發現“六根火柴”圖形的多種可能解

石殿祥

馬丁·加德納的“六根火柴”題目

在開始這個游戲題目之前，馬丁·加德納先講解了拓撲學上等價圖形的基本概念，其大意為，假想火柴是一根橡皮筋，可以隨意加工，包括轉個彎，之后再放回桌面上，即經過一系列加工后，它由一個圖形變成了另一個，若連通性沒有變化，這兩個圖形就稱之為拓撲學上的等價圖形。比如三角形、圓形、方形，其大小、形狀雖然不同，但在拓撲變換下，它們都是等價圖形。

游戲題目

請問6根火柴在平面上到底可以排出多少個“拓撲學上的不等價圖形”？要記住，每根火柴不可折斷，也都等長;既不能彎又拉不長，不可重疊，只可以在兩端相碰。

在這種規則下，6根火柴究竟能排出多少種不等價圖形呢？馬丁·加德納給出的答案：19種。

發現原答案中沒包括的變化

我是個愛鉆牛角尖的人，很少直接接受一個現成的結論，總是喜歡自己驗證或者修改它們。我仔細觀察了這19個圖形，找到了一些與它們不同的新的不等價圖形，原來，“六根火柴”還有被隱藏的變化。進而我想：馬丁·加德納的枚舉既然沒能窮盡全部可能的圖形，是否存在一種能夠窮盡所有圖形的方法？如何保證一種方法真的窮盡了所有的圖形？

為了避開拓撲學、圖論之類艱深的概念和術語，在這里先定義一些與本題目有關的詞語（雖然不太規范，但是有助于說明和解釋）：稱每根火柴為邊;火柴（頭或尾）相碰的點稱為結點;結點上連接的邊的數目稱為結點的階次;從一個結點出發沿著邊可以到達另一個結點，如果能夠返回到出發的結點，則稱這樣的路由為環，如果環的內部存在像對角線一類的邊，也就是說回到出發點的路由可以歷經較少的邊，稱為多環，否則稱為單環。如圖：

為了能夠窮盡全部圖形，我們從考查結點總數入手。對于6根火柴來說，顯然結點總數不會超過6，因此按照結點數多少分類，就不會多于6類。顯然單環總數只能為0，1，2。對于多環，當火柴根數為6時，只存在1個多環，可以把這個多環分解成共享一條（比如紅色）邊的2個單環來計數。統計出各個類別中互不相同的圖形數目，累加起來就是全部圖形的數目。

此外，還要給出一個關于邊的計數公式，對于M根火柴問題

：其中：M為火柴的根數，本題M=6，k表示結點總數，L表示單環總數。 表示對每個結點的階次作累加，但這種累加顯然包含了關于邊的重復計數。①連接兩個結點的邊在兩個結點的階次統計中都被計算，因此多統計了K-1次;②對于單環出發結點與到達結點是同一個結點，顯然增加了該結點關于邊的計數，所以要減去L個單環的計數L。如此分析，說明這個公式是成立的。在完成以上的分析后我給出的解答如下：

因此這個問題的解答是：有28種不同的圖形！這里不再列出馬丁·加德納遺漏的9種圖形了（綠色）。上面給出的方法對M>6（或M<6）的情況同樣也是適用的。對一個小游戲的解答，展現了一個由枚舉、猜想到懷疑、考證的求索過程。提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。

（責任編輯/李靜敏）