灰色線性回歸組合模型在北京地面沉降分層預測中的應用

周 毅，羅 鄖，賈三滿，田 芳

（1．北京大學地球與空間科學學院，北京 100871；2．北京市水文地質工程地質大隊，北京 100195；3．中國地質環境監測院，北京 100081）

1982年，中國學者鄧聚龍教授創立了灰色系統理論，這是一門新興的橫斷學科，是研究少數據、貧信息不確定性問題的新方法[1]。經過劉思峰、林益等學者的努力使灰色系統理論不斷完善和發展，同時基于該理論形成了GM(1,1)模型，GM(0，N)模型、verhulst模型等灰色預測模型并被廣泛應用于自然科學、社會科學、工程技術等各個領域。

地面沉降是一個復雜地、系統地過程。誘發地面沉降的因素有很多，有土體天然固結、有地下水過度開采、有工程建設荷載等等。總之，這是一個包含土層—地質作用—人類活動的復雜系統[2]。那么復雜系統就涉及到許多的未知因素，包括相互關系未知，結果為未知等，因此利用灰色系統理論將其概化為一個單純的數學模型來進行預測就很有意義。例如，郭小萌[3]進行了基于矩陣的GM(1,1)模型對北京市平原區進行了地面沉降預測，取得了較好的效果。宮相霖[2]利用灰色系統建立了地面沉降與地下水位變化的映射GM(1,2)模型對上海的地面沉降發展態勢進行了預測。

本文以北京地面沉降監測站分層監測的數據為支撐。在地面沉降快速發展階段中，各種因素對地面沉降的影響無法定量表述的情況下，利用GM(1,1)模型與線性回歸模型相組合對地面沉降進行模擬和預測，既能體現階段地面沉降的快速發展趨勢，又彌補了單一GM(1,1)模型無法能描述變量間的線性關系的缺點。

1 灰色線性回歸組合模型

灰色線性回歸組合模型可以看作是普通均值GM(1,1)模型與線性相組合。針對原始數據按以下步驟建立模型：

（1）設原始數據序列 X(0)有n個監測值分別為：

（2）對 X(0)的一階累加（1-AGO）序列 X(1)為：其中

由此可得 X(1)的預測值為：

其中，C1=0時，上式為一元線性回歸模型；當C2=0時，上式為GM(1,1)模型；當C1≠0，C2≠0上式既包含指數增長趨勢，又包含線性項的灰色線性回歸模型。對上式進行一次累減還原即可得到原序列的預測值(0)X 。（6）預測精度檢驗

2 研究實例

2.1 研究區概況

北京地面沉降最早于上世紀30年代中期發生在西單—東單一帶，先后經歷形成階段（1955～1973）、發展階段（1974～1983）、擴展階段（1984～1998）和快速發展階段（1999年至今）。隨著北京不斷增加的水資源供給需求，地下水過量超采形勢依舊，地面沉降仍呈現快速發展趨勢。截止2012年北京地面沉降區分布呈南北兩個大區：北區主要包括昌平沙河－八仙莊沉降區、朝陽來廣營沉降區和東八里莊－大郊亭沉降區。區內最大累計沉降量為1414mm，位于昌平沙河－八仙莊沉降區內的八仙莊地區；南部沉降區主要為大興榆垡－禮賢沉降區，該沉降區與河北相鄰地區連接。區內最大累計沉降量位于禮賢沉降區達1137mm[4]。

為實時監測地面沉降發展趨勢，研究地面沉降成因機理，最終實現預警預報系統。北京市先后于2004年和2008年建設完成了順義天竺等7個地面沉降監測站。監測站內采用基巖標—分層標靜力水準測量系統對各監測站所處的地層進行分層監測。本文選用北京東部典型沉降區內某地面沉降監測站內分層監測數據作為原始數據的來源。具體分層監測情況見表1。

表1 地面沉降分層監測概況

2.2 建立組合模型A-F

選取該站2004～2012年監測的部分標孔累計沉降量監測數據作為的原始數據序列(表2)，以分層監測標孔為單元建立一階累加（1-AGO）地面沉降模型組。例如：1層監測標的1-AGO灰色線性回歸組合模型記為模型A，2層監測標的記為模型B，以此類推。具體建模步驟如下：

(1)建立模型A

表2 地面沉降分層監測數據（2004～2012年）

2.3 預測結果對比分析

對原始數據序列作1—AGO可得一階累加數據：

基于灰色線性回歸模型的短期預測精度較高的特點，利用模型組A－F模擬2004～2012年的沉降值，并預測2013年的沉降值。因此，將={15.233 54.101 117.609 199.745 303.013 442.284 626.128 867.438 1173.788}令帶入模型組A，可得一階累加沉降值=（18，56.3，113.5，193.7，302.2，445.3，631，868.8，1170.5，1550.6，2027）。對進行一次累減還原，，=(298.6088,-44.5580,-303.7192)

故1-AGO生成序列的灰色線性回歸組合模型A為：，則參數v的估計值=0.20414948，

(2)按模型A的建立方式依次建立模型B－F，具體見表3。可得1號標孔2004～2013年的累計沉降量分別為18mm，38.3mm，57.2mm，80.2mm，108.5mm，143.1mm，185.7mm，237.8mm，301.7mm，380.1mm。同理，可得2～6號標孔的2004～2013年的累計沉降量（表5）。計算模型組殘差和相對誤差，發現2004年部分監測層位沉降量相對誤差超出了模型一般精度要求，分析原因可能為監測初始年，各分層標孔還未穩定，因此該數據在數學模型擬合時

表3 1-AGO的灰色線性組合模型

其誤差較大。但2005～2013年各標孔預測模型相對誤差均符合模型要求，且絕大多數相對誤差小于0.1，模型精度達到較高要求。經過后殘差檢驗（表4），各標孔后殘差比均小于0.35，小誤差概率為1，模型符合建模要求，且精度良好。

表4 模型精度評定表

利用該模型組模擬2004～2012年的各監測層位累計沉降量，發現其相對誤差隨著監測層位的不斷加深，平均相對誤差值不斷增加。預測2013年的沉降量發現，地表沉降量（1號標孔）預測結果與實測誤差為6.375mm，占實測結果的1.7%，同時，其它監測層位最大累計沉降量相對誤差不超過實測值的6.5%。利用實測結果值與預測結果值建立相關性分析，得出其相關系數 ，說明實測結果與預測結果有著顯著的相關性。

為進一步對比模型精度，將灰色線性回歸組合模型與普通均值GM(1,1)模型進行對比，通過兩種模型分別進行沉降模擬，發現2004-2012年基于兩種模型的各分層模擬年沉降值平均誤差均在3～4mm左右，模型的精度均很高（圖1）。但通過擬合的數學模型來預測2013年沉降量時，灰色線性回歸組合模型平均誤差為10mm，普通均值GM(1,1)模型平均誤差達32mm。繪制2013年累計沉降量預測與實測對比曲線圖2，可以看出灰色線性回歸組合模型預測未來沉降量時其精度要遠高于GM(1,1)模型（圖2）。

表5 1～6號標孔分層累計沉降量預測結果表（2004～2013年）

3 結論

地面沉降的誘發因素很多，各種不確定因素均對地面沉降的預測產生影響。在缺乏對地區地面沉降與其影響因素定量研究的基礎上，采用灰色線性回歸組合模型對地面沉降進行預測是切實可行的。本文利用灰色線性回歸組合模型對北京東部某典型地面沉降區內地層進行分層沉降模擬，發現利用組合模型進行預測其精度要高于普通均值GM(1,1)模型。同時，由于該方法建立在少樣本，貧數據的基礎上，因此只需要利用單一的累計沉降量數據，通過發掘其序列監測值內在的關聯，建立數學模型，即可模擬預測未來的沉降量。在精度上，地表沉降量（1號標孔）短期預測結果與實測誤差為6.375mm，占實測結果的1.7%，精度達到很高的水平，因此，只要不斷引入監測數據對模型進行適度校正，即可利用該模型預測未來短期內的沉降量

圖1 兩組模型分層預測結果與實測結果對比

圖2 兩組模型預測2013年沉降量結果與實測結果對比

[1]劉思峰,謝乃明等.灰色系統理論及其應用[M].北京：科學出版社,2013.

[2]宮相霖,董榮鑫.灰色系統在地面沉降分析中的應用[J].上海地質,2003,3：16～21.

[3]郭小萌,宮輝力,朱 鋒等.基于矩陣的GM(1,1)模型預測地。面沉降[J].水文地質工程地質,2013,40(6)：101～105.

[4]羅 勇,周 毅,田 芳等.北京地面沉降監測年度報告(2012年)[R].北京市水文地質工程地質大隊,2013.

[5]陳 博,王建國.灰色線性回歸組合模型算法研究[J].西安文理學院學報：自然科學版,2012,15(1)：82～85.

[6]馬保卿,張 蔭.灰色線性回歸組合模型在地面沉降預測中的應用[J].鐵道勘察,2008,5：20～22.

[7]劉國仕,何亮云,薛建華等.灰色線性回歸組合模型在沉降監測中的應用[J].長沙理工大學學報（自然科學版,2012,12：32～36.