迭代下保持不變的自映射

林銀河

(麗水學院 理學院, 浙江 麗水 323000)

一個隨時間而變化發展的系統,如系統的歷史和未來完全由某一指定時刻的狀態所確定,則這樣的系統就被稱為決定性系統[1].動力系統是決定性系統的一種數學模型.設系統所有可能的狀態的集合為M.給出初始狀態x0∈M之后,系統在時刻t的狀態xt就被x0和t所確定了.因而有

xt=F(t,x0),x0,xt∈M,t∈(-∞,+∞),

其中F(t,x)滿足F(t,F(s,x))=F(t+s,x)對x∈M和t,s∈(-∞,+∞).若取定t=1,令f(x):=F(1,x),則有

x1=f(x0),x2=f(x1)=f(f(x0)),…,

xn=f(xn-1)=f(f(…f(x0))).

可見通過對映射f的迭代研究,就可以提供系統在未來一串離散時刻的狀態變化趨勢[1].當f可逆時通過f的逆映射的迭代,還可以追溯系統的歷史.映射的迭代是構成離散動力系統的主要內容.在一維動力系統的離散模型中,主要是線段上的映射迭代.自映射的迭代現在已經成為函數方程的重要內容之一[1].自19世紀開始數學家們就關注自映射迭代的研究[2-3],從此之后迭代和迭代根以及迭代方程的研究取得了巨大的成就[4-14].迭代的變化規律是使迭代研究的重要內容之一,本文將討論在迭代之下保持不變的自映射,給出了這類自映射的充分必要條件.這是一類有趣和重要的自映射,它反映了其所對應的系統在離散取樣時不會隨時間的變化而改變.同時這類自映射在每個點處的軌道以及周期點都表現出良好的性質.

1 相關概念與結論

若y是u的函數,即y=f(u),而u又是x的函數,即u=g(x),則稱y是x的復合函數,記為y=f(g(x))或者y=f°g(x).

定義1.1[15]設F:X→X是集合X上的一個自映射.n是一個正整數,記

F0(x)=x,Fn=F(Fn-1(x)),

?x∈X,n=1,2,….

則稱Fn為F的n次迭代函數,簡稱為F的n次迭代,其中n稱為迭代指數.

迭代指數有類似數的乘冪的性質[1]:

Fn°Fm=Fn+m, (Fn)m=Fnm.

由迭代的定義可知若F:X→X是嚴格遞增,那么對任意正整數n,Fn在X上也嚴格遞增;若F:X→X是嚴格遞減,那么對任意正整數n,F2n在X上嚴格遞增但是F2n+1在X上嚴格遞減.

定義1.2[16]設F:X→X是集合X上的一個自映射,ξ∈X.如果存在正整數k,使得Fk(ξ)=ξ,但對一切滿足1≤i≤k-1的正整數i,都有Fi(ξ)≠ξ,那么就稱ξ是F的一個k-周期點.F的1-周期點簡稱為F的不動點.因此如ξ是F的一個不動點,即有F(ξ)=ξ,反之亦然.

定義1.3[17]設f為拓撲空間X上的一個同胚,fk為f的k次迭代,分別稱集合

Orbf(x)={fk(x):k∈Z},

Orbf+(x)={fk(x):k∈Z+},

Orbf-(x)={f-k(x):k∈Z+}

為f過x∈X的軌道,正半軌和負半軌.

定義1.4[17]設F和f分別是集合X上的自映射,n是一個正整數.如果

fn(x)=F(x), ?x∈X,

則稱f是F在X上的一個n次迭代根,簡稱f是F的n次迭代根.

定義1.5設F:X→X是集合X上的一個自映射.若存在正整數n使得

Fn(x)=F(x), ?x∈X,

(1)

則稱F在X上n次迭代保持不變.

設F:X→X是集合X上的一個自映射.由定義容易知道:

(i)F在X上1次迭代自然保持不變;

2 相關討論

在以下討論中,記X:=[0,1],F:X→X是一個連續自映射.集合S?X,F|S表示F在S上的限制.

定理2.1設F:X→X是嚴格單調的.則存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變的充分必要條件是下列條件之一成立：

(i)F(x)=x,?x∈X;

(ii)F2(x)=x,?x∈X.

證明首先考慮充分性.當條件(i)成立時,自然地,對任意正整數n,都有(1)式成立,即F在X上任意次迭代保持不變.當條件(ii)成立時,那么對正整數n=3,(1)式成立.從而對任意正整數k,

F2k+1(x)=F2k-1(x)=…=F3(x)=F(x),

?x∈X.

因此F在X上任意奇數次迭代保持不變.充分性得證.

以下證明必要性,將分F在X上是嚴格遞增和嚴格遞減進行討論.

當F在X上是嚴格遞增時,用反證法假設存在x0∈X使得F(x0)≠x0.不妨設F(x0)>x0,從而有

Fi+1(x0)>Fi(x0),i=1,2,…,n-1.

由此自然地推出Fn(x0)>F(x0),這和F在X上n次迭代保持不變矛盾.類似地,當F(x0)

當F在X上是嚴格遞增減時,令G:=F2,那么G是X上的嚴格遞增自映射.由此

Gn(x)=(F2)n(x)=F2n(x)=

(Fn)2(x)=F2(x)=G(x), ?x∈X,

即G在X上也n次迭代保持不變.由上述已經證明的結果可得

F2(x)=G(x)=x, ?x∈X.

由此可得條件(ii)成立.必要性證畢.

由上述定理2.1可得以下推論:

推論2.1設F:X→X是嚴格單調的,并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么必有F(X)=X.

推論2.2(i) 若F在X上是嚴格遞增并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么

?x∈X.

(ii) 若F在X上是嚴格遞減并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么

其中ξ是F在X上的唯一不動點.

推論2.3(i) 若F在X上是嚴格遞增并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么對任意正整數k,F在X上k次迭代保持不變.

(ii) 若F在X上是嚴格遞減并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么n一定是奇數,并且對任意奇數k,F在X上k次迭代保持不變.

推論2.4(i) 若F在X上是嚴格遞增并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么F是唯一的并且它的圖形是對角線{(x,x):x∈X}.

(ii) 若F在X上是嚴格遞減并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么F有無限多并且它的圖像關于對角線{(x,x):x∈X}對稱,即每一個這樣的F都是X上的對合函數.

推論2.1～2.4能從定理2.1直接可以得到,因此它們的證明不再瑣述.

定理2.2設F:X→X是非嚴格單調的,那么存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變的充分必要條件是下列條件之一成立：

(i)F(x)=m,?x∈X;

(ii)F(x)=x,?x∈[m,M];

(iii)F2(x)=x,?x∈[m,M],

其中m=min{F(x):x∈X},M=max{F(x):x∈X}.

證明首先證明必要性.假設條件(i)不成立.那么有m

F([m,M])?F(X)?[m,M],

所以F在[m,M]上是一個自映射.以下證明F|[m,M]是一個嚴格單調映射.即只要證明

F(y1)≠F(y2), ?y1,y2∈[m,M],y1≠y2.

(2)

(3)

那么由(2)和(3)式可以推出

以下證明充分性.首先考慮m=M,即條件(i)成立.那么對一切正整數n,都有

Fn(x)=m=F(x), ?x∈X,

即F在X上n次迭代保持不變.

現在假設條件(ii)成立.因為對?x∈X,都有F(x)∈[m,M].因此由條件(ii)可得

F2(x)=F(F(x))=F(x).

這表明F在X上2次迭代保持不變.自然地,對一切正整數k,F在X上也有k次迭代保持不變.

最后假設條件(iii)成立.那么對?x∈X都有

F3(x)=F2(F(x))=F(x).

因此F在X上3次迭代保持不變.從而對一切奇數k,F在X上也有k次迭代保持不變.充分性證畢.

圖1 F 是常值Fig. 1 F is constant

圖2 F 在F(I)上嚴格遞增Fig. 2 F is strictly increasing on F(I)

圖3 F 在F(I)上嚴格遞減Fig. 3 F is strictly decreasing on F(I)

由定理3.2可以直接得到如下推論：

推論2.5設F:X→X是非嚴格單調的,并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么

(i)F([m,M])=[m,M]并且或者F([m,M])是單點集,或者F|[m,M]嚴格單調;

(ii) 當m=M時有

(iii) 當m

(iv) 當m

從幾何上看由定理2.2可得若F:X→X是非嚴格單調并且存在正整數n>1使得F在X上n次迭代保持不變,那么F在X上的圖形必為圖1～3的3種情形之一.

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