首次積分法下高維非線性偏微分方程新的行波解

黃 欣

(1. 四川財經職業學院 基礎部, 四川 成都 610101; 2. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

非線性波現象有很多,如色散、耗散、反應和對流等,它們出現在離子體物理、固體物理、流體力學、光學纖維等各類科學領域中.非線性現象常常與非線性偏微分方程聯系緊密,比如在地震研究中,地震波可以用非線性偏微分方程描述,又可以用環孤粒子或者是環孤立波來描述;臺風一些非常重要的結構特征可以通過二維的Euler方程來描述;易引發極端氣候的大氣阻塞現象可以用KdV孤立子來描述.因此在研究非線性現象的過程中,關于非線性偏微分方程的研究占到了一個重要的角色.人們把目光集中到了求這些對應非線性發展方程的精確解[1-8]上,因為這些解正是揭示各類非線性現象的重要工具,為得到這些非線性發展方程的精確解,許多直接的方法被提出,包括齊次平衡法[9]、雙曲正切法[10]、Exp-函數法[11]、廣義Riccati方程法[12]等.

首次積分法是求解非線性波動方程的有效方法之一,于2002年由Z. S. Feng[13]在求解Burgers-KdV方程中提出.其基本思想是利用行波變換將非線性偏微分方程轉化為常微分方程,再構造出這個常微分方程的一個首次積分,由此就可以把此常微分方程變成一個一階可積的常微分方程組,通過直接積分的辦法求解此常微分方程組,進而得到原方程的精確解.目前這個方法已經被成功的廣泛應用于各種非線性發展方程中,比如Fisher方程[14]、非線性Schr?dinger方程[15]、Gardner方程[16]等.

本文考慮如下(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程

ut+αu2ux+uxxx+uxyy+uxzz=0,

(1)

其中α為實常數.文獻[17]用(G′/G)-展開法獲得了方程(1)的精確解,文獻[18]用Exp-函數法研究了此方程.本文將通過首次積分法和符號運算系統Mathematica研究(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程(1),并得出了方程的新精確解.

1 首次積分法

對于給定的非線性偏微分方程

P(u,ut,ux,uxx,utt,uxt,…)=0,

(2)

假設方程存在行波解

u=u(ξ),ξ=x-ct,

其中c表示波速,則原方程就變為

P(u,u′,u″,…)=0.

(3)

再令

X(ξ)=u(ξ),Y(ξ)=u′(ξ),

(4)

則方程(3)等價于常微分方程組

(5)

通過常微分方程的定性理論[19]可知,對于常微分方程組(5),若能找到其2個首次積分,就能直接獲得其通解,但一般說來,由于沒有系統的構造首次積分的理論,即使想要獲得一個首次積分都很困難.Z. S. Feng[13]提出的首次積分法用到了代數環論中的除法定理[20],使得目標常微分方程組(5)能夠轉化為一階可積的常微分方程,通過轉換之后的方程有很多方法可以比較容易處理求解問題.

除法定理假設P(w,z)、Q(w,z)都是定義在復數域C[w,z]上的多項式,并且多項式P(w,z)在復數域C[w,z]上是不可約的．如果多項式Q(w,z)不包含多項式P(w,z)的所有零點,則復數域C[w,z]上必定存在一個多項式G(w,z),使得

Q(w,z)=P(w,z)·G(w,z).

2 (3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程的精確解

假設方程(1)有如下形式的行波解

u(x,y,z,t)=u(ξ),ξ=x+y+z-ct,

(6)

其中c為待定參數.將(6)式帶入(1)式得

-cu′+αu2u′+3u?=0,

(7)

將(7)式積分一次,并令積分常數為0,可得

(8)

令X(ξ)=u(ξ),Y(ξ)=u′(ξ),則方程(8)等價于

(9)

按照首次積分法的步驟,假定X(ξ)和Y(ξ)是方程組(9)的非平凡解,則方程組(9)的首次積分為

其中ai(X(ξ))(i=0,1,…m)是X(ξ)的多項式,am(X(ξ))≠0.根據除法定理可知,在復數域C上會有

q(X(ξ),Y(ξ))=g(X(ξ))+h(X(ξ))Y(ξ),

使得

僅考慮(11)式中的2種情況,即假定m=1和m=2.

情形1假定m=1,則有

p(X,Y)=a0(X)+a1(X)Y,

(12)

代入(11)式后比較兩邊Yi(i=2,1,0)的系數得

(13)

(14)

因為ai(X)(i=0,1)為多項式，則從(13)式可知a1(X)為常數,且h(X)=0.為運算的簡便,不妨取a1(X)=1,通過平衡a0(X)和g(X)的系數,可以得出deg[g(X)]=1,相應的deg[a0(X)]=2.

假定

g(x)=A1X+B0,A1≠0,

則有

(16)

其中A0為積分常數.

李離愀然不樂：“我父親說，龍化為魚，十年為期，意思是長安城不出十年，就會被叛軍打破，你說到那個時候，寫這首詩的吏部郎中王維大人，會不會降？”

將(16)式代入(15)式并比較兩邊Xi的系數可得

將(17)式代入(10)式得

(19)

將(19)式代入(9)式中,即可得(9)式的精確解,故原方程的精確解為

(20)

其中ξ0為任意常數.同理將(18)式代入(10)式得

(21)

將(21)式代入(9)式中,即可得(9)式的解,故原方程的精確解為

(22)

其中ξ0為任意常數.

情形2假定m=2,則有

p(X,Y)=a0(X)+a1(X)Y+a2(X)Y2, (23)

通過比較方程兩邊Yi的系數,可得

(24)

(25)

=g(X)a1(X)+h(X)a0(X),

(26)

(27)

因為ai(X)(i=0,1)為多項式,則從(24)式可知a2(X)為常數,且h(X)=0.為運算簡便,不妨取a2(X)=1,平衡a0(X)、a1(X)、g(X)的系數,可以得出deg[g(X)]=1.

假定

g(X)=A1X+B0A1≠0,

則可得a1(X)和a0(X)為

(28)

(29)

其中D為積分常數.

將a0(X)、a1(X)、g(X)代入(27)式, 令Xi的同次冪系數為0,則可以得到一個系統的非線性代數方程組,借助符號計算系統Mathematica解此方程可得

(30)

將(30)式代入(10)式可得

(31)

將(31)式代入(9)式,可得(9)式的解,故(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程的精確解為

u(x,y,z,t)=

其中ξ0為任意常數.

3 結論和展望

在交換代數環論的基礎上,運用首次積分法,借助符號計算系統Mathematica,本文對(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程進行了研究,獲得了該方程的精確行波解,這些解均為新解.下一步, 打算對此方法進行改進,使其可以往高階的、高維的非線性波動方程上推廣研究,此外還準備結合分岔理論,結合相圖,分析行波解的特性.

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