Vakhnenko-Parkes方程的李對稱及其精確解

溫雙全, 李春海, 莫達隆

(1. 桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院, 廣西 桂林 541004; 2. 賀州學院 理學院, 廣西 賀州 542800)

1 引言與預備知識

非線性演化方程已應用于數(shù)學物理學,如：生物學、流體力學、化學、凝聚物理學、光纖通信和量子場論.由于非線性演化方程應用于許多數(shù)學物理模型中,所以這些方程的精確解變得越來越重要并且促進了數(shù)值解的驗證和解的穩(wěn)定性分析,而許多解的存在性可能只依賴于一個單一變量.過去幾年,有許多方法已用于尋求這類方程的精確解,如反散射法[1]、Backlund變換[2]、Hirota法[3]、對稱法[4]、李群方法[5]、動力系統(tǒng)分支理論[6]、同倫攝動法[7].

Vakhnenko方程是一個在松弛介質(zhì)下描述高頻波的非線性演化方程[8-9],Vakhnenk方程簡稱VE,即

(1)

其中,u是無限維壓強,x是空間變量,t是時間變量.由于VE有類似圈孤解的形式,則獲得其方程的解比較困難.目前,學者們研究該方程已有些成就,如文獻[10-11]運用同倫分析法發(fā)現(xiàn)該方程存在一個圈孤解形式;而V. Vakhnenko等[3]運用Hirota法[3]和反散射法[1,12]發(fā)現(xiàn)了2個圈孤解形式;而A. Morrison等[13]運用Hirota法[13]和反散射法[12]分別獲得了N個圈孤解形式和計算多個圈孤解形式.

目前許多作者進一步研究

(2)

其中

若p=q=1,方程(2)是廣義VE[13-14].若p=2q,方程(2)是修正的廣義VE[15].廣義VE和修正的廣義VE都存在圈孤解、峰孤解和尖孤解.本文主要運用李群方法和動力系統(tǒng)理論來研究從VE演化而來的Vakhnenko-Parkes[16-17](VP)方程

uuxxt-uxuxt+u2ut=0.

(3)

2 Vakhnenko-Parkes方程的李對稱

李群方法又稱作李對稱分析方法[5,18].相對較嚴謹?shù)卣f法,微分方程的李對稱群是將方程的一個解映射為方程的另一個解.微分方程的不變性將導出它的對稱群所滿足的充分必要條件,這組條件即稱為對稱群的決定方程組.確定了對稱群的決定方程組,隨之即可得到許多相應的應用.

設(shè)單參數(shù)李變換群的無窮小變換為

x→x+εξ(x,t,u),

t→t+ετ(x,t,u),

u→u+εφ(x,t,u),

其中無窮小參數(shù)ε?1.設(shè)

(4)

為單參數(shù)李變換群的向量場,其第1,2,3階延拓向量場如下

方程(3)在無窮小變換下保持不變當且僅當向量場應滿足李對稱條件pr(3)V(Δ)|Δ=0,其中

Δ=uuxxt-uxuxt+u2ut.

應用李對稱條件到方程(3),可知系數(shù)函數(shù)ξ(x,t,u)、τ(x,t,u)、φ(x,t,u)必須滿足如下對稱條件

uxxtφ+2uutφ-uxtφx+

u2φt-uxφxt+uφxxt=0,

(5)

其中,φx、φt、φxt、φxxt是延拓向量pr(3)V的系數(shù),并且有

φx=Dxφ-uxDxξ-utDxτ,

(6)

φt=Dtφ-uxDtξ-utDtτ,

(7)

φxt=DtDx(φ-ξux-τut)+ξuxxt+τuxtt,

(8)

ξuxxxt+τuxxtt,

(9)

其中,Dx和Dt分別是對x和t的全微分.置換(6)～(9)式到(5)式,并用uxuxt替換uuxxt+u2ut,得到VP方程的決定方程組

ξu=ξt=0,ξ=ξ(x),

(10)

τx=τu=0,τ=τ(t),

(11)

φuu=φx=φt=0,φ=φ(u),

(12)

-2φu+2ξx+τt=0, 3φu-τt=0.

(13)

解上面這些方程組,有如下系數(shù)函數(shù)

ξ=c1x+c2,τ=-6c1t+c3,

φ=-2c1u.

(14)

其中,c1、c2、c3是任意常數(shù).可見方程的不變?nèi)旱娜w生成元構(gòu)成了一個3維李代數(shù),并且有下列一組基

(15)

與它們相應的單參數(shù)變換群

G1:(x,t,u)→(x+ε,t,u),

G2:(x,t,u)→(x,t+ε,u),

G3:(x,t,u)→(xeε,te-6ε,ue-2ε).

由此可見G1是空間變換,G2是時間變換,G3是尺度變換.因此,由表1可知V1、V2、V3的交換算子是封閉的.

3 Vakhnenko-Parkes方程的廣義對稱

應用廣義對稱方法考慮VP方程的對稱.廣義對稱方法又簡稱待定系數(shù)法.

設(shè)VP方程的對稱

σ(x,t,u)=a(x,t)ut+b(x,t)ux+

c(x,t)u+d(x,t),

(16)

其中,a(x,t)、b(x,t)、c(x,t)、d(x,t)是未確定的系數(shù)函數(shù).根據(jù)廣義對稱方法,對稱應滿足下列條件

uxxtσ+2uutσ+u2σt-uxtσx-

uxσxt+uσxxt=0.

(17)

把(16)式及其相應的微分項代入(17)式,得到下列系數(shù)函數(shù)的表達形式

a(x,t)=-6c1t+c3,

b(x,t)=c1x+c2,

c(x,t)=2c1,d(x,t)=0.

(18)

于是得到VP方程的對稱

σ=c3ut+c2ux+

c1(xux-6tut+2u),

(19)

其中,c1、c2、c3是任意常數(shù).因此,得到VP方程的對稱如下形式

σ1=ux,σ2=ut,

σ3=xux-6tut+2u,

(20)

這與第二節(jié)給出的對稱是一樣的.

4 Vakhnenko-Parkes方程的對稱李代數(shù)的一維最優(yōu)系統(tǒng)

下面給出VP方程的李代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)[19-21].為了獲得該方程的最優(yōu)系統(tǒng),計算了李代數(shù)的交換子和李代數(shù)的伴隨表示分別見表1和表2.

定理1方程的對稱代數(shù)的一維最優(yōu)系統(tǒng)有

V1,V2,V3,V1±V2.

(21)

表 1 換位子

表 2 李代數(shù)的的伴隨表示Ad(exp(ε Vi))Vj

證明設(shè)VP方程對稱代數(shù)的一維子代數(shù)的一般向量

V=a1V1+a2V2+a3V3,

其中,a1、a2、a3是不全為零的任意常數(shù).下面對一維李代數(shù)進行分類,為了進一步簡化一般向量,考慮下面幾種情況:

1)a3≠0.用Adexp(ε1V1)作用V上有

V=(a1-ε1a3)V1+a2V2+a3V3.

取ε1=a1/a3,則V1項被消掉,V被約化為

V=a2V2+a3V3.

又取ε2=-a2/6a3,用Adexp(ε2V2)作用于V上,消掉V2項,則該情形下V等價于V=V3.

2)a3=0.V等價于V=a1V1+a2V2.

(a) 若a1=0,a2≠0,則該情形下V等價于V=V2;

(b) 若a1≠0,a2=0,則該情形下V等價于V=V1;

(c) 若a1≠0,a2≠0,用Adexp(ε3V3)作用于V上,可選取適當?shù)摩?,使得V1和V2的系數(shù)相等或相反,則該情形下V等價于V=V1±V2.

總而言之,VP方程對稱代數(shù)的一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)Θ為{V1,V2,V3,V1±V2}.

5 Vaknenko-Parkes方程的精確行波解

當前考慮VP方程的行波解,設(shè)ξ=κx+ωt,有u(x,t)=φ(κx+ωt),其中κ和ω是增長波速.把它代入方程(3),得到如下非線性常微分方程

κ2wφφ?-κ2wφ′φ″+wφ2φ′=0.

(22)

方程(22)對ξ進行積分有

3κ2φφ″-3κ2(φ′)2+φ3=g,

(23)

其中g(shù)是積分常數(shù).方程(23)等價于平面

(24)

系統(tǒng)(24)有首次積分

(25)

其中h是積分常數(shù).

顯而易見在奇異線φ=0,系統(tǒng)(24)是無窮維的,這樣的系統(tǒng)稱為奇異行波系統(tǒng).為了避免出現(xiàn)奇異情形,作變換dξ=φdτ.系統(tǒng)(24)轉(zhuǎn)化成正則系統(tǒng)

(26)

系統(tǒng)(24)與系統(tǒng)(26)有相同的首次積分即不變曲線解,并且除了在奇異線φ=0外,系統(tǒng)(26)與系統(tǒng)(24)有相同的拓撲結(jié)構(gòu).

令M(φe,ye)為系統(tǒng)(26)在奇點(φe,ye)的系數(shù)矩陣,J(φe,ye)為系統(tǒng)(29)在奇點(φe,ye)的雅可比行列式,則有

i=1,2,P2-4q>0.

由平面動力系統(tǒng)分支理論[6],有如下結(jié)論：

1)g>0,N是一個中心點;

2)g=0,O(0,0)是一個高階奇點;

3)g<0,N是一個鞍點,P1和P2是2個結(jié)點.從而得出(24)和(26)的相圖分支如圖1所示.

根據(jù)系統(tǒng)(26)的相圖進行分析討論,得出VP方程的幾種行波解如下.

圖1 系統(tǒng)(24)和(26)的相圖Fig. 1 Phase portraits of system (24) and (26)

(27)

置(27)式于系統(tǒng)(24)的第一個方程積分有

其中

(φ3-φ)(φ-φ2)(φ-φ1)=

則有如下參數(shù)表達式

φ(ξ)=φ3-(φ3-φ2)sn2(ω1ξ,k1),

(28)

其中

sn(u,k)是雅可比橢圓函數(shù).因此,存在VP方程的周期行波解

φ(x,t)=φ3-

(φ3-φ2)sn2(ω1(κx+ωt),k1).

(29)

5.2孤波解

1) 當g=0時,存在一條同宿軌道穿過平衡點O(0,0)位于勢函數(shù)h>0,則系統(tǒng)(25)變成

(30)

置(30)式于系統(tǒng)(24)的第一個方程積分,有參數(shù)表達式

(31)

2) 當g<0時,存在3條異宿軌道穿過奇點N,P1和P2位于勢函數(shù)h>0,則系統(tǒng)(25)變成

(32)

置(32)式于系統(tǒng)(24)的第一個方程積分,有參數(shù)表達式

其中

因此,VP方程的孤立波解的參數(shù)表達式為

(33)

本文對VP方程運用經(jīng)典李群方法進行了李對稱分析,獲得該方程的對稱群的李代數(shù)結(jié)構(gòu),并且運用廣義對稱方法對其進行分析,發(fā)現(xiàn)此種方法下,該方程的李代數(shù)與前者是一樣的.在伴隨表示作用下,進一步研究了該方程的一維最優(yōu)系統(tǒng),并給出了證明.此外,運用動力系統(tǒng)方法研究了該方程的分支相圖,根據(jù)相圖探討了該方程的一些精確解,并且找出其精確解的參數(shù)表達式.

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