高校概率統計課程教學方法的探討與實踐

楊習清，周生偉，薛自學

(甘肅農業大學理學院，甘肅蘭州730070)

概率統計是研究隨機現象及其規律的一門學科，是大學數學中的一門重要公共基礎課。概率統計的理論和方法已經廣泛應用于工業、農業、軍事和科學技術中，所以該課程是大學所有數學課程中與生活實際結合最為緊密的課程之一［1，2］。

傳統的教學方法側重于講解概率統計的概念、公式、性質和計算，學生普遍反映概率統計課程概念多、知識抽象、計算復雜，學習起來有難度［3］。所以，筆者結合多年的實際教學，根據該課程自身的特點，認為在教學過程中，不僅要教會學生基本概念和基本計算公式，而且還需要培養學生的數學思維能力和運用概率統計的方法解決簡單實際問題的能力。

一、注意概念教學與數學史結合

概率統計中的許多概念都是從大量的實際問題中抽象、總結出來的數學本質，有著深刻的實際背景［4］。因此，在講授重要概念時，應從概念的本質入手，揭示它的來源背景，可以介紹這個概念的相關數學歷史或著名人物，從而激發學生的學習興趣。比如在講解離散隨機變量常見分布中的二項分布時，要說明二項分布本質上來源于n重伯努利試驗，這時可以給學生講數學家伯努利的故事，他不僅在概率統計中有著卓越的貢獻，而且在極限理論中也有重要的貢獻。另外，可以選講他和數學家洛必達的趣聞軼事，這樣能增強學生的學習興趣，進而掌握抽象的數學概念。再比如在講解事件概率的定義時，這個概念非常抽象，學生不好理解，教師可以通過事件發生的頻率引入概率，指明歷史上有德摩根、K皮爾遜等數學家做過拋硬幣的試驗，得到了頻率具有穩定性，進而講解概率的統計性定義，接下來再講解概率的公理化定義。

二、注重多種教學方法的結合使用

傳統的教學方式，主要是板書加講授，灌輸式講解，學生學起來覺得枯燥、無味，進而對該課程失去學習興趣。根據多年的教學經驗，在概率統計的教學中，可以將啟發式教學、口訣式教學、聯想式教學結合起來使用。

1．啟發式教學 在講解某些內容時，可以通過設置一些疑問、反問，引導學生理解課程中的重要知識點，讓學生自己探索某個問題的緣由與本質。比如在講第四章隨機變量的數字特征中，第二節“方差”的概念時，以課堂語言的形式給出這節課的開篇語言:“我們在上一節課中學習了隨機變量的數學期望，大家明白了數學期望實際上反映了隨機變量取值的平均程度，那么，如果現在有兩個隨機變量，分別表示兩批次的棉花的質量，而且它們的數學期望相等，怎么確定哪個批次的棉花質量更好呢?”顯然，僅僅從數學期望的角度無法分辨它們的好壞。接下來再問:“我們用什么樣的標準能夠刻畫棉花質量的好壞呢?這就是我們今天要講到的一個新的概念——隨機變量的方差。”通過這段引言，學生明白了學習隨機變量的方差的必要性，而且還初步揭示了數學期望與方差的聯系。

2．口訣式教學 講課程內容中的重難點濃縮成口訣，利用學生熟悉的語言和喜愛的方式，使深奧的知識變得生動有趣，讀起來朗朗上口，便于學生理解和記憶。比如講第二章一維隨機變量函數的分布時，根據離散型隨機變量和連續型隨機變量各自的特點，總結出如下口訣:“離散先列表，連續后求導;分布要分段，積分畫圖算。”實際上，隨機變量函數的分布這個知識點，學生感覺很難學好，這個口訣揭示了該知識點的核心思想。首先第一句離散型隨機變量函數的分布律本質是要先求取值，再求概率，連續型隨機變量函數的密度本質是要先求分布函數，再求導得到密度;第二句話說明求分布函數時，首要是要先對自變量分段討論，強調討論過程中的難點是積分，為了解決這個難點，方法是結合數軸，畫圖形求交集，最后積分得到分布函數。再比如在講到數理統計的抽樣分布中的三大分布時，為了方便學生記憶，可以用這個口訣:“正太方和卡方出，卡方相除變F，若想得到t分布，一正一卡再相除”。它非常形象的描述了3個分布的特點與區別。還有在講到參數估計中的矩估計和最大似然估計時，有如下口訣:“樣本總體互相換，矩法估計很簡單;似然函數分開算，對數求導得零蛋。”這個口訣中第一句說明了矩估計法的利用樣本矩估計總體矩的基本思想，也隱含了解題步驟;第二句話強調了最大似然估計方法中的核心就是寫出樣本的似然函數，它由樣本唯一確定，還點明求最大似然估計的落腳點在于求對數似然函數的駐點。

3．聯想式教學 概率統計是一門邏輯性很強的課程，前后各章節的知識點有很緊密的聯系。在教學過程中，可以把相互有聯系的知識點串聯起來，以點帶面，提高學生的學習效率。比如在講多維離散型隨機變量的聯合分布律時，可以聯想到一維離散型隨機變量的分布律，其本質是:先求取值，再求概率。再比如講兩個隨機變量的相關性時，可以聯想到兩個隨機變量的獨立性，總結出:“獨立一定不相關，不相關未必獨立的結論”。而且還可以追問:“不相關在什么條件下是相互獨立的呢?”再得到在二維正態分布的條件下不相關的隨機變量是相互獨立的。

三、理論教學與數學建模思想的融合

因為概率統計的理論教學顯得比較枯燥難懂，所以在理論教學的同時，可以選擇合適的實際問題和應用性問題，體現數學建模的思想。比如生日問題可以歸結為n球入m盒問題，福利彩票中獎問題轉換為無放回的摸球問題，還有工程中產品質量的評價問題，醫學中新舊藥品治療效果的比較，國際乒聯對乒乓球比賽賽制的改革對中國隊的影響等問題。這些應用實例能使原本抽象、枯燥的理論知識變得具體，而且更加貼近學生的實際生活，激發了學生的學習興趣。

四、將數學軟件Matlab引入課堂教學

Matlab語言的產生是與數學計算緊密聯系在一起的。20世紀80年代，美國新墨西哥州大學計算機主任Cleve Moler組建了MathWorks軟件開發公司，進行Matlab(Matrix Laboratory)語言的研究與開發。經過幾十年的研究與不斷完善，Matlab現在已成為國際上最流行的科學計算軟件工具之一，現在的Matlab已經不僅僅是一個簡單的“矩陣實驗室”，它還能進行豐富多彩的圖形圖像處理、多媒體、符號運算和其他流行軟件接口，功能也越來越強大。Matlab語言已經發展成為一種具有廣泛應用前景、全新的計算機高級編程語言，可以說它是“第四代”計算機語言。自20世紀90年代以來，西方各高校陸續將Matlab正式列入研究生和本科生的教學計劃，Matlab軟件已經成為數值計算、數理統計、信號處理、時間序列分析、動態系統仿真等課程的基本教學工具，成為學生必須掌握的基本軟件之一。

從教學過程中看到，學生覺得概率統計很抽象，有些地方難以理解透徹，而Matlab軟件的強大功能可以使該課程中的某些復雜計算，復雜題型簡單化［6］，所以將Matlab引入概率統計的教學過程中，能起到事半功倍的效果。

例如，在講二項分布的分布律時，除了理解它的本質，還可以通過Matlab給出分布律的直觀圖形，設隨機變量X·B(20，0．2)，可以用下列方法得到X的分布律的圖形。在matlab命令窗口輸入:

＞＞x=0:20;

＞ ＞ y=binopdf(x，20，0．4);

＞ ＞ plot(x，y，＇* ＇)

圖1 二項分布的分布律圖形

如圖1所示。再比如在學習隨機變量的數字特征時，介紹了數學期望、方差的計算方法后，可以再用Matlab實現計算過程，可以使學生體會數學軟件的強大與方便，提高學生的學習數學甚至計算機軟件的興趣。設隨機變量X的分布律如表1:

表1 X的分布律

要求 E(X)，E(X2)，E(3X2+5)，D(X)，在matlab命令窗口輸入:

＞ ＞ x=［-2，0，2］;

＞ ＞ p=［0．4，0．3，0．3］;

＞ ＞ ex=sum(x．*p)

ex=-0．2000，所以 E(X)=-0．2

＞ ＞ ex2=sum(x．^2．*p)

ex2=2．8000，所以 E(X2)=2．8

＞ ＞ ex3=sum((3*x．^2+5)．*p)

ex3=13．4000，所以 E(3X2+5)=13．4

＞＞dx=ex2-ex^2

dx=2．7600，所以 D(X)=2．76

在概率統計的教學過程中，教師應該根據該課程本身的特點，有意識地引導、啟發、培養學生利用隨機性的思想學習、理解所學內容，進而掌握解決問題的能力。而且，概率統計是在解決各種實際問題的實踐中發展起來的，具有豐富的實際應用背景，教師在教學時要盡可能地為學生提供問題的實際環境，這樣，學生理解起來會更加簡單直觀。

［1］ 盛驟，謝式千．潘承毅．概率論與數理統計［M］．北京:高等教育出版社，2008．

［2］ 張德豐．Matlab概率與數理統計分析［M］．北京:機械工業出版社，2010．

［3］ 徐群芳．《概率論與數理統計》課程教學的探索與實踐［J］．大學數學，2010(26):10-13．

［4］ 彭曉華．改進教學方法培養學生良好的學習習慣和創新能力［J］．大學數學，2014(20):23-25．

［5］ 李國安．直覺引導在概率統計課堂教學中的應用［J］．大學數學，3013(29):141-143．

［6］ 龍春濤．運用Matlab的統計實驗寓于概率統計教學的探索與實踐［J］．新疆師范大學學報:自然科學版，2009(28):79-81．