基于DEM的地形起伏度算法的比較研究

蔣好忱，楊勤科

（1.國家測繪地理信息局 第一地形測量隊，陜西 西安710054；2.西北大學 城市與環境學院，陜西 西安710127）

地形起伏度（relief amplitude）是定量描述地貌形態，劃分地貌類型的重要指標［1］。目前，地形起伏度在各個學術應用領域都得到了廣泛的關注（如水土流失定量評價［2］、潛在土壤侵蝕評價［3］、生態敏感性評價［4］、區域滑坡災害評價［5］等）。在此基礎之上，一些國內外學者對起伏度的計算方法有了一定的探討。Olaya［6］總結提出了起伏度提取的5種算法，牛文元［7］在對我國21世紀環境情況的預測研究中，將全國區域內平地對地形起伏度的影響考慮在內，總結出了一種新的方法。在起伏度提取中窗口分析是較為常用的方式，劉振東［8－9］、劉新華［2］、朗玲玲［10］、張錦明［11］等人利用不同的數據源，采用不同的研究方法，以不同范圍的研究區確定了不同區域中的起伏度提取的窗口大小。雖然地形起伏度存在若干種算法，但現有研究中大多均采用局地高差法。為此，本研究嘗試計算起伏度提取的不同算法，并對其進行了對比分析，研究結果對進一步明確地形起伏度的概念及其適用范圍具有重要的指導意義，同時可為區域水土流失評價提供較為準確的起伏度數據。

1 研究方法

1.1 數據基礎

以全國1 000m分辨率DEM為數據基礎。該數據利用了全國8 740幅1∶5萬和3 861幅1∶10萬地形圖按28.125″×18.750″（經差×緯差）采樣得到。數據允許的最大高差讀數誤差為10～20m，經投影換算及重采樣后空間分辨率為1 000m，投影方式為Albers投影。

為具有普適性，在全國范圍內我們分別選取了黃土高原、四川盆地、橫斷山區、東南丘陵、山東丘陵以及東北地區6個典型樣區。每個樣區面積大約為3.0×104km2，各樣區基本資料詳見表1。

表1 樣區地表特征樣區

1.2 起伏度算法及其提取

本研究就上文所提及的6種不同的算法（表2）進行比較分析。局地高差法用某特定范圍內的高差（m）來表示地形起伏狀況。該算法是比較流行的算法、也相對較簡單。局地標準差用某特定范圍內高程標準差（m）來表示地形起伏。這兩種方法可通過鄰域操作來完成。在Arc／Info中的GRID模塊下，分別利用Focalrange，Focalstd函數來計算。表面積與投影面積比也是計算起伏度的方法之一，可求算投影面積／表面積，再將結果換算為坡度的弧度值。RUGN法是在局地高差法的基礎上與分析窗口面積的開平方之比［12］。矢量法通過對坡度、坡向的三角函數運算，得到垂直于地形表面每個像元的單位向量，再對3個方向上的分量求取平方和并開平方得到起伏度（rad）［13］。RDLS算法［7，14］計算起伏度時將平地地區排除（最大高差小于等于30m為平地［15］），只將非平地地區參與運算。

表2 6種起伏度計算方法

算法5中的Xi，Yi，Zi這3個變量可分別由坡度s（弧度）和坡向a通過公式（1）計算得到：

算法6中A為分析區域總面積，P（A）為平地面積。根據劉新華［2］的研究，本文算法中涉及窗口分析時，分析窗口柵格數統一設為5×5。

1.3 比較方法

起伏度在一定程度上與坡度有著密切的關系，兩者在本質上都是地表垂直量與水平量關系的表達。起伏度在空間尺度上比坡度略微宏觀。因此，可以將通過不同算法得到的起伏度與該地區的坡度進行比較，從而確定不同的算法對地形起伏狀況的不同表達程度。（1）對比不同算法的地形起伏度表面與坡度表面結構的相似性，可通過Arc／Info GRID模塊中的CORRELATION函數計算圖像的相關性指數；（2）計算不同起伏度結果的信息量，一般來說，信息量越大對地表起伏狀況表達的程度越詳細；（3）從統計分布上進行對比。對比不同算法的統計特征值以及其頻率分布特征。

2 結果與分析

2.1 起伏度的提取

采用表2中的6種算法分別對黃土高原、四川盆地、橫斷山區、東南丘陵、山東丘陵、東北地區的典型樣區進行起伏度的提取，由提取結果分析得出，不同算法提取的起伏度結果在結構上基本相似。與原始DEM表面紋理對比可知，不同的算法計算出的起伏度較高的地區大多位于丘陵溝壑區的坡地上，以及較陡的溝谷兩側；在峁頂以及溝谷的底部則起伏度較小。6種算法提取的結果大致符合地形結構的分布狀況，6種算法均可以正確的反映地表起伏度的變化趨勢。雖然不同的算法提取的起伏度結果不同，但并未改變地形分布的內在規律。

為比較不同算法間的差異性，對6種算法提取的起伏度結果分別作頻率曲線，并對特征值進行統計，再將結果統一拉伸為1～100之間（圖1）。一般來說，在相同的地形區條件下樣本足夠大時起伏度應是一個正態隨機變量，其結果應大致接近于正態分布。由圖1中可以看出，除算法3（投影面積比）之外，各起伏度算法頻率分布曲線均接近正態分布，統計特征值也較為接近。投影面積比法分布狀況雖呈正偏態，但從圖像上看提取結果依然尚可。矢量法和投影面積比法由于經過三角函數運算，使得較其余4種方法在內部結構分布上數值于較小區域較為集中，這兩種方法在提取起伏度時會造成某些局部地區起伏度提取結果偏小。

圖1 各地區不同起伏度算法頻率分布曲線

2.2 相關性指數的計算

不同的起伏度提取方法在不同的地形地貌區的適用性是一個值得探索的問題。由于起伏度與坡度在本質上都是地表垂直量與水平量關系的表達，因此嘗試將不同算法提取結果與該地形區的坡度進行比較，與坡度的相關性越好，則說明該方法在此地形區中越適用。采用CORRELATION函數提取各個樣區中不同起伏度算法與坡度的相關系數（圖2），相關系數越接近于1，則表示相關性越強。由圖2可知，6種不同的算法所提取的結果與坡度的相關性指數基本都位于0.8以上，整體相關性較好。但在不同的地形區中，各起伏度算法的適用性并不相同。適用性由高到低排序為：（1）東北地區。局地標準差法＞局地高差法＝RUGN＞投影面積比法＞矢量法＞RDLS；（2）東南丘陵和山東丘陵區。局地標準差＞局地高差法＝RUGN＞RDLS＞投影面積比法＞矢量法；（3）橫斷山區。局地標準差＞局地高差法＝RUGN＞RDLS＞矢量法＞投影面積比法；（4）在黃土高原和四川盆地。投影面積比法＞局地標準差＞矢量法＞局地高差法＝RUGN＞RDLS。

由分析結果可以看出，在大部分地區局地標準差、局地高差法以及RUGN法的適用性都比較好。RDLS法在地形較為復雜的區域有較好的適用性，但是由于該方法將高差小于等于30m的地區視為平地，忽略了平地地區的起伏度，因此在東北地區、四川盆地等較為平坦地形區的適用性并不理想。

圖2 各地區不同起伏度提取結果與坡度的相關性

2.3 起伏度信息量的計算

信息容量的概念來自于計算機圖形圖像學，能夠很好地描述圖像表達內容的詳細程度與復雜性。起伏度信息量的大小與結果的評價之間有著非常緊密的聯系，信息量越大則表明對細節的表達程度越完整，效果越好；反之，則說明在局部地形的表達上不夠完整。目前，定量計算信息容量的方法有很多種［16］，一般有標準差、均方誤差、信噪比、平均梯度以及信息熵等方法。其中標準差和均方誤差主要側重于度量灰度像元值的離散程度，忽略了整體分布規律和視覺效果；而信息熵則主要統計了整體像元灰度值的豐富程度，對微觀上各像元與其相鄰像元之間的灰度值關聯性考慮不足。

李志林［17］針對DEM提出了元分維模型的概念，這是一種能夠有效揭示DEM中內部高程變異復雜性的新方法，它將傳統的對DEM整體的綜合平均分維方法進行了一定的擴展。張哲［18］在此基礎上利用二維直方圖，通過統計鄰近像元之間的離散程度，構建了基于圖像復雜度評價的信息容量模型。本研究利用此方法，將6種算法提取的起伏度結果值統一拉伸至0～255之間，通過Matlab編程，分別計算坡度以及6種起伏度算法的信息量（圖3）。由圖3可知，不同算法提取的起伏度信息量值較為接近，略小于坡度的信息量，且在地形較復雜的高原山地地區要明顯高于地勢較平坦的平原地區。就算法之間而言，局地標準 差 （std）、局 地 高 差 （focalrange）、RDLS 以 及RUGN法在所選取的6個地形區中的信息量均略高于其他兩種方法。與上文中各算法與坡度的相關性結論基本一致。

2.4 各種算法下起伏度的宏觀格局分析

全國范圍內，由各種算法起伏度的宏觀格局（圖4）可知：（1）各算法所提取的地形起伏度基本上都能夠反映全國地勢的起伏變化分布情況。在天山、昆侖山、祁連山、橫斷山區等高山地區以及丘陵區和我國地形三級階梯的分界線上的地形起伏度相對較大；在平原、盆地地區的起伏度較小；（2）由不同算法之間的比較可以發現：算法3，算法5所得結果圖的整體亮度值較其他算法偏暗，這主要是因為這兩種算法計算出的起伏度值在局部地區偏小。由于算法6在計算時認為高程差小于等于30m的地區為平地（起伏度為0），所以忽略了一些有微小起伏的區域，如長江中下游平原，塔克拉瑪干沙漠等地區，與真實情況略有差別。雖然該方法在地勢平緩地區的適宜性不高，但就全國范圍而言，該方法依然具有可行性。算法1，算法2提取的結果從圖像上看較為適中；（3）分析各種算法與坡度的相關性（表3）可知，在全國范圍內，算法1，算法2及算法6的結果與坡度最為吻合。

圖3 不同起伏度算法的信息量

圖4 全國范圍6種起伏度算法提取結果

表3 全國范圍不同起伏度算法與坡度相關性

3 結論

（1）從宏觀上看，本研究所嘗試的6種起伏度算法在結果上與地表的實際狀況基本吻合，均可用于描述地表起伏變化的宏觀趨勢。但不同的算法在微觀上存有一定的差異。通過不同算法自身的頻率分布與特征統計的對比、不同樣區中不同算法與坡度進行的相關性比較、以及不同算法信息量差異的計算可知，在大部分地區局地標準差、局地高差法、RUGN是3種較為實用的起伏度提取算法，且計算方便；RDLS法在起伏度較小的平原地區效果不夠理想，這主要是由于RDLS方法在1 000m分辨率時將高差≤30m的地區視為平地，從而在起伏狀況較小的平原地區難以詳細鑒別地形起伏形態，會造成起伏度提取的失真，因此該方法主要適用于地表起伏相對復雜的丘陵山地等地區，且計算區域不宜過小；投影面積比和矢量法在提取起伏度時，表面紋理尚可，但在內部結構上往往在小值區域分布較為密集，在提取精度上存有一定的不確定性。

（2）本研究旨在對起伏度的不同算法進行嘗試和探討。在樣區的選取中主要以全國1 000m分辨率DEM為數據源，過程中并未涉及其他分辨率數據，在其他分辨率條件下的適用性須進一步的研究與論證；同時，如何建立起伏度與坡度之間的關系，在中粗分辨率條件下如何直接將起伏度數據應用于區域水土流失定量評價中，是一個亟待解決的問題。

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