面向制導律設計的目標信息估計方法研究

丁 晨，郭建國，周 軍，王國慶（.西北工業大學 精確制導與控制研究所，陜西 西安 7007；.中國運載火箭技術研究院發展中心 北京 00076）

目標機動性能的不斷提高，對攔截彈制導性能的要求就更高。經典制導律對于導引頭量測目標所得到的狀態信息要求更加精確[1]。但在目前的技術水平下，導引頭測量目標狀態信息的精度與制導律所要求的信息有一定的誤差，這歸結于導引頭的制作工藝、傳感器的響應延遲等。文獻[2]指出為了實現精確制導要求，對于導引頭測量信息誤差必須給予減小或消除，這就需要更精確的濾波信息，濾波算法計算量盡可能小。

對于目標估計系統而言，目標的機動是未知的，如何描述目標機動是一個復雜的問題，也是目標估計的關鍵，所以機動目標狀態估計首先面臨的就是模型的選取。文獻[3]提出的“當前”統計模型較好的解決了目標機動加速度概率分布的問題。在“當前”模型的概念下，目標機動加速度可能取之的范圍可以減小，并且被限制在一定的范圍內，即由于物理上的限制，目標現在時刻加速度值越大，在下一瞬時目標加速度大幅度偏離此值的概率就越小。

通常情況“當前”統計模型下建立的狀態方程和量測方程不一定都是線性的[4]，此時就必須處理的是非線性系統下的目標估計問題[5]。文獻[3]指出基于“當前”統計模型的自適應算法是建立在標準卡爾曼濾波方程之上的，非線性系統無法寫出標準卡爾曼濾波方程也就無法實現自適應濾波算法。而擴展卡爾曼濾波（EKF）在處理矩陣問題上也無法完全保證正定性，只是通過對非線性函數的Taylor展開式進行一階線性化截斷，從而將非線性問題轉化為線性[6]，當非線性函數Taylor展開式的高階項無法忽略時，就會使系統產生較大的誤差，且許多實際問題無法很難得到非線性函數的雅克比矩陣求導。

超球體單形[7-8]sigma采樣平方根UKF濾波方法在處理非線性問題時，相對于對稱采樣UKF，從sigma采樣方面減小了取點個數，從而降低了計算負載；相對于EKF提高了估計精度；通過加入平方根[9]保證了數值的穩定性[10]。

由此，文中基于大機動目標設計了具有加速度補償的滑模制導律，并針對目標法向加速度的“當前”統計模型，利用超球體單形sigma采樣平方根UKF濾波的方法來估計彈目相對信息，數字仿真驗證了利用所得到的濾波信息，提高了整個攔截彈的制導性能。

1 彈目相對運動關系

圖1 彈-目相對運動幾何關系圖Fig. 1 Missile - target relative motion geometry graph

如圖1所示，給出二維彈目相對運動幾何關系，可得導彈和目標的相對運動模型[1]為：

其中， R表示彈目相對距離，q表示彈目視線角，q ˙ 表示視線角速率；Vm、Vt分別表示導彈和目標的速度；θm、θt分別表示導彈的彈道傾角和目標的彈道傾角；am、 at分別為導彈和目標的法向加速度。

2 基于目標機動信息的制導律設計

取狀態x= q˙ ，控制輸入u=am，根據式(1)可得狀態方程如下：

顯然，式(5)中的atq可作為目標機動的加速度補償量。此外，為了削減顫振，用飽和函數代替符號函數，可得：

3 目標信息估計方法研究

3.1 濾波狀態方程和觀測方程

考慮目標法向加速度的“當前”統計模型：

基于彈目相對運動方程式(1)和目標法向加速度的“當前”統計模型式(7)，選取系統的狀態變量為X=[R q θtαtθm]，T式(7)中， ω為均值為零的白噪聲，at表示目標當前時刻目標的法向加速度，atc表示目標前一時刻的法向加速度，則系統的狀態方程為：

其中 W(t)=[0 0 0 ωt0]T

其中， amax表示假設目標最大機動過載。

假設采用主動導引頭，導引頭測量值為彈目接近速率R˙和視線角速率 q ˙ ,觀測方程為式（9）:

其中，h(X(t))=[y1y2]T, V(t)=[v1v2]T為均值為零的高斯白噪聲向量 y1= R˙ ， y2= q ˙ 接下來基于狀態方程式(8)和觀測方程式(9)的，采用超球體單形sigma采樣平方根UKF濾波方法對目標運動信息進行估計。

3.2 超球體單形sigma采樣方法[5]

超球體單形采樣只要求匹配前兩階矩，但要求除中心點外的其他sigma點權值相同，而且與中心距離相同。將此條件代入 g [ { χi} , px( x ) ] = 0 ，迭代確定Sigma點，步驟如下：

1)選取 0≤W0≤1；

4)當狀態維數大于1維（ j=2,3…n），迭代為：

公式推導中分布的三階矩不為0，確保了對于任意分布達到2階矩截斷精度[5]。

對稱采樣UKF的sigma點個數為L=2n+1 ，而對于超球體單形采樣而言sigma點的個數為 L=n+2，保證了計算量的減小。

3.3 濾波流程

對于狀態方程(8)和量測方程(9)，濾波算法步驟如下：

1)計算sigma點

式中，qr(·)和cholupdate(·) 分別表示qr分解和cholesky一階更新，Q，R分別為狀態噪聲和觀測噪聲的協方差矩陣。

3)量測更新

式中， yk為tk時刻的目標狀態觀測信息，x?k為tk時刻目標狀態信息的估計值。濾波過程中的平方根形式，保證了濾波數值的穩定性[4]。

4 仿真結果及分析

設目標初始位置（15 000 m，20 000 m，15 000 m）速度為1 200 m/s，做過載為10 g的水平蛇形機動；導彈初始位于（0 m，10 000 m，0 m），速度為800 m/s。觀測噪聲方差矩陣diag[100,0.01]T，狀態噪聲方差陣 diag[100,0.01,0.01,ωk,0.1]T，狀態向量的初值誤差方差為 diag[102,0.052,0.12,102,0.012]T。

4.1 濾波結果分析

在相同條件下，EKF濾波算法和超球體單形采樣平方根UKF濾波算法結果對比如圖2和圖3所示，可以看出，利用本文所采用的濾波精度高于EKF濾波算法，EKF濾波在1 s內最大誤差達240 m/s2，而文中濾波算法最大誤差只有80 m/s2，且收斂速度和穩定性方面好于EKF。在5 s以后二者的誤差最大值基本相同，文中濾波精度略好，文中濾波比EKF最大誤差小10 m/s2。由此可知：

1）由于超球體單形平方根UKF的采樣方法是非線性函數基于概率密度分布的近似，而不是對非線性函數進行近似，不需像EKF求導計算雅克比矩陣，所以濾波精度比EKF高；

2）取點個數是n+2 , 因此計算速度比較快，故收斂速度較快 ；

3）由于超球體單形平方根UKF在計算過程中加入了平方根項，保證了濾波方差矩陣的正定性以及克服了計算誤差引起的發散現象，所得結果具有穩定性。

4.2 制導律仿真結果

下面給出兩種情況下導彈的需用過載，導彈過載限制最大為20 g，如圖4和圖5所示，可以清楚地看到采用本文的濾波方法可以大大降低末端導彈的過載。此外，進行300次蒙特卡羅仿真打靶所得脫靶量均值如表1所示。

圖2 EKF對目標加速度的估計誤差Fig. 2 EKF estimation error of the target acceleration

圖3 本文濾波對目標加速度的估計誤差Fig. 3 This filter on the target acceleration estimation errors

表1 脫靶量均值/mTab.1 Mean value of miss distance

顯然，利用本文濾波所得到的信息，對于大機動目標，可以有效地提高攔截彈的制導精度。

圖4 不濾波彈體過載（PN）Fig. 4 The missile overload of not filtering (PN)

5 結 論

文中針對目標大機動設計了具有加速度補償的滑模制導律，基于擴展卡爾曼濾波（EKF）算法在處理彈目運動非線性關系方面的不足，提出了將超球體單形平方根采樣UKF濾波用于目標運動狀態信息提取。此濾波算法較好的估計了目標的加速度信息。通過數學仿真證明了此結論，并實現了對大機動目標的有效攔截。

圖5 超球體UKF濾波彈體過載（本文制導律）Fig. 5 The missile overload of Hypersphere UKF filtering(the guidance law of this paper)

[1] 張華偉, 董茜, 王文燦,等.基于預測命中點的反彈道導彈攔截方法研究[J].彈箭與制導學報,2007(27):196-199.ZHANG Wei-hua,DONG Qian,WANG Wen-can,et al.Reserch way of intercepting ballistic missile based on the forecasting hitting postion[J].Journal of Projectiles;Rockets;Missiles and Guidance, 2007(27):196-199.

[2] Mehrotra K, Mahapatra P R.A jerk model to tracking highly maneuvering targets[J].IEEE Trans on AES,1997,33(4):1094-1105.

[3]周宏仁, 敬忠良, 王培德. 機動目標跟蹤[M].北京:國防工業出版社,1991.

[4]周鳳岐,盧曉東.最優估計理論[M].北京：高等教育出版社,2009.

[5]潘泉,楊峰,葉亮,等.一類非線性濾波器-UKF綜述[J].控制與決策,2005,20(5):481-489.PAN Quan,YANG Feng,YE Liang,et al.Survey of a kind of nonlinear filters-UKF[J].Control and Decision,2005,20(5):481-489.

[6]楊柳. 改進卡爾曼濾波的目標跟蹤研究[J].計算機仿真,2010,27(9):351-355.YANG Liu.Study on target tracking based on improved unscented transform kalman filtering[J].Computer Emulation,2010,27(9):351-355.

[7] Julier S J.The spherical simplex unscented transformation [C]//American Control Conf Denver,2003:2430-2434.

[8] Julier S J,Uhlmann J K.Reduced sigma point filters for the propagation of means and covariances through nonlinear transformations[C]//Proeedings of American Control Conf ,2002 : 887-892 .

[9] 葉飚，楊博.一種采用衰減記憶濾波的環月航天器自主導航方法研究[J].宇航學報,2006,27(5):1096-1010.YE Biao,YANG Bo. Autonomous Deep Space Navigation Based On Fading Memory Filtering[J].Journal of Astronautics,2006,27(5):1096-1010.

[10] Leero D,Bar-Shalom Y K.Tracking with debiased consistent converted measurement vs . EKF[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronics Systems,1993,29(3):1015-1022 .