光子晶體全反射隧穿效應(yīng)中偏振光的場(chǎng)分布

劉啟能

(重慶工商大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶400067)

1 引言

光子晶體是其折射率在空間呈周期性變化的人造帶隙材料，利用光子晶體的帶隙可以十分方便地控制光波在光子晶體的傳播。因此對(duì)光子晶體的研究很快成為光學(xué)的前沿領(lǐng)域內(nèi)一個(gè)活躍的課題。光子晶體根據(jù)其空間周期性的維數(shù)不同，分為一維光子晶體、二維光子晶體和三維光子晶體。由于一維光子晶體的結(jié)構(gòu)最簡單、研究最方便，但它卻具有其他高維光子晶體的基本屬性。因此對(duì)一維光子晶體的研究成為光子晶體研究領(lǐng)域內(nèi)的重要內(nèi)容。

關(guān)于光子晶體的帶隙特性［1－3］、缺陷模特性［4－6］、濾波特性［7－9］等方面人們都做了深入的研究。近年來人們對(duì)一維光子晶體中的全反射隧穿現(xiàn)象開展了研究，文獻(xiàn)［10］對(duì)利用特征矩陣法研究了TE波在一維光子晶體的全反射隧穿現(xiàn)象，得出了TE波的全反射隧穿現(xiàn)象的一些基本特征。隨后文獻(xiàn)［11］對(duì)TE波和TM波兩種偏振波在一維光子晶體的全反射隧穿現(xiàn)象開展了深入的研究，得出了TE波和TM波兩種偏振波的全反射隧穿現(xiàn)象隨入射角、周期數(shù)以及周期厚度的變化規(guī)律。隨后文獻(xiàn)［12］又對(duì)圓柱光子晶體的全反射隧穿濾波特性開展了研究，發(fā)現(xiàn)圓柱光子晶體的全反射隧穿效應(yīng)具有良好的梳狀濾波特性。為了進(jìn)一步解釋一維光子晶體全反射隧穿效應(yīng)的產(chǎn)生原因，文獻(xiàn)［13］利用多光束干涉理論推導(dǎo)出一維光子晶體的全反射隧穿導(dǎo)帶頻率滿足的解析公式，從理論上解釋了一維光子晶體的全反射隧穿效應(yīng)產(chǎn)生的物理機(jī)理。關(guān)于全反射隧穿現(xiàn)象中光場(chǎng)在一維光子晶體內(nèi)部的分布問題，目前還未看到相關(guān)的研究介紹。這是一個(gè)很有理論價(jià)值的問題，通過對(duì)它的研究可以使人們掌握全反射隧穿現(xiàn)象中光場(chǎng)在一維光子晶體內(nèi)部的分布規(guī)律，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一維光子晶體全反射隧穿現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。本文將推導(dǎo)TM波和TE波兩種偏振波在一維光子晶體內(nèi)部的光場(chǎng)的分布公式。利用這個(gè)公式研究全反射隧穿現(xiàn)象中兩種偏振波在一維光子晶體內(nèi)部其光場(chǎng)的分布規(guī)律。

2 公式推導(dǎo)

推導(dǎo)TM波在一維光子晶體中的光場(chǎng)分布公式，如圖1所示。

圖1 TM波在一維光子晶體中的光場(chǎng)Fig.1 Light intensity of TM wave in 1D photonic crystal

設(shè)TM波在入射空間磁矢量為H0、電矢量的切向分量為E0//，TM波通過一維光子晶體中任意一層Δzm后的磁矢量為H、電矢量的切向分量為E//。根據(jù)特征矩陣的關(guān)系有:

其中，Mi為TM波通過第i層介質(zhì)中的特征矩陣;M為TM波通過前m層介質(zhì)中的特征矩陣。由式(1)得:

展開式(2)有:

由圖1可知:

式(4)和式(5)式中的r是該一維光子晶體對(duì)TM波的反射系數(shù)。

將式(4)和式(5)代入式(3)，并利用 H=

由式(6)得出TM波在一維光子晶體中任意一層Δzm后光場(chǎng)的分布公式:

同理可以推出了對(duì)于TE波在一維光子晶體中光場(chǎng)的分布公式為:

式中，r為該一維光子晶體對(duì)TE波的反射系數(shù);M為TE波通過前m層介質(zhì)中的特征矩陣。

利用式(7)和式(8)就可以研究一維光子晶體全反射隧穿效應(yīng)中兩種偏振光場(chǎng)的分布規(guī)律。

3 光場(chǎng)分布

設(shè)計(jì)這種一維光子晶體，如圖2所示。該一維光子晶體由氟化鎂(其折射率為n1=1.38，厚度為d1)和硫化鋅(其折射率為n2=2.38，厚度為d2)兩種介質(zhì)周期性地交替構(gòu)成。設(shè)入射空間和出射空間的介質(zhì)也為硫化鋅，即n2=n0。由于該光子晶體的兩邊都為硫化鋅，因此它的周期數(shù)為N+0.5，N為整數(shù)。又因n0＞n1，所以當(dāng)光大于全反射角入射該光子晶體時(shí)會(huì)產(chǎn)生全反射現(xiàn)象，其全反射角為θm=arcsin(n1/n0)=0.62 rad。取N=5、n1d1=n2d2=λ0/4，λ0=600 nm，對(duì)應(yīng)的圓頻率ω0=2πc/λ0，c為真空中光速。

圖2 一維光子晶體Fig.2 1－D photonic crystal

利用特征矩陣法計(jì)算當(dāng)圓頻率ω=2ω0時(shí)的TE波和TM波入射該一維光子晶體，其透射率隨入射角的響應(yīng)曲線，如圖3和圖4所示。

由圖3可以看出:當(dāng)TE波小于全反射角入射時(shí)，在θ0=0－0.55 rad范圍其透射率較大，在θ0=0.55～0.62 rad范圍其透射率為0，這是光子晶體禁帶。當(dāng)TE波大于全反射角(0.62 rad)入射時(shí)，在入射角θ0=0.98～1.02 rad范圍內(nèi)出現(xiàn)了多個(gè)密集的透射峰，即出現(xiàn)了全反射隧穿現(xiàn)象。大于全反射角的其他角度其透射率仍為0。

由圖4可以看出:當(dāng)TM波小于全反射角入射時(shí)，在θ0=0～0.62 rad范圍其透射率較大，當(dāng)TM波大于全反射角入射時(shí)，在入射角θ0=0.76～0.84 rad范圍內(nèi)出現(xiàn)了多個(gè)密集的透射峰，即出現(xiàn)了全反射隧穿現(xiàn)象。大于全反射角的其他角度其透射率仍為0。

圖3 透射率隨入射角的響應(yīng)曲線(TE波)Fig.3 Response curves of transmissivity versus incident angle

圖4 透射率隨入射角的響應(yīng)曲線(TM波)Fig.4 Response curves of transmissivity versus incident angle

對(duì)于發(fā)生全反射隧穿現(xiàn)象時(shí)一維光子晶體內(nèi)部兩種偏振光的場(chǎng)分布特征，下面研究兩種情況，一是出現(xiàn)全反射隧穿峰處兩種偏振光在一維光子晶體內(nèi)部光的場(chǎng)分布，二是沒有出現(xiàn)全反射隧穿峰處兩種偏振光在一維光子晶體內(nèi)部光的場(chǎng)分布。

3.1 隧穿峰處的場(chǎng)分布

由圖3知道，當(dāng)圓頻率ω =2ω0時(shí)，TE波在入射角θ0=0.98－1.02 rad范圍內(nèi)出現(xiàn)全反射隧穿峰。固定ω =2ω0和θ0=1 rad，由式(8)計(jì)算出TE波的光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線，如圖5所示。由圖5可以看出一維光子晶體內(nèi)部TE波的光場(chǎng)分布有以下特征:

①隨著TE波在一維光子晶體內(nèi)部的傳播深度的增加其光場(chǎng)分布近似呈周期性的變化。三個(gè)較大的極大值分別出現(xiàn)在0.8周期、2.8周期、4.8周期處，三個(gè)較小的極小值分別出現(xiàn)在0.2周期、2.2周期、4.2周期處。

②光場(chǎng)分布隨TE波在一維光子晶體內(nèi)部的傳播深度的增加略有增加。第一個(gè)較大的極大值為3.2，第二個(gè)較大的極大值為3.5，第三個(gè)較大的極大值為3.6。這就保證了TE波能夠順利穿過該一維光子晶體而出現(xiàn)全反射隧穿現(xiàn)象。

③TE波在一維光子晶體內(nèi)部的每個(gè)分界面處(即周期數(shù)為 0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5 處)光場(chǎng)都是連續(xù)分布的。這是因?yàn)殡妶?chǎng)在界面兩側(cè)切向分量連續(xù)，而TE波只有切向分量，所以在每個(gè)分界面處電場(chǎng)都是連續(xù)分布的。

由圖4知道，TM波在入射角 θ0=0.76～0.84 rad范圍內(nèi)出現(xiàn)全反射隧穿峰。固定ω=2ω0和θ0=0.8 rad，由式(7)計(jì)算出TM波光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線，如圖6所示。由圖6可以看出該一維光子晶體內(nèi)部TM波的光場(chǎng)分布有以下特征:

①隨著TM波在一維光子晶體內(nèi)部的傳播深度的增加其光場(chǎng)沒有衰減，但光場(chǎng)分布的周期性不明顯，要比TE波的光場(chǎng)分布更為復(fù)雜，規(guī)律性不明顯。光場(chǎng)較大的三個(gè)極大值分別出現(xiàn)在1.8周期、3.7周期、4.8周期處，三個(gè)較小的極小值分別出現(xiàn)在1.2周期、2.4周期、4.2周期處。

②光場(chǎng)較大的三個(gè)極大值隨TM波在一維光子晶體內(nèi)部的傳播深度的增加呈現(xiàn)起伏變化。第一個(gè)極大值為3.2，第二個(gè)極大值為2.6，第三個(gè)極大值為3.0。這就保證了TM波能夠順利穿過該一維光子晶體而出現(xiàn)全反射隧穿現(xiàn)象。

③TM波在一維光子晶體內(nèi)部的每個(gè)分界面處(即周期數(shù)為 0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5 處)光場(chǎng)都是不連續(xù)的。這是因?yàn)楫?dāng)TM波斜入射一維光子晶體時(shí)，TM波的電場(chǎng)不僅有切向分量而且還有法向分量。電場(chǎng)切向分量滿足了在界面兩側(cè)連續(xù)，則會(huì)使電場(chǎng)在界面兩側(cè)不連續(xù)。

圖5 全反射隧穿光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線(TE波)Fig.5 Response curves of light field versus cycles number

圖6 全反射隧穿光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線(TM波)Fig.6 Response curves of light field versus cycles number

3.2 非隧穿峰處的場(chǎng)分布

由圖3知道，當(dāng)圓頻率ω =2ω0時(shí)TE波在入射角θ0=0.8 rad處沒有出現(xiàn)全反射隧穿峰。固定ω=2ω0和θ0=0.8 rad，由式(8)計(jì)算出TE波的光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線，如圖7所示。由圖7可以看出TE波在一維光子晶體內(nèi)部其光場(chǎng)分布具有以下特征:

①剛進(jìn)入一維光子晶體處TE波的光場(chǎng)為最大，其值為1.75。隨著傳播深度的增加TE波的光場(chǎng)也周期性地出現(xiàn)了2個(gè)峰，但2個(gè)峰的峰值隨傳播深度的增加迅速衰減。第一個(gè)峰出現(xiàn)在0.8周期處其光場(chǎng)為0.25，第二個(gè)峰出現(xiàn)在1.8周期處其光場(chǎng)為0.05。當(dāng)傳播深度大于2.3周期后其光場(chǎng)已經(jīng)降低為0。因此當(dāng)TE波以入射角θ0=0.8 rad入射該一維光子晶體時(shí)不會(huì)出現(xiàn)全反射隧穿現(xiàn)象。

②TE波在一維光子晶體內(nèi)的每個(gè)分界面處(即周期數(shù)為 0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5 處)電場(chǎng)也都是連續(xù)分布的。

由圖4知道，當(dāng)圓頻率ω=2ω0時(shí)TM波在入射角θ0=0.7 rad處沒有出現(xiàn)全反射隧穿峰。固定ω =2ω0和 θ0=0.7 rad，由式(7)計(jì)算出TM波的光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線，如圖8所示。由圖8可以看出TM波在一維光子晶體內(nèi)部其電場(chǎng)分布具有以下特征:

①剛進(jìn)入一維光子晶體處TM波的光場(chǎng)為最大，其值為2.4。隨著傳播深度的增加TM波的光場(chǎng)也周期性地出現(xiàn)了3個(gè)峰，但3峰的峰值隨傳播深度的增加迅速衰減。第一個(gè)峰出現(xiàn)在0.8周期處其光場(chǎng)為0.6，第二個(gè)峰出現(xiàn)在1.8周期處其光場(chǎng)為0.25，第三個(gè)峰出現(xiàn)在2.8周期處其光場(chǎng)為0.15。當(dāng)傳播深度大于3.3周期后其光場(chǎng)已經(jīng)降低為0。因此當(dāng)TM波以入射角θ0=0.7 rad入射該一維光子晶體時(shí)不也會(huì)出現(xiàn)全反射隧穿現(xiàn)象。

②TM波在一維光子晶體內(nèi)部的每個(gè)分界面處(即周期數(shù)為 0.5，1，1.5，2，2.5，3 處)其電場(chǎng)也是不連續(xù)的。

圖7 光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線(TE波)Fig.7 Response curves of light field versus cycles number

圖8 光場(chǎng)隨周期數(shù)的分布曲線(TM波)Fig.8 Response curves of light field versus cycles number

4 結(jié)論

利用特征矩陣法推導(dǎo)出TM波和TE波在一維光子晶體中光場(chǎng)的分布公式。利用這個(gè)公式研究了一維光子晶體全反射隧穿現(xiàn)象中TE波和TM波的光場(chǎng)在光子晶體內(nèi)部的分布特征。在出現(xiàn)全反射隧穿峰處，一維光子晶體內(nèi)部TE波和TM波的光場(chǎng)不會(huì)隨傳播深度的增加而衰減。在沒有出現(xiàn)全反射隧穿峰處，一維光子晶體內(nèi)TE波和TM波的光場(chǎng)會(huì)隨深度的增加而迅速衰減為0。這些研究結(jié)果從一維光子晶體內(nèi)部展現(xiàn)了TE波和TM波的光場(chǎng)分布特征，深化了對(duì)一維光子晶體全反射隧穿現(xiàn)象形成規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

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