基于B樣條插值的高精度型面測(cè)量路徑規(guī)劃

李建普

（河南省機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司，河南 鄭州 450002）

基于B樣條插值的高精度型面測(cè)量路徑規(guī)劃

李建普

（河南省機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司，河南 鄭州 450002）

為了解決型面檢測(cè)時(shí)測(cè)量路徑的規(guī)劃問題，提高型面測(cè)量的效率和精度，本文針對(duì)單光束激光三角法非接觸式型面檢測(cè)專用測(cè)量系統(tǒng)，提出了基于B樣條曲線插值的測(cè)量路徑規(guī)劃模型。針對(duì)影響單光束激光測(cè)量精度和效率的因素：景深范圍、測(cè)頭傾角等，利用B樣條曲線插值模型規(guī)劃出測(cè)量點(diǎn)的位置，使測(cè)量運(yùn)動(dòng)路徑緊密結(jié)合型面曲率變化，提高了實(shí)際測(cè)量精度及效率，解決了大型型面測(cè)量的路徑規(guī)劃難題。

型面檢測(cè)；路徑規(guī)劃；B樣條插值；激光三角法

隨著激光三角法測(cè)量技術(shù)非常廣泛的應(yīng)用，大型自由曲面測(cè)量路徑規(guī)劃問題成為測(cè)量時(shí)的重點(diǎn)難題之一。自由型面的設(shè)計(jì)主要是利用B樣條擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)生成型線，然后擴(kuò)展至整個(gè)型面。本文在結(jié)合前人研究的基礎(chǔ)上針對(duì)激光三角法自由曲面測(cè)量的特點(diǎn)提出了B樣條曲線插值的型面測(cè)量路徑規(guī)劃模型。

1 路徑規(guī)劃的研究

1.1 路徑規(guī)劃的主要內(nèi)容

針對(duì)自由型面模型的測(cè)量路徑規(guī)劃目標(biāo)是根據(jù)型面點(diǎn)及測(cè)頭信息，對(duì)待測(cè)點(diǎn)進(jìn)行規(guī)劃，得到能夠反映曲率變化的測(cè)點(diǎn)；其測(cè)量方式一般首先沿設(shè)計(jì)型線進(jìn)行點(diǎn)測(cè)，再沿型線垂直方向逐步擴(kuò)展至整個(gè)型面。本文根據(jù)型面測(cè)量實(shí)際，主要針對(duì)型線測(cè)量的路徑規(guī)劃進(jìn)行研究。

1.2 測(cè)量約束條件研究

在本研究中采用激光三角法進(jìn)行實(shí)際測(cè)量，其測(cè)量景深有限，同時(shí)要始終保持激光的入射方向與被測(cè)點(diǎn)的法線重合（如圖1）。約定被測(cè)點(diǎn)的法線與入射激光方向不重合時(shí)稱被測(cè)表面發(fā)生了傾斜，其夾角稱為傾角θ。傾角是影響測(cè)量精度比較大的一個(gè)方面，因此研究路徑規(guī)劃對(duì)提高測(cè)量系統(tǒng)精度、效率具有重大意義。

在測(cè)量中要求測(cè)頭始終保持在最佳測(cè)量位置以提高測(cè)量精度，所以要根據(jù)被測(cè)表面的形狀，使測(cè)頭和工件表面保 持固定距離，使得測(cè)頭的運(yùn)動(dòng)軌跡與被測(cè)表面變化相同。

圖1 測(cè)量約束條件示意圖（俯視）

實(shí)際檢測(cè)中如何根據(jù)理論數(shù)據(jù)點(diǎn)及測(cè)量約束條件，求出實(shí)際測(cè)頭位置是關(guān)鍵點(diǎn)。本文提出首先采用B樣條插值法求得已知型面理論曲線；然后根據(jù)測(cè)量約束條件（入射光線與測(cè)點(diǎn)垂直），求取型面理論點(diǎn)的法矢；最后根據(jù)景深限制，在被測(cè)點(diǎn)法矢方向上取最佳位置作為測(cè)量路徑規(guī)劃位置（如圖2）。

由型面造型過程可知，型面截面線一般設(shè)計(jì)為光滑連續(xù)曲線。為保持設(shè)計(jì)、檢測(cè)的一致性，所以要采用三次非均勻B樣條插值求取型面的表達(dá)曲線，以使曲線全部通過型值點(diǎn)。

圖2 B樣條插值型面測(cè)量路徑規(guī)劃

1.3 B樣條曲線的定義及B樣條插值

。由于型面設(shè)計(jì)中，型線上各相鄰點(diǎn)之間的空間距離很可能相差很大，本文選用三次非均勻B樣條來實(shí)現(xiàn)測(cè)量路徑的規(guī)劃。B樣條插值又被稱為反算B樣條控制點(diǎn)，由已知曲線型值點(diǎn)，根據(jù)B樣條函數(shù)理論求出其控制頂點(diǎn)。在進(jìn)行B樣條控制點(diǎn)反算時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)給定的型值點(diǎn)構(gòu)造節(jié)點(diǎn)矢量U，再根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量上的節(jié)點(diǎn)集算出相應(yīng)的基函數(shù)；而后求得反算控制點(diǎn)的方程組；最后對(duì)此方程組求解，求得非均勻B樣條曲線的控制頂點(diǎn)。

2 型線的B樣條插值反算

2.1 數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化

欲唯一地確定一條插值于n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) 的參數(shù)插值曲線，必須先給數(shù)據(jù)點(diǎn) 賦予相應(yīng)的參數(shù)值，使其形成一個(gè)嚴(yán)格遞增的序列，稱為數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化。其中每個(gè)參數(shù)值稱為節(jié)點(diǎn)，它決定了位于插值曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)與其參數(shù)域內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間對(duì)應(yīng)關(guān)系，即點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)值 。由于型面線為光滑、連續(xù)曲線，本文采用積累弦長參數(shù)化法，型值點(diǎn) 對(duì)應(yīng)參數(shù) 由遞推公式求取：

2.2 節(jié)點(diǎn)矢量的確定

2.3 三次B樣條基函數(shù)確定

2.4 反算 控制頂點(diǎn)計(jì)算

把插值曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值帶入由式（1）（5）得到n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)

的三次B樣條插值曲線方程，應(yīng)該滿足插值條件即：

其中系數(shù)矩陣元素均為三次B樣條基函數(shù)的值，只與節(jié)點(diǎn)值有關(guān)，由遞推式（2）求得，利用擬追趕法求解該方程，就得到了控制頂點(diǎn)。有了這些特征多邊形頂點(diǎn)，就可以依據(jù)這些點(diǎn)通過B樣條插值出實(shí)際曲線，曲線輪廓上任意點(diǎn)均可通過插值求得。利用B樣條曲線特性計(jì)算出各型值點(diǎn)的切矢，為求測(cè)量路徑點(diǎn)做好準(zhǔn)備。

圖3 算法實(shí)現(xiàn)流程圖

2.5 型線被測(cè)點(diǎn)的法矢確定

型面測(cè)量過程受激光三角法測(cè)量傾角的約束，本文采用直射式激光三角法則需要求得被測(cè)點(diǎn)的法矢。B樣條曲線上一點(diǎn)處的r階導(dǎo)矢 遞推公式為：

即k次B樣條曲線的r階導(dǎo)矢相當(dāng)于k-r次B樣條曲線，但求導(dǎo)矢頂點(diǎn)遞推公式與參數(shù)u無關(guān)，而所求導(dǎo)矢與參數(shù)u有關(guān)。由于本文采用三次非均勻B樣條插值法求取型面線，則可以采用公式（8）計(jì)算其上被測(cè)點(diǎn)的切矢，然后求取切矢的倒數(shù)即可求得被測(cè)點(diǎn)的法矢。其切矢的計(jì)算公式為：

3 路徑規(guī)劃算法實(shí)現(xiàn)

通過上述步驟求取被測(cè)截面線的法矢，則根據(jù)型面測(cè)量的景深約束條件求取最佳測(cè)量位置，即沿被測(cè)點(diǎn)法矢方向取被測(cè)點(diǎn)的最佳測(cè)量位置作為測(cè)量點(diǎn)，求取所有被測(cè)點(diǎn)的測(cè)量位置即為此型面線的測(cè)量路徑。算法具體實(shí)現(xiàn)流程：1）讀取被測(cè)理論型面線坐標(biāo)點(diǎn)集，并序列化；2）根據(jù)N+1個(gè)理論型面點(diǎn) 構(gòu)造節(jié)點(diǎn)矢量，算出相應(yīng)的基函 數(shù)；3）根據(jù)式（9）求得三次B樣條插值曲線的反算控制點(diǎn)方程組；4）擬追趕法求解反算控制頂點(diǎn)方程組，得控制頂點(diǎn)；5）根據(jù)式（2）求解得樣條插值曲線P（x）；6）利用式（10）計(jì)算被測(cè)點(diǎn)的法矢k；7）沿法矢方向求取測(cè)量位置；8）重復(fù)1）-7）直至型面被測(cè)點(diǎn)計(jì)算完畢，并保存所求測(cè)量路徑如圖3。

圖4 測(cè)頭路徑規(guī)劃結(jié)果

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證三次非均勻B樣條插值路徑規(guī)劃效果，本文采用某一封閉截面輪廓數(shù)據(jù)為實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。規(guī)劃測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，并針對(duì)理論截面數(shù)據(jù)生成B樣條曲線及測(cè)量路徑如圖4，測(cè)量路徑符合型面曲率變化，且路徑變化在景深范圍內(nèi)，滿足了高精度型面測(cè)量的要求。

結(jié)語

本文針對(duì)激光三角法精密型面測(cè)量，提出了基于B樣條插值路徑規(guī)劃模型，并行了詳細(xì)的論述和說明。通過構(gòu)造三次B樣條插值曲線規(guī)劃測(cè)量點(diǎn)，使測(cè)頭運(yùn)動(dòng)路徑緊密結(jié)合型面變化，解決了測(cè)頭景深范圍的影響；利用采得型面點(diǎn)法線方向控制測(cè)頭傾角的影響，提高了測(cè)量精度。從試驗(yàn)看出本文模型是實(shí)現(xiàn)高效率、高精度型面測(cè)量的有效方法。

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10.13612/j.cnki.cntp.2014.07.085