淺談斜交橋蓋梁坡度的問題

李紅兵

（鄭州市市政工程勘測設計研究院，河南鄭州 450046）

0 前言

在橋梁工程設計中，經常會遇到橋梁斜交的情況，橫坡為i%，縱坡為j%，斜交角為α，見圖1。

圖1 蓋梁中心線與道路中心線斜交示意圖

這時，一般思路是，求出同一蓋梁下某根柱（樁）對應的中心樁號，通過縱坡j%來求出該樁號的中心橋面標高，然后通過橫坡i%來求出該柱（樁）的實際橋面標高，再減去鋪裝厚度、梁高、支座及墊石、蓋梁高得出柱（樁）頂標高。同理，求出另一根柱（樁）的標高。最后根據兩個柱（樁）頂標高及兩柱（樁）間的距離推算出蓋梁坡度。更有不勝其煩者，會推算出同一蓋梁下的所有柱（樁）頂標高，以至于蓋梁在豎直面上是一條彎折線。

上述方法不僅設計起來麻煩，施工時也很麻煩。下面根據簡單推導來得出斜交橋蓋梁實際坡度的公式。

1 公式推導

（1）蓋梁在道路中心線上的投影范圍內縱坡不變。

首先建立斜坐標系。x 軸沿道路中心線，y 軸沿蓋梁中心線，z 軸垂直橋面向上。x 軸與y 軸角度等于90 °-α，x 軸與z 軸角度等于90 °，y 軸與z 軸角度等于90°，見圖2。

圖2 根據斜交蓋梁建立的三維斜坐標系

在 x -z 平面內，Δzx=Δx ×j

在 x -y 平面內，Δx=Δy ×sinα

代入得到 Δ zx=Δy×sinα×j

在 y -z 平面內，Δzy=Δy ×cosα×i

由于Δzx與Δzy 均為同軸內，可以直接作加減法，則

上式左邊的分子為高差，分母為沿蓋梁中心線距離，相除即為蓋梁的實際坡度，以k 表示，得

式中：k——蓋梁的實際坡度；

α——橋梁斜交角；

j——道路中心線的縱坡；

i——橋面橫坡。

符號規定：沿蓋梁方向，i，j 符號相同為 +，i，j符號相反為-。

從式（1）中可以看出，蓋梁的實際坡度在橫坡i 及縱坡j 不變的情況下是一個定值。但在實際工程中，路線設計時經常把變坡點設置在橋梁范圍內，特別是一些中小橋，這樣蓋梁在道路中心線上的投影范圍內縱坡j 就不是一個定值，顯然式（1）也不能簡單應用于計算此類情況下蓋梁的實際坡度。

（2）蓋梁在道路中心線上的投影在豎曲線范圍內（見圖3）。

圖3 蓋梁在道路中心線上的投影在豎曲線范圍內示意圖

假設豎曲線兩邊坡度分別為j1%、j2%，圓曲線半徑為R，坡度線1 的豎直角為，豎曲線上任意一點x 的切線與坡度線1 之間的夾角為，見圖4。

圖4 豎曲線上任意點幾何示意圖

tanγ=j1%，由于城市道路設計規范要求最大縱坡一般不大于4%，即j1%＜0.04，根據高等數學里微分的近似公式，當 γ 非常小時，tanγ=γ，即 γ =j1。

設定蓋梁兩端對應道路中心樁號距豎曲線起點樁號分別為x1，x（2小注：根據幾何求解，在x1，x2相對曲線半徑R 不在一個量級且縱坡j 非常小的前提下，x1，x2可近似等于在豎曲線上距豎曲線起（終）點的弧長。）則蓋梁兩端的實際坡度分別為k1，k2得：

兩式相加除2，也即是蓋梁中心的實際坡度為

式中：L——蓋梁長度；

α——橋梁斜交角；

ΔH——誤差；

R——豎曲線半徑。

以一個蓋梁長20 m，橋梁斜交角為15°，豎曲線半徑為2 000 m 為例，以蓋梁中心處的實際坡度來模擬整片蓋梁的誤差不到±7 mm，誤差在厘米級以下。

因此，遇到蓋梁在橋梁中心線上的投影在豎曲線范圍內的情況，計算蓋梁的實際坡度時，可以先根據式（2）計算出誤差，若誤差相較橋面鋪裝厚度很小甚至可以忽略不計，完全可以用蓋梁中心線的實際坡度作為整片蓋梁的實際坡度，具體施工時用橋面鋪裝來調整蓋梁形成的誤差。

2 結語

在求斜交橋的蓋梁坡度時，先確定蓋梁兩端在道路中心線的投影范圍，若該范圍的縱坡為一個定值，則該片蓋梁的實際坡度也是一個定值，可以直接通過公式k=sinα×j ±cosα×i 來計算，并根據計算出的蓋梁實際坡度推出各柱（樁）的頂標高。若該范圍在豎曲線內，縱坡不是一個定值，則先根據公式來計算誤差，若誤差相較橋面鋪裝厚度很小甚至可以忽略不計，則先確定蓋梁中心對應道路中心樁號，求出該中心樁號的縱坡jm，也就是該中心樁號在縱斷面豎曲線上的切線的豎直角的正切值（注意縱斷面的比例）。將縱坡jm代入k=sinα×jm±cosα×i 求出整片蓋梁的實際坡度，并根據蓋梁中心對應道路中心樁號的橋面標高推算蓋梁中心高程，最后按蓋梁的實際坡度推算各柱（樁）頂標高。

[1] CJJ 37-2012,城市道路工程設計規范[S].

[2] JTG D60-2004,公路橋涵通用規范[S].

[3] JTG D62-2004,公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范[S].

[4] 同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京:高等教育出版社,2007.