抽象凸空間中的 Shapley-KKM引理

陳治友, 夏順友

(1. 貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550005; 2. 貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550018 )

Horvath[1]僅用拓?fù)湫再|(zhì),即用可縮性代替凸性定義具有H-凸結(jié)構(gòu)的H-空間,該空間的H-凸結(jié)構(gòu)將先前的線性凸結(jié)構(gòu)作了推廣,而后,在國(guó)內(nèi)外一些專(zhuān)家學(xué)者的深入研究下,在一般拓?fù)淇臻g中涌現(xiàn)了大量的凸結(jié)構(gòu).如:半格凸、G-凸、B-凸、Vandevel-凸、 Michael-凸、L-凸、超凸等. 文獻(xiàn)[2-3]通過(guò)對(duì)上述眾多的凸結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)共性特征,即都滿(mǎn)足H0-條件,并且提出了更具一般意義的抽象凸結(jié)構(gòu)的抽象凸空間.而各種類(lèi)型的KKM定理在不同的空間中有廣泛的應(yīng)用[4-12],又由于許多非線性問(wèn)題的相關(guān)結(jié)果能借助H0-條件將它們推廣到抽象凸空間中來(lái)[13-15],因此本文在滿(mǎn)足H0-條件的不具有線性結(jié)構(gòu)的抽象凸空間中建立新的Shapley-KKM引理,從而將這個(gè)著名的引理推廣到抽象凸空間.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]設(shè)C是Y的子集族,稱(chēng)序?qū)?Y,C) 為抽象凸結(jié)構(gòu)空間,或簡(jiǎn)稱(chēng)抽象凸空間,如果C滿(mǎn)足:

1) 空集φ∈C;

定義A?Y的凸包為coA=∩{D∈C:A?D}.稱(chēng)A?Y為凸集,若A∈C.顯然,A為凸集,當(dāng)且僅當(dāng)coA=A.

定義2[3]稱(chēng)抽象凸空間(Y,C)滿(mǎn)足H0-條件,如果凸結(jié)構(gòu)C有下面性質(zhì):

對(duì)每個(gè)有限集{y0,y1,…,yn}?Y,存在連續(xù)映射

f:ΔN→co{y0,y1,…,yn},

使得

f(ΔJ)?co{yj:j∈J}, ?φ≠J?N.

其中,ΔN=e0e1…en是n維標(biāo)準(zhǔn)單純形,e0,e1,…,en是Rn+1中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

下面再給出一些概念和引理.

引理1稱(chēng)N的子集族β是均衡的,當(dāng)且僅當(dāng)mN∈co{mB:B∈β}.

2 主要結(jié)果

定理1(抽象凸空間中的Shapley-KKM引理)設(shè)(X,C)是滿(mǎn)足H0-條件的抽象凸拓?fù)淇臻g,設(shè)F:X→2X為閉值的,且滿(mǎn)足對(duì)任意有限子集

{xi:i∈A},A?N={0,1,…,n},

有

證明令X={xi:i∈N},對(duì)每一個(gè)x∈X.再令

I(x)={B?N:x∈FB}.

由已知條件知,I(x)非空.由于滿(mǎn)足H0-條件,故存在連續(xù)映射σ:ΔN→X,使得??≠J={i0,i1,…,ik}?N,滿(mǎn)足σ(ΔJ)?co{xj:j∈J}.

構(gòu)造映射S:ΔN→2ΔN,T:ΔN→2ΔN分別為

S(z)=co{mB:B∈I(σ(z))},

T(z)={mN}, ?z∈ΔN.

則S、T滿(mǎn)足引理2的條件.事實(shí)上,S的作法和S是非空、閉、抽象凸的,只需證明S的上半連續(xù)性.

對(duì)每一個(gè)z∈ΔN,存在z的一個(gè)鄰域U(z),使得?z′∈U(z),有I(σ(z′))?I(σ(z)).

設(shè)B?I(σ(z)),即σ(z)?FB,由FB閉,于是存在σ(z)的一個(gè)鄰域V(σ(z)),使得V(σ(z))∩FB=?,再由σ的連續(xù)性,知存在z的一個(gè)鄰域U(z),使得?z′∈U(z),有σ(z′)?V(σ(z)),則有σ(z′)∩FB=?,即σ(z′)?FB,即B?I(σ(z′)),故I(σ(z′))?I(σ(z)).

因此有

S(z′)=co{mB:B∈I(σ(z′))}?

co{mB:B∈I(σ(z))}=S(z),

于是S是上半連續(xù)的.同樣T也是閉、抽象凸、上半連續(xù)的.

再驗(yàn)證S、T滿(mǎn)足引理2的其余條件.即檢驗(yàn)?z∈ΔN,ν∈S(z),存在一個(gè)常數(shù)λ>0,使得

yλ=z+λ(mN-ν)∈ΔN.

(1)

?z∈ΔN,令A(yù)={i∈N:zi>0},其中zi和z在Rn+1中的第i個(gè)坐標(biāo),由于X滿(mǎn)足H0-條件,于是有

故?B?A,使得σ(z)∈FB.

在(1)式中取ν=mB.下證:總有λ>0,使得

yλ=z+λ(mN-ν)∈ΔN.

(2)

(3)

令

則有

(4)

其中|B|表示B的元素的個(gè)數(shù).這樣就有

1-λ+λ=1.

故S、T滿(mǎn)足引理2的條件,則?z0∈ΔN,使得S(z0)∩T(z0)≠?,即

mN∈co{mB:B∈I(σ(z0))}.

注1 特別,當(dāng)標(biāo)號(hào)集B={i},i=0,1,2,…,n.時(shí),上述定理就是抽象凸空間中通常的KKM引理.

致謝貴陽(yáng)學(xué)院院級(jí)數(shù)學(xué)建模教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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