基于波浪譜的三維隨機波浪數值模擬及仿真

趙 珂，李茂華，鄭建麗，田冠楠

(1.哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.中國水產科學研究院 漁業機械儀器研究所，上海 200092)

0 引 言

艦船、海洋平臺等海洋結構物在海洋中工作，魚雷及潛射導彈的發射航行等都不可避免的受到波浪載荷的影響，波浪載荷的研究成為海洋結構物設計的重要組成部分，而準確確定波浪載荷的前提是建立可反映真實海浪的波浪模型。目前對于波浪研究的主要方法仍然是把波浪看作理想的規則波模型，然而自然界中的海浪是一種非常復雜的物理現象，波面上風速風向的變化，波浪內部運動破碎等因素都使海浪成為一種高度不規則和不可重復的現象[1-2]，即隨機波浪。因此，只有隨機波浪模型才能真實反映實際海浪，為海洋結構物的研究提供準確的波浪信息。

本文采用Matlab軟件對三維隨機波浪進行仿真，生成波面圖像，并對圖像顯示進行處理使其視角上更加接近真實波浪。為艦船、水下武器(魚雷、潛射導彈等)的設計研究提供參考。

1 波浪模型的建立

1.1 隨機波浪的數學模型

實際波浪的運動過程是一個復雜的三維隨機過程，二維波浪模擬不能夠有效地反映實際波浪的運動情況，需要進行更加精確的三維隨機波浪模擬。 將三維隨機波浪看成是由許多個不同波高、不同周期、不同相位、不同運動方向的余弦波疊加而成，設波面方程為z=η(x,y,t)，則其波面模型可用式(1)表示[1]

ωdit+βij]。

(1)

1.2 波浪參數的確定

在進行隨機海浪仿真時，首先要選取適宜的海浪譜作為模擬對象(即靶譜)，本文選取ITTC規定的標準波浪譜Pierson-Moscowitz譜(PM譜)[3-4]作為靶譜，其表達式為

式中，ω為頻率，H1/3為有義波高，設海面風速為v，則H1/3=0.0214v2。

由于PM譜描述的是能量隨頻率的變化，而對于三維隨機波浪，其能量分布與頻率和方向角都有關，并且認為頻率和方向角的影響相互獨立，則引入只與方向角α相關的方向擴展譜函數Df(α)：

最終，可得到三維隨機波浪的方向波譜：

S3D(ω,α)=SPM(ω)·Df(α)。

(4)

圖1 波浪譜示意圖Fig.1 Graph of wave spectrum

對傳播方向角α進行劃分和選取時，設方向角的變化范圍為主波向αmain兩側-π/2～π/2的范圍，將此區N等分，每一等份的寬度為dα=2π/N，選取每段的中心方向角作為代表方向角αdj。

方向角劃分完畢后，進行代表頻率的選取。設PM譜的能量集中在頻譜區間[ωs，ωx]內， 則其余部分可忽略不計，假設在高低頻側各允許略去總能量的μ部分(本文取μ=0.003)， 頻譜區間的上、下限ωs，ωx可通過下式確定：

確定頻譜區間后要進行頻譜區間的劃分及代表頻率的選取。頻譜區間劃分一般有等分頻率法和等分能量法2種方法，為防止按等頻率法劃分頻率區間時，模擬得到的波浪以周期2π/dω重復出現，使模擬結果與實際海浪不符，本文采用等分能量法。等分能量法是將譜頻區間劃分為M個能量相等的區間，各區間的分界頻率ωi由式(6)確定，則每個頻率區間的寬度為dω=ωi+1-ωi。頻譜區間劃分完畢后，選擇各個頻譜區間的中心頻率作為代表頻率，其計算式如式(7)所示。

(6)

自此，通過對頻率和方向角的劃分，把待模擬的波浪離散成了M×N個單元，每個單元組成波的波幅ζij可采用式(8)得到

波浪相位角βij應在0～2π范圍內均勻分布，為保證生成的隨機數分布均勻，從而保證仿真效果能夠盡可能符合實際情況，采用線性乘同余法[5]生成所需偽隨機數，式(9)～式(10)為乘同余法遞推公式，xij為0～B范圍內均勻分布的隨機數，yij為 0～1內均勻分布的隨機數，最后，根據式(11)得到i×j個 0～2π范圍內均勻分布的隨機數βij。

xij=λx(i-1)j(modB)， (i=1,2,3...)，

(9)

yij=xij/B。

(10)

βij=2πyij。

(11)

式中，取B為素數，λ為B的原根時，能達到最大周期T=B-1，因此B可適當取大些，使生成的隨機序列的周期大。

2 波浪仿真

運用Matlab軟件實現波浪仿真。首先，采用上節介紹的方法確定頻率分割數M，方向角分割數N，代表頻率ωdi， 代表方向角αdj， 相位角βij， 波幅ζij及波數ki， 并給定某一時刻t； 接著選定待仿真波浪的波面范圍，即x和y的范圍；仿真實現時，對于某一選定的位置(x,y)， 運用式(1)得到一個疊加的波高，這樣通過改變(x,y)值， 就可得到三維波面的圖像。此三維波面圖像顯示的為固定時刻t的波面效果，隨著t值的連續變化，就可得到隨時間變化的波面圖像。

圖(2)中(a)和(b)分別為模擬3級浪、5級浪的波面圖像，模擬所需具體參數及文獻中的參考波高[6-7]和本仿真最大波高對比結果如表1所示。

圖2 三維隨機波浪仿真曲面Fig.2 Simulate surface of 3-D random wave

浪級時刻t/s頻率劃分數M方向角劃分數N風速范圍/m·s-1選取風速/m·s-1波高參考范圍/m仿真最大波高/m3級浪2605055～88[05125]115級浪26050115～1413[2540]34

3 結 語

本文針對三維隨機海浪的仿真進行研究，首先建立基于PM譜的三維隨機海浪數學模型，并通過對頻率和方向角的劃分進行了數值離散。在波浪相位角的選取上，為使得到的隨機數列效果更好，采用乘同余法；最后運用Matlab軟件生成波面，引入Matlab自帶的brighten()， colorma()函數[8]并開啟lighting模式對波面進行美化，使顯示效果更具真實性。將仿真得到的最大波高與參考波高范圍對比，結果表明，仿真結果滿足要求，本方法能夠快速有效地進行三維隨機波浪的仿真。本研究下一步的工作是將水中航行體的受力與隨機波浪結合起來，從而計算出隨機波浪對于航行體運動的影響。

[1] 俞聿修.隨機波浪及其工程應用[M].大連:大連理工大學出版社,2003.

YU Yu-xiu.Random wave and its applications to engineering[M].Dalian:Dalian University of Technology Press,2003.

[2] 竺艷蓉.海洋工程波浪力學[M].天津：天津大學出版社，1991.

ZHU Yan-rong.Ocean engineering wave mechanics[M].Tianjin:Tianjin University Press,1991.

[3] PIERSON W J,MOSKOWITZ L.A propose spectral form for fully developed seas based on the similarity theory of SA Kitaigorodski[J].Jour.Geophys.Res.,1964,69(24):5181-5190.

[4] BOCCOTTI P.A method to obtain the directional wave spectrum[J].Ocean Engineering,2004(31):539- 545.

[5] 符寧.均勻隨機數的線性同余生成方法[D].吉林：吉林大學,2007.

FU Ning.The methods for generating the random numbers:liner congruence generator[D].Jilin:Jilin University,2007.

[6] KINSMAN B.Wind waves[M].New Jersey:Prentice Hall In.,1965.

[7] 潘玉田，馬新謀， 楊棟.三維隨機波浪的數值仿真研究 [J].火箭發射與控制學報，2010,9(3):5-8.

PAN Yu-tian,MA Xin-mou,YANG Dong.Study on numerical simulation of 3D random wave[J].Journal of Gun Launch & Control,2010,9(3):5-8.

[8] 李暉，郭晨，李曉方.基于Matlab的不規則海浪三維仿真[J].系統仿真學報，2008,15(7)：1057-1059.

LI Hui,GUO Chen,LI Xiao-fang.3D visual simulation of irregular ocean wave based on matlab [J].Journal of System Simulation,2008,15(7):1057-1059.