基于相位估計(jì)與補(bǔ)償?shù)臅r(shí)域同步平均方法

陳韶華，鄧秀華，張 恒

（中船重工集團(tuán)公司第七一〇研究所，湖北 宜昌443003）

0 引言

時(shí)域平均使信號(hào)同相位平均，而噪聲相位是隨機(jī)的，因而能增強(qiáng)噪聲中的周期信號(hào)，在微弱信號(hào)檢測(cè)、振動(dòng)測(cè)試與故障診斷等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［1-5］。時(shí)域同步平均要求分段數(shù)據(jù)長(zhǎng)度等于信號(hào)周期的整數(shù)倍，這在信號(hào)頻率未知時(shí)難以做到。即使頻率已知，由于數(shù)字信號(hào)處理中離散采樣的原因，各段信號(hào)之間也可能存在相位差，不能完全同步。為解決分段數(shù)據(jù)相位不同步的問(wèn)題，一般采用在頻率軸上搜索的方法。文獻(xiàn)［4］針對(duì)信號(hào)頻率范圍已知的情況，在該范圍內(nèi)進(jìn)行搜索來(lái)尋求最佳分段長(zhǎng)度及最大增益。文獻(xiàn)［5］在分段長(zhǎng)度一定的情況下，在頻率軸上搜索以進(jìn)行相位補(bǔ)償。這些方法的缺點(diǎn)是需要在頻率軸上進(jìn)行龐大的搜索，處理效率比較低。本文針對(duì)此問(wèn)題提出了基于相位估計(jì)與補(bǔ)償?shù)臅r(shí)域平均方法。

1 時(shí)域平均的理論分析

為了便于理論分析，采用復(fù)正弦信號(hào)形式，數(shù)字信號(hào)表示為：

其中，ω0=2πf0／fs是歸一化角頻率，f0與fs分別是信號(hào)頻率與采樣頻率，φ是在［0，2π）上均勻分布的隨機(jī)相位。

在分段平均的情況下，每段數(shù)據(jù)可定義為：

各段數(shù)據(jù)之間可部分重疊或不重疊。R ＜N 時(shí)部分重疊，R=N 時(shí)不重疊。如部分重疊應(yīng)保證偏移長(zhǎng)度R大于噪聲的相關(guān)半徑。這樣，對(duì)高斯分布噪聲，各段之間仍可視為相互獨(dú)立。

時(shí)域平均表示為：

當(dāng)ω0R為2π的整數(shù)倍時(shí)，sl（n），l=0，…，L-1各段數(shù)據(jù)對(duì)于信號(hào)而言是同步平均的。

考慮到ω0R=2πRf0／fs=2πRTs／T0（其中Ts、T0分別為采樣間隔與信號(hào)周期），可以看出，只有當(dāng)平移的樣本長(zhǎng)度等于信號(hào)周期的整數(shù)倍時(shí)，信號(hào)同步平均。

當(dāng)Rf0／fs不是整數(shù)時(shí)，分段數(shù)據(jù)不能夠同相位平均。把Rf0／fs表示為一個(gè)整數(shù)k與一個(gè)小數(shù)Δ之和。

則式（3）表示為：

可見(jiàn)，當(dāng)Δ不為0時(shí)，引起時(shí)域平均增益的損失。歸一化增益表示為：

根據(jù)式（6）可以畫出歸一化增益與相位差、平均次數(shù)的關(guān)系，如圖1所示?？梢?jiàn)，相位差越大，平均次數(shù)越多，增益損失越大。如果能把相位差與平均次數(shù)控制在一定范圍之內(nèi)，可以得到較大的處理增益。但是在頻率未知的條件下，這很難做到。

2 基于相位補(bǔ)償?shù)臅r(shí)域平均原理

把式（4）代入式（2），得到

可以看出，在某一個(gè)時(shí)間序號(hào)n上，sl（n），l=0，…，L-1序列是未知量Δ的復(fù)正弦函數(shù)。對(duì)sl（n），l=0，…，L-1做FFT，得到

圖1 歸一化增益與相位差、平均次數(shù)的關(guān)系Fig.1 Normalized processing gain versus phase difference and averaging times

為了充分利用數(shù)據(jù)序列的能量，提高低信噪比下相位差估計(jì)能力，應(yīng)該對(duì)分段數(shù)據(jù)矩陣

的每列分別做FFT，幅度平均，再求峰值對(duì)應(yīng)的kmax。為了提高Δ的估計(jì)精度，可采用對(duì)sl（n）補(bǔ)零以后做FFT的方法［6］，或者對(duì)Sk（n）插值。

對(duì)式（7）兩端乘以e-j2πΔ^l以消除分段信號(hào)之間的相位差，得

再進(jìn)行時(shí)域平均，

就實(shí)現(xiàn)了對(duì)未知頻率周期信號(hào)分段相位不同步的相位差補(bǔ)償，達(dá)到了同相平均的目的。相位補(bǔ)償后時(shí)域同步平均達(dá)到了最大處理增益10lgL。

3 多頻率成分的情況

在周期信號(hào)中存在多個(gè)頻率成分時(shí)，由于分段引起不同頻率在各段之間的相位差一般是不同的，通過(guò)第2節(jié)方法只能估計(jì)較強(qiáng)信號(hào)的相位差Δ，相位補(bǔ)償后時(shí)域平均也只能加強(qiáng)該信號(hào)。為了解決多個(gè)頻率成分的問(wèn)題，我們采用自適應(yīng)notch濾波器法［7］，進(jìn)行循環(huán)處理。對(duì)于每次經(jīng)過(guò)相位補(bǔ)償和時(shí)域平均處理增強(qiáng)后的頻率成分，采用自適應(yīng)notch濾波技術(shù)從混合信號(hào)中消除該信號(hào)，然后重復(fù)第2節(jié)的處理，直到所有頻率成分都增強(qiáng)并提取出來(lái)。自適應(yīng)notch濾波器通過(guò)權(quán)值的自適應(yīng)調(diào)整，產(chǎn)生一個(gè)與頻率已知但相位和幅度未知的頻率分量完全相同的信號(hào)，從而把它消除掉，常用于自適應(yīng)干擾抵消中。多頻率分量周期信號(hào)的時(shí)域同步平均示意圖如圖2所示。

圖2 多頻率分量周期信號(hào)的時(shí)域同步平均示意圖Fig.2 Sketch map of time averaging with multi-frequency components periodical signal

4 計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證

通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了沒(méi)有噪聲和低信噪比情況下新方法的性能。

圖3 是沒(méi)有加噪聲情況下時(shí)域平均處理的結(jié)果。信號(hào)數(shù)字頻率0.065，信號(hào)長(zhǎng)度4 096點(diǎn)，每段長(zhǎng)度64點(diǎn)，重疊50%，共分127段。圖3（a）是第1段信號(hào)，可見(jiàn)信號(hào)長(zhǎng)度不是其周期的整數(shù)倍，直接時(shí)域平均僅使幅度增大到原來(lái)的2倍，如圖3（b）所示，基本上沒(méi)有起到增強(qiáng)信號(hào)的效果。采用本文方法估計(jì)相位差并補(bǔ)償后的時(shí)域同步平均結(jié)果如圖3（c）所示，可見(jiàn)使信號(hào)增大了127倍，增益與分段長(zhǎng)度一致，達(dá)到了最大增益。

圖3 單頻率周期信號(hào)的時(shí)域平均處理結(jié)果，無(wú)噪聲Fig.3 Time averaging result of single frequency periodical signal，without additive noise

圖4是低信噪比情況下時(shí)域同步平均增強(qiáng)微弱周期信號(hào)的結(jié)果，以2個(gè)頻率分量為例分析了新方法對(duì)多頻率分量周期信號(hào)的增強(qiáng)和檢測(cè)效果，信噪比-25dB。信號(hào)數(shù)字頻率分別為0.013和0.026，信號(hào)長(zhǎng)度15 000點(diǎn)，每段長(zhǎng)度256點(diǎn)，重疊50%，共分116段。在-25dB的低信噪比下，從時(shí)域波形已完全看不到信號(hào)，因此從頻域上來(lái)觀察。圖4（a）第1段信號(hào)的頻譜，由于信號(hào)太弱觀測(cè)不到信號(hào)。圖4（b）是采用新方法估計(jì)并補(bǔ)償相位差后時(shí)域同步平均增強(qiáng)的第1個(gè)頻率分量的頻譜，信號(hào)得到增強(qiáng)后有足夠的信噪比來(lái)估計(jì)頻率，為0.013。采用自適應(yīng)notch濾波器消除頻率為0.013的頻率分量后，對(duì)剩余信號(hào)繼續(xù)估計(jì)并補(bǔ)償相位差后同步平均，得到第2個(gè)頻率分量，如圖4（c）所示。圖4（d）給出了根據(jù)第一次時(shí)域同步平均后獲得頻率分量設(shè)計(jì)的自適應(yīng)notch濾波器，濾波器傳遞函數(shù)在信號(hào)頻率上有一個(gè)很深的凹口，原始輸入信號(hào)通過(guò)自適應(yīng)notch濾波后，消除了第1個(gè)頻率分量信號(hào)，只剩第2個(gè)頻率分量信號(hào)。圖4（e）是分段后未補(bǔ)償相位直接時(shí)域平均后信號(hào)的頻譜，看不到信號(hào)。仿真結(jié)果表明新方法處理多頻率分量周期信號(hào)也是有效的。

圖4 多頻率周期信號(hào)的時(shí)域平均處理結(jié)果，-25dBFig.4 Time averaging result of multi-frequency periodical signal，-25dB

5 結(jié)論

本文提出了一種基于分段數(shù)據(jù)相位差的估計(jì)與補(bǔ)償?shù)臅r(shí)域同步平均方法。該方法采用FFT 估計(jì)分段信號(hào)相鄰段之間的相位差并補(bǔ)償，使分段信號(hào)同步平均以提高信噪比。理論分析和計(jì)算機(jī)仿真表明，該方法能克服分段長(zhǎng)度不等于信號(hào)周期整數(shù)倍引起的平均效果急劇下降的問(wèn)題，可以取得最大平均增益，且計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基于頻率搜索的傳統(tǒng)方法。但該方法在處理多頻率分量周期信號(hào)時(shí)比較復(fù)雜，擬進(jìn)一步改進(jìn)。

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