關于高等數學中分段函數的討論

費彥宏，李 茜

(山西運城農業職業技術學院，山西 運城 044000)

1 分段函數的定義

有時一個函數要用幾個式子表示，這種在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數，通常稱為分段函數.

若分段函數在點x0兩側的表達式不同，則將點x0稱為分段點，也可稱為分界點.

例如，函數

函數

注意：分段函數是一個函數，而不是幾個函數.

2 分段函數在點x0處的函數值

結論：要求分段函數在點x0處的函數值，應先確定點x0所在的自變量的取值范圍，再按相應的表達式進行計算.

例1 設函數

解：顯然，f(0)=1

∵-1<0,∴f(-1)=(-1)2=1

∵1>0,∴f(1)=2×1+3=5

3 分段函數在點x0處的極限

結論：要求分段函數在點x0處的極限，應首先判斷x0是否為分段點

(Ⅰ)若x0是分段點，則應先求出x0處的左、右極限，再根據極限存在的充 要條件，從而得出在x0處的極限

(Ⅱ)若x0不是分段點，有兩種情況[1]94-95：

a.先確定x0所在的自變量的取值范圍，再利用相應的表達式求出在x0處的極限

b.直接利用極限的定義求

例2 函數

解：(Ⅰ)顯然，x0=0是分段點

(Ⅱ)顯然，x0=-1不是分段點

(Ⅲ)顯然，x0=1不是分段點

例3 設函數

解：顯然，x0=0不是分段點

4 分段函數在點x0處的連續性與可導性

由上述定義可得以下結論[2]35-37

可導與連續的關系：若函數y=f(x)在點x0處可導，則在該點必連續.

另一方面，一個函數在某點連續卻不一定在該點處可導.

由可導與連續的關系，可得下面結論，

結論：要討論函數f(x)在點x0處的可導性與連續性，可先判斷在x0處的連續性，再判斷可導性. 具體如下：

(Ⅰ) 若在x0處不連續，則在x0處不可導.

例4 討論例2中函數f(x)在x=0處的可導性與連續性

例5 討論例3中函數f(x)在x=0處的可導性與連續性

∴f(x)在x=0處可導.

例6 討論函數

解：顯然，f(x)在x=0處連續，而x=0是分段點，

5 分段函數的不定積分

結論：要求分段函數的不定積分，應先分別求出自變量的各取值范圍上的不定積分，再根據連續性確定各積分常數.

6 分段函數的定積分

結論：要求分段函數的定積分，應先進行分段積分，然后相加.

解：

=1-(-1-1)-(-1)

=4

[1] 王曉東. 分段函數在教學過程中的問題探析[J]. 漯河職業技術學院學報，2008，7(2).

[2] 何 波,岳衛芬. 試論分段函數的特征[J]. 高等函授學報(自然科學版)，2004，17(6).