…,Δn-1umT)*.因為

所以

其中,y=(Δn-1e1,Δn-1e2,…,Δn-1emT)*.又因為

從而,

再一次應用環繞定理,J又存在臨界值c′≥σ>0,其中

注3.1最后,給出一個例子來應用定理1.1.對?n∈Z(1),k∈Z,假設

Δn(rk-nφp(Δnuk-1))=

(9)

[1] 鄭祖庥. 非R.N.A.型泛函微分方程的近期進展[J]. 安徽大學學報:自然科學版,1994,35(1):11-30.

[2] 林文賢. 一類中立型阻尼泛函微分方程的振動性[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2013,36(3):396-398.

[3] 楊甲山,方彬. 一類二階中立型微分方程的振動和非振動準則[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2012,35(6):776-780.

[4] 杜瑞霞,劉萍. 一類帶反饋控制的高維泛函微分方程的正周期解研究[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2012,35(1):16-20.

[5] 周小平,衛星. 大型非線性偏泛函微分方程的不變集和吸引性[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2008,31(6):649-653.

[6] Agarwal R P. Difference Equations and Inequalities: Theory, Methods and Applications[M]. New York:Marcel Dekker,1992.

[7] Iannizzotto A, Radulescu V D. Positive homoclinic solutions for the discretep-Laplacian with a coercive weight function[J]. Differ Integral Equ Appl,2014,27(1/2):1-200.

[8] Wang X P. New potential condition on homoclinic orbits for a class of discrete Hamiltonian systems[J]. Adv Difference Equ,2014,2014:1-9.

[9] Chen H W, He Z M. Infinitely many homoclinic solutions for second-order discrete Hamiltonian systems[J]. J Difference Equ Appl,2013,19(12):1940-1951.

[10] Chen W X, Yang M B, Ding Y H. Homoclinic orbits of first order discrete Hamiltonian systems with super linear terms[J]. Sci China Math,2011,54(12):2583-2596.

[11] 田淑環,王文麗. 具有滯后、超前項的泛函差分方程的單調迭代技術[J]. 保定學院學報,2009,22(4):17-19.

[12] Yu J S, SHI H P, Guo Z M. Homoclinic orbits for nonlinear difference equations containing both advance and retardation[J]. J Math Anal Appl,2009,352(2):799-806.

[13] Chen P, Tang X H. Existence of many homoclinic orbits for fourth-order difference systems containing both advance and retardation[J]. Comput Math Appl,2011,217(9):4408-4415.

[14] Chen P, Fang H. Existence of periodic and subharmonic solutions for second-orderp-Laplacian difference equations[J]. Adv Difference Equ,2007,2007:1-9.

[15] Cai X C, Yu J S. Existence of periodic solutions for a 2nth-order nonlinear difference equation[J]. J Math Anal Appl,2007,329(2):870-878.

[16] Rabinowitz P H. Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations[M]. Providence RI:Am Math Soc,1986.