一類帶階段結(jié)構(gòu)的捕食-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

曹懷火，李海燕，張永2，

CAO Huaihuo1，3,LI Haiyan3,ZHANG Yong2，3

1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710062

2.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730000

3.池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，安徽池州247100

1.School of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

2.School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,China

3.Department of Mathematics and Computer Science,Chizhou University,Chizhou,Anhui 247100,China

1 引言

文獻(xiàn)[1]討論了三次捕食者-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)：

解的整體性態(tài)，其中Ω是Rn(n≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域，?η=?/?η，η是?Ω上的單位外法向量，u1(x，t)，u2(x，t)分別是食餌種群和捕食者種群的密度函數(shù)，擴(kuò)散系數(shù)d1，d2及生命系數(shù)b3，b4，c，α，β都是正常數(shù)，b1非負(fù)，b2的符號(hào)不定，b1表示食餌種群的內(nèi)稟增長率，c是捕食者的凈死亡率，捕食者的生存依賴于食餌的生存狀況，b2u1-b3與βu2分別為食餌與捕食者的密度制約項(xiàng)，b4u1表示捕食者對(duì)食餌的捕食率，αu1表示食餌轉(zhuǎn)化為捕食者自身的增長率，ui0(x)(i=1，2)是非負(fù)且不恒為零的光滑函數(shù)。最近，文獻(xiàn)[2]討論了簡化反應(yīng)項(xiàng)與邊界條件情形下系統(tǒng)：

平衡態(tài)正解的存在性。

本文著重研究如下帶有階段結(jié)構(gòu)和空間擴(kuò)散的三次捕食者-食餌模型：

非負(fù)平衡解的穩(wěn)定性，其中u1(x，t)，u2(x，t)分別是食餌種群的幼年種群和成年種群的密度函數(shù)，u3(x，t)是捕食者種群的密度函數(shù)，擴(kuò)散系數(shù)d1，d2，d3及生命系數(shù)a0，a1，a3，k，b都是正常數(shù)，a2的符號(hào)不定，ui0(x)(i=1，2，3)是非負(fù)且不恒為零的光滑函數(shù)。模型詳細(xì)的生態(tài)學(xué)意義可參見文獻(xiàn)[3-9]。

2 平衡點(diǎn)分析

經(jīng)計(jì)算，式（1）有平凡平衡點(diǎn)O(0，0，0)；若a2＞0，，則有半平凡平衡點(diǎn)；若a2≤0，a1-a0＜0；或a2＞0，a1-a0≤0，則有半平凡平衡點(diǎn)：

若

或

或

則有唯一正平衡點(diǎn)：

其中δ2=(a2-k)2-4a3(a1-a0-kb)；若

則有兩個(gè)正平衡點(diǎn)，即

3 一致有界性

本章主要討論問題式（1）古典解的整體存在性和一致有界性。在建立問題式（1）的解關(guān)于時(shí)間一致的L∞(Ω)先驗(yàn)估計(jì)時(shí)文獻(xiàn)[10]（Exercise 4 of Section 3.5）起重要作用，下面的定理表明了式（1）的解是整體存在和一致有界的。

定理3.1設(shè)(u1(x,t),u2(x,t)，u3(x，t))∈[C(Ωˉ×[0，T))∩C2，1(Ω×(0，T))]3是式（1）具初值ui(x，0)=ui0(x)≥(≠)0(i=1，2，3)的解，其中T是解的最大存在時(shí)間，則0＜ui(x，t)≤Mi(i=1，2，3)，t∈(0，T)，其中

證明注意到f1，f2，f3在R3上光滑，初值ui0(x)(i=1，2，3)是非負(fù)且不恒為零的光滑函數(shù)，由拋物型方程的強(qiáng)極值原理知，ui(x，t)＞0(i=1，2，3)，?t＞0。

下面將問題式（1）中前兩個(gè)方程兩邊分別在Ω上積分后線性組合，得

結(jié)合文獻(xiàn)[10]（Exercise 4 of Section3.5），得有兩個(gè)半平凡平衡點(diǎn)，即

又注意到：

則根據(jù)比較原理，可得：

顯然M1，M2，M3不依賴于T，從而式（1）的解(u1(x，t)，u2(x，t)，u3(x，t))在上是一致有界的，進(jìn)而整體存在，這就完成了定理3.1的證明。

4 局部穩(wěn)定性

易知，對(duì)相應(yīng)于反應(yīng)擴(kuò)散問題式（1）的常微分系統(tǒng)亦有相應(yīng)的平衡點(diǎn)。由文獻(xiàn)[11]知，其相應(yīng)的半平凡平衡點(diǎn)B32和正平衡點(diǎn)E32都是不穩(wěn)定的。注意到常微分系統(tǒng)的解是反應(yīng)擴(kuò)散問題式（1）的特解，所以對(duì)應(yīng)常微分系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)B32，E32分別是相應(yīng)反應(yīng)擴(kuò)散問題式（1）的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

下面首先討論問題式（1）的正平衡點(diǎn)Ej(j=1，2，31)的局部穩(wěn)定性。設(shè)0=μ1＜μ2＜μ3＜…是齊次Neumann邊界條件下算子-Δ在Ω上的特征值，E(μi)是與特征值μi相應(yīng)的H1(Ω)中的特征子空間。記X=[H1(Ω)]3，Xij={c·φji:c∈R3}，其中{φij;j=1，…，dim E(ui)}是E(μi)的一組正交基[12]，則

系統(tǒng)式（1）在Ej(j=1，2，31)處的線性化方程為ut=Lu。對(duì)于任意i≥1，Xi是算子L的不變子空間。λ是算子L在Xi上的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ是矩陣-μiD+Fu(Ej)的特征值。而-μiD+Fu(Ej)的特征方程為φi(λ)=λ3+Aiλ2+Biλ+Ci=0，其中

由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則知，它的每個(gè)特征值（記作λi，1，λi，2，λi，3）的實(shí)部為負(fù)的充要條件是Ai＞0，Ci＞0，Hi＞0，于是有

（1）當(dāng)a2≤0時(shí)，注意到a11，a33＜0，a31＞0，所以它的每個(gè)特征值的實(shí)部為負(fù)的一個(gè)明顯的充分條件是a11+a0＜0。

（2）當(dāng)a2＞0時(shí)，注意到a11＜0蘊(yùn)涵于a11+a0＜0，所以它的每個(gè)特征值的實(shí)部為負(fù)的一個(gè)明顯的充分條件也是a11+a0＜0。

現(xiàn)將Ej(j=2，31)分別代入a11+a0＜0，得

定理4.1（1）設(shè)式（2）成立，且同時(shí)滿足下列條件之一：①則式（1）的唯一正平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定。（2）設(shè)式（2）成立，且同時(shí)滿足a2-k＞0，0＜a1-a0-kb＜，則式（1）的正平衡點(diǎn)E31局部漸近穩(wěn)定。

再討論問題式（1）的半平凡平衡點(diǎn)Bj(j=1，2，31)的局部穩(wěn)定性。類似上述方法，系統(tǒng)式（1）在Bj(j=1，2，31)處的線性化方程為：

其中

而-μiD+Fu(Bj)的特征方程為?i(λ)=λ3+Aiλ2+Biλ+Ci=0，其中

于是類似地可知，

（1）當(dāng)a2≤0時(shí)，注意到a11＜0，所以它的每個(gè)特征值的實(shí)部為負(fù)的一個(gè)明顯的充分條件是a11+a0＜0，a33＜0。

（2）當(dāng)a2＞0時(shí)，注意到a11＜0蘊(yùn)涵于a11+a0＜0，所以它的每個(gè)特征值的實(shí)部為負(fù)的一個(gè)明顯的充分條件也是a11+a0＜0，a33＜0。

現(xiàn)將Bj(j=2，31)分別代入a11+a0＜0，a33＜0，得綜上所述并結(jié)合B2，31存在的充要條件，可得結(jié)論：

定理4.2（1）若滿足下述條件之一：

①a2≤0，a1-a0＜0且式（4）成立；的半平凡平衡點(diǎn)B2局部漸近穩(wěn)定。

最后討論問題式（1）的平凡平衡點(diǎn)O(0，0，0)的局部穩(wěn)定性。類似上述方法，系統(tǒng)式（1）在O(0，0，0)處的線性化方程為ut=Lu，L=DΔ+Fu(O)=DΔ+{aij}，其中

注意到a11＜0，a33＜0，所以它的每個(gè)特征值的實(shí)部為負(fù)的一個(gè)明顯的充分條件是a11+a0＜0，這等價(jià)于a0＜a1，進(jìn)而有結(jié)論：

定理4.3若a0＜a1，則式（1）的平凡平衡點(diǎn)O(0，0，0)局部漸近穩(wěn)定。

5 全局穩(wěn)定性

本章通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)討論問題式（1）的各個(gè)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，為此先引入下述引理（文獻(xiàn)[13]引理2.5.3的特殊情形）。

引理5.1設(shè)a，b為正常數(shù)，φ，?∈C1([a,∞))，?(t)≥0，?有下界。如果?′(t)≤-b?(t)，?′(t)≤K(?t≥a)，K為正常數(shù)，則

設(shè)(u1，u2，u3)是問題式（1）的唯一正解，由定理3.1知，存在與x∈，t≥0無關(guān)的正常數(shù)C，使得||ui(·，t)||∞≤C(i=1，2，3)，?t＞0。由文獻(xiàn)[14]中定理A2知，對(duì)?t0＞1有

其中α∈(0，1)，C是與t無關(guān)的正常數(shù)。

由定理3.1知，在初值取不恒為0的非負(fù)函數(shù)且t＞0時(shí)，問題式（1）的解是嚴(yán)格正函數(shù)，故E(t)對(duì)式（1）的任意正解有意義。對(duì)任意t＞0有E(t)≥0，且E(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)u=u*。由式（1）得

注意到-a2+＞0等價(jià)于：故式（6）成立時(shí)，存在正常數(shù)，使得又由定理3.1知ui有界，由式（5）知的導(dǎo)數(shù)亦有界，從而由引理5.1得

仍由式（5）知?′(t)在[t0，∞)有界，t0＞0。由引理5.1知，當(dāng)t→∞時(shí)?(t)→0，即由Pioncare不等式得：

由式（7），（8）得從而存在{tm}，當(dāng)tm→∞時(shí)'(tm)→0。

另一方面：

由式（5）知，存在子列，仍記為{tm}和非負(fù)函數(shù)ωi∈C2()，使得

定理5.1設(shè)式（2），式（6）成立，且同時(shí)滿足下列條件之一：的正平衡點(diǎn)

則E(t)對(duì)式（1）的任意正解有意義。

故式（11）成立時(shí)，存在正常數(shù)：

使得

類似于定理5.1的證明，有：

定理5.2（1）設(shè)式（4），式（11）成立，且滿足下述條件之一：

最后討論式（1）的平凡平衡點(diǎn)O(0，0，0)的全局漸近穩(wěn)定性。定義Lyapunov泛函：

則E(t)對(duì)式（1）的任意正解有意義。

注意到a0＜a1，a2≤0時(shí)，存在正常數(shù)

進(jìn)而有結(jié)論：

定理5.3若a0＜a1，a2≤0，則式（1）的平凡平衡點(diǎn)O(0，0，0)全局漸近穩(wěn)定。

6 結(jié)束語

本文考慮了一類食餌種群帶有階段結(jié)構(gòu)的三次捕食者-食餌擴(kuò)散模型解的穩(wěn)定性。文中通過建立關(guān)于時(shí)間一致的L∞(Ω)先驗(yàn)估計(jì)得到模型正解的整體存在性，同時(shí)應(yīng)用二階拋物型偏微分方程理論以及非線性分析方法得到模型非負(fù)平衡解的漸近穩(wěn)定性。

致謝第一作者對(duì)在陜西師范大學(xué)訪學(xué)期間得到導(dǎo)師吳建華教授悉心指點(diǎn)與幫助表示衷心的感謝。

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