非圓齒輪的三維設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)分析

吳俊峰，呂小波，李 傳，李 波，鄭方焱

（1湖北行星傳動(dòng)設(shè)備有限公司，湖北 黃岡438000；2武漢理工大學(xué)智能制造與控制研究所，湖北 武漢430063）

隨著計(jì)算機(jī)輔助軟件（CAD／CAE／CAM 等）、計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算（Maple等）、圖形學(xué)技術(shù)以及數(shù)控加工技術(shù)的發(fā)展，非圓齒輪的設(shè)計(jì)制造更容易實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，非圓齒輪節(jié)曲線方程可以通過三種計(jì)算方法來確定，即：給定非圓齒輪傳動(dòng)比函數(shù)和中心距；給定再現(xiàn)函數(shù)和中心距；給定主動(dòng)齒輪的節(jié)曲線方程和中心距［1］。國內(nèi)許多學(xué)者對(duì)非圓齒輪的設(shè)計(jì)及建模做了研究，李福生［2］、黃忠超［3］、鄭方焱［4］等提出了設(shè)計(jì)非圓齒輪的基本方法；胡赤兵［5］等提出了Matlab與ProE相結(jié)合對(duì)橢圓齒輪進(jìn)行三維建模；高雪強(qiáng)［6］等通過Solidworks的二次開發(fā)結(jié)合VB編程研究了橢圓齒輪的實(shí)體建模方法；范素香［7］等利用Matlab和UG建立了偏心共軛非圓齒輪的三維實(shí)體模型。以上學(xué)者設(shè)計(jì)非圓齒輪的主要方法是利用節(jié)曲線進(jìn)行非圓齒輪的設(shè)計(jì)，一般用于橢圓齒輪或偏心齒輪的設(shè)計(jì)，對(duì)于一些有特殊運(yùn)動(dòng)要求的設(shè)計(jì)，則比較困難。

本文采用給定的傳動(dòng)比函數(shù)和中心距的方法對(duì)非圓齒輪進(jìn)行設(shè)計(jì)，具有更好的通用性。同時(shí)，針對(duì)目前非圓齒輪的三維建模方法，采用Solidworks和Matlab相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)了一種非圓齒輪三維實(shí)體建模的方法，并利用Solidworks中的Comsom／motion插件對(duì)非圓齒輪進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)仿真，驗(yàn)證了非圓齒輪理論設(shè)計(jì)的正確性以及齒輪齒廓嚙合性能的優(yōu)劣。

1 非圓齒輪設(shè)計(jì)方法及計(jì)算公式

本文采用傳動(dòng)比函數(shù)對(duì)非圓齒輪進(jìn)行設(shè)計(jì)，傳動(dòng)比函數(shù)可由外加載荷和運(yùn)動(dòng)情況推導(dǎo)出來。其外嚙合時(shí)傳動(dòng)比函數(shù)方程為

式中ω1，ω2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的角速度。為了保證從動(dòng)齒輪的節(jié)曲線是一條封閉的曲線，從動(dòng)齒輪位置函數(shù)φ2（φ1）必須滿足φ2（2π）＝2π·n或φ（2π）＝，式中n為整數(shù)。從動(dòng)齒輪位置函數(shù)

2計(jì)算方程為

節(jié)曲線在非圓齒輪傳動(dòng)中相當(dāng)于平面齒輪傳動(dòng)中的分度圓，在非圓齒輪的設(shè)計(jì)制造中可以用節(jié)曲線的純滾動(dòng)表征非圓齒輪傳動(dòng)。其主動(dòng)齒輪的節(jié)曲線方程

從動(dòng)齒輪的節(jié)曲線方程

式中a為兩齒輪的中心距。由于傳動(dòng)比函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，因此節(jié)曲線函數(shù)同樣連續(xù)。可以通過平面曲線的曲率公式來驗(yàn)證上述節(jié)曲線方程的凸凹性。其曲率公式方程式為

根據(jù)曲率公式判斷節(jié)曲線的凸凹性后，選擇不同的加工方式加工齒廓。如果判斷節(jié)曲線為外凸，可選用插齒或滾齒進(jìn)行加工；如果判斷節(jié)曲線為內(nèi)凹，則只能選用插齒加工。齒輪的中心距和齒數(shù)為已知參數(shù)，需要進(jìn)一步確定非圓齒輪的模數(shù)。模數(shù)可以通過節(jié)曲線的周長(zhǎng)和齒數(shù)來確定，模數(shù)的計(jì)算方程式為

式中：L是節(jié)曲線的周長(zhǎng)，且

根據(jù)計(jì)算出的非圓齒輪的模數(shù)，選用漸開線滾齒加工方式，再按照齒輪加工的原理，確定齒輪刀具與輪坯的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，得到齒廓方程；進(jìn)而得到非圓齒輪傳動(dòng)中的其他參數(shù)，如齒距、齒厚、齒頂、齒根。齒廓方程中的一段如下：

式中：

2 非圓齒輪的Maple程序編程及實(shí)現(xiàn)方法

在了解了非圓齒輪計(jì)算公式推導(dǎo)及各參數(shù)意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行編程，分別對(duì)主、從動(dòng)非圓齒輪的節(jié)曲線、齒頂圓曲線、齒根圓曲線以及齒廓方程進(jìn)行編程。非圓齒輪的編程流程圖見圖1。

通過Maple強(qiáng)大的數(shù)值處理能力，即可得到非圓齒輪齒廓數(shù)據(jù)。主動(dòng)齒輪的設(shè)計(jì)基本要求是：傳動(dòng)比函數(shù)i12（φ1）＝1.41＋sin（φ1），中心距50mm，齒輪齒數(shù)20。根據(jù)以上要求對(duì)非圓齒輪進(jìn)行Maple編程，其程序片段見圖2。

圖1 非圓齒輪的編程流程圖

圖2 Maple程序片段

通過軟件繪圖工具，得到了主動(dòng)非圓齒輪和從動(dòng)非圓齒輪的齒廓形狀（圖3，圖4）。

圖3 主動(dòng)非圓齒輪齒廓

圖4 從動(dòng)非圓齒輪齒廓

3 非圓齒輪三維實(shí)體建模

將Maple生成的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)（＊.txt）格式，導(dǎo)入到Solidworks中，可以生成非圓齒輪相應(yīng)的曲線。在Solidworks的新建模型中，點(diǎn)擊菜單欄“插入”中的曲線命令，通過XYZ三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)生成樣條曲線。由于所得曲線不能直接進(jìn)行拉伸，需要在XY平面新建一個(gè)草圖，再通過“轉(zhuǎn)換實(shí)體引用”將曲線轉(zhuǎn)換為實(shí)體曲線。在草圖對(duì)實(shí)體線進(jìn)行修改，再進(jìn)行拉伸得到非圓齒輪三維實(shí)體模型（圖5、6）。

圖5 主動(dòng)齒輪圖

圖6 從動(dòng)齒輪

4 非圓齒輪運(yùn)動(dòng)仿真

利用Solidworks的Comsom／motion插件可以對(duì)非圓齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真分析，通過輸出從動(dòng)齒輪的運(yùn)動(dòng)性能曲線，如角速度、角加速度以及接觸力曲線等，進(jìn)而得到非圓齒輪對(duì)的速度時(shí)間響應(yīng)，并與理論值進(jìn)行比較，來判斷輪齒的嚙合性能的優(yōu)劣性以及設(shè)計(jì)理論的正確性。

在兩個(gè)齒輪進(jìn)行裝配之前，先編輯齒輪的材料屬性，根據(jù)工程機(jī)械實(shí)際加工齒輪所用的材料，再結(jié)合Solidworks自帶的材料庫中材料，選擇AISI 4130鋼，其泊松比為0.285，楊氏模量2.05×1011N／m2，密度為7 850kg／m3；其它的參數(shù)，如實(shí)體的質(zhì)量等可由軟件自動(dòng)計(jì)算。在Solidworks中新建裝配圖，根據(jù)齒輪間的中心距將主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪進(jìn)行配合，同時(shí)新建兩個(gè)軸零件，分別與主、從動(dòng)齒輪進(jìn)行配合（圖7）。

在裝配圖中新建一個(gè)運(yùn)動(dòng)算例，在新的運(yùn)動(dòng)算例中，確保在MotionManager工具欄中的算例類型為“Motion”分析。在Motion分析中，定義兩個(gè)軸的約束（將兩個(gè)軸設(shè)置為固定）；再添加碰撞類型，定義主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪之間接觸、主動(dòng)齒輪與其配合的軸之間接觸以及從動(dòng)齒輪與其配合的軸之間接觸，設(shè)置剛度為50 000N／mm，最大阻尼為500N·s／m，同時(shí)在運(yùn)動(dòng)算例屬性中允許接觸在小距離內(nèi)的相互滲透。

圖7 在solidworks中的裝配圖

添加一個(gè)旋轉(zhuǎn)馬達(dá)，馬達(dá)位置選擇在主動(dòng)齒輪中心孔的表面，相對(duì)于與主動(dòng)齒輪配合的軸移動(dòng)；設(shè)置為120°／s（圖8），并設(shè)置運(yùn)動(dòng)仿真時(shí)間為8s，25幀／s。最后單擊計(jì)算運(yùn)動(dòng)算例，得到從動(dòng)齒輪的角速度相應(yīng)曲線（圖9）。

圖8 主動(dòng)齒輪的角速度曲線

圖9 從動(dòng)齒輪的角速度曲線

從圖9可以看出角速度曲線與傳動(dòng)比函數(shù)曲線形狀基本嚙合，圖中有部分情況出現(xiàn)失真，比如由于嚙合激勵(lì)的非線性造成的尖點(diǎn)，通過該曲線可以驗(yàn)證設(shè)計(jì)理論的正確性。

5 總結(jié)

1）利用傳動(dòng)比函數(shù)設(shè)計(jì)了非圓齒輪，所設(shè)計(jì)的非圓齒輪更加精密、穩(wěn)定。

2）結(jié)合Maple強(qiáng)大的曲線編程和數(shù)據(jù)處理能力，得到了非圓齒輪節(jié)曲線、齒廓曲線的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)。

3）在Solidworks中建立了非圓齒輪的虛擬樣機(jī)，并通過Solidworks中Motion插件對(duì)非圓齒輪進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)仿真，驗(yàn)證了理論設(shè)計(jì)的正確性以及嚙合情況的優(yōu)劣。

［1］ 周 娜，何 麗，許紀(jì)倩.基于 MATLAB的非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計(jì)［J］.機(jī)電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2007，20（1）：7－8.

［2］ 李福生.非圓齒輪與特種齒輪傳動(dòng)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1983：87－100.

［3］ 黃忠超，藍(lán)兆輝.節(jié)曲線封閉的非圓齒輪傳動(dòng)比函數(shù)設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2011，35（11）：30－33.

［4］ 鄭方焱，陳定方，劉有源.一種非圓齒輪齒廓的通用算法［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2013，37（04）：64－66.

［5］ 胡赤兵，姚洪輝.基于MATLAB及Pro／E的參數(shù)化非圓齒輪設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2010，34（7）：33－35.

［6］ 高雪強(qiáng)，葛駿俠.SolidWorks中的非圓齒輪實(shí)體建模方法研究［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2009，（4）：189－192.

［7］ 范素香，齊新華，侯書林.基于Matlab及UG的偏心共軛非圓齒輪的設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2011，35（09）：70－72.