基于滑動(dòng)無偏灰色馬爾科夫模型的水庫年降雨量預(yù)測

侯翔龍，陽 輝

（1.太原理工大學(xué) 水利科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太原030024；2.太原理工大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太原030024）

水庫，可起防洪、蓄水灌溉、供水、發(fā)電等作用。水庫年降雨量的大小對農(nóng)業(yè)灌溉以及水庫蓄調(diào)有著重要影響。本文以山西省壽陽縣蔡莊水庫研究區(qū)，該水庫始建于1959年12月，1962年4月竣工，是一座以防洪為主兼顧灌溉、養(yǎng)殖和工業(yè)用水的中型水庫。在以往有關(guān)降雨量預(yù)測的科學(xué)與研究中，廣大科研與技術(shù)工作人員使用的模擬方法較單一，使用傳統(tǒng)灰色模型的情況更多，缺乏各種方法的比較與篩選，對單一模型的缺陷改進(jìn)不足，嘗試多種方法的搭配使用的情況也不多，致使模型過于簡單，適用面較窄，對不規(guī)律原始數(shù)據(jù)的適用程度較低，從而降低了對波動(dòng)性數(shù)據(jù)的模擬精準(zhǔn)程度。

本文通過傳統(tǒng)灰色、無偏灰色、滑動(dòng)無偏灰色以及滑動(dòng)無偏灰色馬爾科夫4種方法，對水庫年降雨量進(jìn)行數(shù)值預(yù)測模擬，模擬的數(shù)據(jù)可用于水庫的蓄調(diào)管理，同時(shí)可為周邊農(nóng)業(yè)區(qū)的灌溉養(yǎng)殖任務(wù)的完成提供有力的保障。另一方面，該水庫的年降雨量模擬預(yù)測值體現(xiàn)出的特征與規(guī)律也能夠較好的反映出整個(gè)地區(qū)的水文降雨特征。

1 模型的建立

1.1 建立傳統(tǒng)灰色模型

（1）設(shè)原始序列［1］：

（2）對X（0）進(jìn)行一次累加，得：

對 X（1）相鄰的兩項(xiàng)求均值［2］，得Z（1），

于是：

對參數(shù)列＾a＝［a，b］T進(jìn)行最小二乘估計(jì)［3］，得

（3）確定模型：

（4）時(shí)間響應(yīng)序列：

還原求出X（0）的模擬值。由

最終求出預(yù)測序列 ＾X（0）。

1.2 建立無偏灰色模型

設(shè)立無偏GM（1.1）模型的參數(shù)為u，A，則對原始序列x（0）k＝Aeu（k－1），k＝1，2，…，n做一次累加［4－5］，生成

由傳統(tǒng)GM（1，1）方法建模得：

由式（10）可求得用傳統(tǒng) GM（1，1）模型參數(shù)a，b表示u和A的估計(jì)為：

建立原始數(shù)據(jù)序列模型：

式中：＾x（0）（k＋1）（k＝0，1，…，－1，n）——原始數(shù)據(jù)序列的擬合值；＾x（0）（k＋1）（k≥n）——原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值。

1.3 建立滑動(dòng)無偏灰色模型

對原始數(shù)據(jù)X（0）進(jìn)行一次加權(quán)滑動(dòng)平均處理后［6］，再建立無偏灰色模型，這樣形成滑動(dòng)無偏灰色模型。

（1）原始數(shù)列為：

（2）加權(quán)平均處理得：

其中：

1.4 建立灰色無偏馬爾科夫模型

1.4.1 狀態(tài)的劃分 以滑動(dòng)無偏 GM（1.1）模型得出的原始數(shù)據(jù)序列曲線Y（k）為基準(zhǔn)［7］，在Y（k）上下兩邊分別做n，m（m和n可相同，也可不同）條與Y（k）平行的曲線，這樣，m＋n＋1條平行曲線共組成m＋n個(gè)區(qū)間Q1，Q2，Q3，…，Qm＋n。處于不同區(qū)間中的點(diǎn)可依據(jù)所屬區(qū)間距離中心線Y（k）曲線的遠(yuǎn)近，表示自身的偏離程度。任意狀態(tài)區(qū)間Q1表達(dá)為：Qi＝［Qi1，Qi2］（i＝1，2，3，…，s），Pij（k）＝Mij（k）／Mi（i＝1，2，3，…，s），其中：Qi1＝＾Y（k）＋A1，Qi2＝＾Y（k）＋Bi〔A（i），B（i）是平移常數(shù)〕。

1.4.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 狀態(tài)劃分好以后，利用m步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算公式：

式中：Mij（k）——由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的原始數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；Mi——處于狀態(tài)Ei的原始數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；Pij（k）——由狀態(tài)Ei經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的概率，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

2 模型仿真

2.1 研究區(qū)簡介

研究區(qū)為蔡莊水庫，1964—2008年壩址以上流域面積多年平均降水量為502.3mm，最大年降水量為760.5mm，年份為1973年；最小年降水量為246.4mm，年份為1972年。流域主要地貌類型為黃土丘陵區(qū)和土石山區(qū)。本文研究的數(shù)據(jù)樣本取自水庫的年降水量資料，其中1964—2003年的降水資料為模型的原始數(shù)據(jù)，2004—2008年的降水資料為模型模擬數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)分析軟件為Matlab 2012。

2.2 3種灰色模擬方法模擬結(jié)果比較

根據(jù)前面所建立的傳統(tǒng)灰色模型、無偏灰色模型、滑動(dòng)無偏灰色模型進(jìn)行模擬計(jì)算，結(jié)果見表1。

表1 3種灰色模擬法模擬結(jié)果

同時(shí)，將3種灰色模擬法得出的模擬結(jié)果分別與實(shí)際降雨量進(jìn)行比較（見圖1—3）。

圖1 蔡莊水庫實(shí)際年降雨量與傳統(tǒng)灰色模型模擬降雨量對比

圖2 蔡莊水庫實(shí)際年降雨量與無偏灰色模型模擬降雨量對比

圖3 蔡莊水庫實(shí)際年降雨量與滑動(dòng)無偏灰色模型模擬降雨量對比

由圖1—3可以看出，3種灰色模擬方法精度相當(dāng)，改進(jìn)灰色模擬方法的模擬效果提高并不明顯，這是因?yàn)?004—2008年這5a間，每年的降雨量變化幅度相對較大，而原始數(shù)據(jù)量龐大運(yùn)用了40a的實(shí)際降雨數(shù)據(jù)，并且數(shù)據(jù)從總體看接近線性，所以傳統(tǒng)灰色模型的模擬效果得到了很大的提高，作者曾在另外的數(shù)據(jù)模擬中發(fā)現(xiàn)，如若減少原始數(shù)據(jù)量，傳統(tǒng)灰色模型的模擬精度將大大下降，另外兩種改進(jìn)灰色模型精度雖然也會(huì)下降，但是最終模擬效果要優(yōu)于傳統(tǒng)灰色模型，這是因?yàn)楫?dāng)數(shù)據(jù)量減小時(shí)，從另一角度看，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性將相對變大，從而影響了傳統(tǒng)灰色模型的模擬精度。

盡管兩種改進(jìn)灰色方法使得模型模擬效果有了一定的提高，但是仍然克服不了灰色模型對于非線性數(shù)據(jù)的不適性，為了進(jìn)一步的提高模擬精度，對滑動(dòng)無偏灰色模型進(jìn)行馬爾科夫修正，建立滑動(dòng)無偏灰色馬爾科夫模型。

2.3 對滑動(dòng)無偏灰色模型進(jìn)行馬爾科夫修正

2.3.1 狀態(tài)劃分 按1964—2003年的滑動(dòng)無偏灰色模型模擬數(shù)據(jù)與實(shí)際降雨數(shù)據(jù)的相對誤差的大小劃分。分為5個(gè)區(qū)間，設(shè)相對誤差為C。區(qū)間1：C1∈（－∞，－0.3）；區(qū)間2：C2∈（－0.3，－0.1）；區(qū)間3：C3∈（－0.1，0）；區(qū)間4：C4∈（0，0.1）；區(qū)間5：C5∈（0.1，0.3）；區(qū)間6：C6∈（0.3，0.5）。

2.3.2 一次轉(zhuǎn)移概率矩陣 由區(qū)間得滑動(dòng)無偏灰色模型模擬數(shù)據(jù)的一次轉(zhuǎn)移概率矩陣，設(shè)：C1＝1，C2＝2，C3＝3，C4＝4，C5＝5，C6＝6。

由一次轉(zhuǎn)移概率矩陣發(fā)現(xiàn)2003年的數(shù)據(jù)屬于第4行，由以上得2004年滑動(dòng)無偏灰色馬爾科夫模型模擬數(shù)據(jù)為448.2mm。模型采用等維新信息方法處理，去掉最靠前1964年的數(shù)據(jù)，加入新近預(yù)測出的2004年的數(shù)據(jù)，再推算出下一年數(shù)據(jù)。由此得到的5a模擬數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對比（見表2）。

表2 改進(jìn)灰色模型與改進(jìn)灰色馬爾科夫模擬法模擬結(jié)果比較

3 結(jié)論

通過對滑動(dòng)無偏灰色模型進(jìn)行馬爾科夫修正，提高了模型模擬數(shù)據(jù)的精確程度。當(dāng)歷年徑流量發(fā)生非線性波動(dòng)時(shí)，改進(jìn)灰色馬爾科夫模型精度提升更為明顯，這也體現(xiàn)了對灰色模型進(jìn)行馬爾科夫修正的必要性。但是從模擬結(jié)果來看，部分年份的模擬精度仍然不高，另外兩種改進(jìn)灰色模擬方法模擬精度提高有限，個(gè)別年份精度甚至低于傳統(tǒng)模型。在灰色馬爾科夫模型的建立過程中，使用等維新信息的方法，原始數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)更新，從而提高了模型的精度。馬爾科夫模型的分區(qū)的是決定的模型模擬效果好壞的關(guān)鍵，理論上分區(qū)越詳細(xì)越好，但是實(shí)際操作發(fā)現(xiàn)，過于密集的分區(qū)會(huì)導(dǎo)致模擬新數(shù)據(jù)區(qū)間不易選擇，從而增大了誤差，因此，區(qū)間的合理劃分與判斷是今后值得關(guān)注與改進(jìn)的一個(gè)方向。

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