與美共舞的幾何圖形

Dunelm

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中的重要分支，不僅在科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且對(duì)藝術(shù)也有重大的影響。歷史上，幾何圖形一直是藝術(shù)創(chuàng)作中的重要元素，例如在一千多年前的伊斯蘭教藝術(shù)中，我們就能發(fā)現(xiàn)許多復(fù)雜而精致的幾何圖案。到了近代，伴隨幾何學(xué)的不斷發(fā)展，我們也能夠欣賞到更多蘊(yùn)含在幾何學(xué)中的藝術(shù)之美。

分形幾何：大自然的密碼

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造了一系列在數(shù)學(xué)上很奇怪、卻又非常具有美感的幾何形狀。1891年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)現(xiàn)了一條可以鋪滿(mǎn)整個(gè)空間的曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)被命名為希爾伯特曲線(xiàn)（Hilbert curve）；1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫發(fā)現(xiàn)了以他名字命名的科赫曲線(xiàn)（Koch curve），又因曲線(xiàn)形似雪花被稱(chēng)為科赫雪花。

科赫曲線(xiàn)看似復(fù)雜，其實(shí)畫(huà)法很有規(guī)律：從一個(gè)等邊三角形出發(fā)，將每條邊三等分，以每條邊中間的一段為邊向外作等邊三角形，形成一個(gè)六角星形。再在六角星形的十二條邊的中間一段上作更小的等邊三角形，并不斷重復(fù)這一程序。每一次操作后總長(zhǎng)度增加三分之一，而經(jīng)過(guò)無(wú)限次操作后就可以得到這個(gè)類(lèi)似雪花的圖形。需要注意的是，科赫曲線(xiàn)的總長(zhǎng)度是無(wú)限的，但是其面積是有限的。

這些圖形在被創(chuàng)造之初并沒(méi)有引起主流數(shù)學(xué)界的關(guān)注，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為這些圖形“怪異”、“非自然”，與數(shù)學(xué)研究沒(méi)什么關(guān)系。直到1960年，波蘭裔數(shù)學(xué)家曼德博開(kāi)始研究這些圖形背后的數(shù)學(xué)意義，才發(fā)現(xiàn)了巨大的價(jià)值。1975年，他創(chuàng)造了“分形”（fractal）這個(gè)詞來(lái)指代這些自相似性的物體，也就是同樣的形狀和圖樣在以不同的規(guī)格重復(fù)。后人也因此稱(chēng)他為“分形學(xué)之父”。在曼德博看來(lái)，自然界充滿(mǎn)了復(fù)雜而不規(guī)則的結(jié)構(gòu)——如海岸線(xiàn)、山脈、云、冰川、河流系統(tǒng)、星系團(tuán)等，甚至蔬菜西蘭花，傳統(tǒng)幾何學(xué)對(duì)此無(wú)能為力，而分形學(xué)這種新的自然幾何可以大顯身手。此外，在人類(lèi)生活的很多領(lǐng)域內(nèi)，例如股票市場(chǎng)的漲跌中也可以發(fā)現(xiàn)分形幾何的影子。

在我們的生活中，一個(gè)典型的分形例子是河流系統(tǒng)。我們都知道，河流會(huì)改道，例如歷史上黃河大的改道就發(fā)生過(guò)5次。河流改道的原因是河流彎道內(nèi)側(cè)和外側(cè)水流的速度有差異，這樣就會(huì)對(duì)河流造成侵蝕，進(jìn)而改變河流的平衡并影響河流未來(lái)移動(dòng)的方向。在研究過(guò)程中，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)這一過(guò)程可以用分形來(lái)描述，因此我們又獲得了一個(gè)新的視角來(lái)觀察河流。

幾何方程：曲線(xiàn)之美

20世紀(jì)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)徹底改變了數(shù)學(xué)研究。計(jì)算機(jī)不僅成為輔助數(shù)學(xué)研究的有力工具，還能讓更多人領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的美。對(duì)外行人來(lái)說(shuō)，方程本來(lái)只是字母和數(shù)字的組合，看起來(lái)猶如天書(shū)。但是使用計(jì)算機(jī)，我們可以畫(huà)出很多方程對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)，一目了然，還會(huì)有意外的驚喜，例如1989年數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的兩種蝴蝶曲線(xiàn)。

顧名思義，蝴蝶曲線(xiàn)（Butterfly curve）就是曲線(xiàn)形狀如同蝴蝶。第一種蝴蝶曲線(xiàn)如圖1所示，以方程1描述，是一條六次平面曲線(xiàn)。如果大家覺(jué)得這個(gè)太過(guò)簡(jiǎn)單，別著急，還有第二種。如圖2所示，以方程2描述，這是一個(gè)極坐標(biāo)方程。通過(guò)改變這個(gè)方程中的變量θ，可以得到不同形狀與方向的蝴蝶曲線(xiàn)。如果再施以復(fù)雜的組合和變換，我們看到的就完全稱(chēng)得上是一幅藝術(shù)品了。

還有一種曲線(xiàn)不得不提，那就是心形曲線(xiàn)（Cardioid curve）。用極坐標(biāo)表示，這條曲線(xiàn)可以寫(xiě)成方程3的形式。當(dāng)一個(gè)圓沿著另一個(gè)半徑相同的圓滾動(dòng)時(shí)，圓上一點(diǎn)的軌跡就是心形曲線(xiàn)。

關(guān)于心形曲線(xiàn)還有一段動(dòng)人的傳說(shuō)。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒與瑞典公主克里斯蒂娜邂逅后，兩人相愛(ài)，卻遭到瑞典國(guó)王的反對(duì)。后來(lái)笛卡兒染病，臨死前交給公主一封信，信里只有一個(gè)方程：r=a（1-cosθ），旁人不解，只有公主明白這是笛卡兒的“一顆心”。這段故事流傳甚廣，國(guó)內(nèi)某著名品牌礦泉水的廣告即取材于此。但實(shí)際上，這則故事是后人杜撰而成，唯一真實(shí)的地方就是兩人確實(shí)相識(shí)。

從美好的故事中醒來(lái)，我們不必傷感，因?yàn)槲覀冎懒嗽瓉?lái)數(shù)學(xué)還可以用來(lái)表達(dá)愛(ài)意。不管是蝴蝶曲線(xiàn)還是心形曲線(xiàn)，這些數(shù)學(xué)王國(guó)的精靈也可以像那些名畫(huà)一樣，裝飾我們的客廳，裝點(diǎn)我們的生活。

（責(zé)任編輯/李平）