無窮小（大）量分析與正項級數斂散性

張現強 武同雁

（西南財經大學天府學院，四川 綿陽 621000）

0 引言

從有限到無窮是初等數學進入高等數學的一個重要標志，而要處理關于與無窮相關的問題必然離不開極限這個重要工具。極限是高等數學特別是微積分中最基本、最重要的概念之一。

在《高等數學》級數這一部分內容的學習中，極限也同樣是一個非常重要的工具。首先，級數的斂散性是通過其前n項和的極限是否存在來定義的；其次，級數收斂的必要條件是通項的極限，即un是一個無窮小量；還有后面正項級數斂散性的各種判定方法也與極限有關。

這里，我們重點討論一下正項級數的比較判別法。在教學中發現，這種方法學生掌握起來比較困難，不知如何下手去找作為參考的級數。在此，我們介紹通過無窮小（大）量分析的方法，利用階的估計來尋找參考級數，從而判斷級數的斂散性，方法簡單實用。

1 一般教材中介紹的比較判別法的兩種形式

簡單來說就是“大的收斂，小的也收斂；小的發散，大的也發散”。這樣，我們在說明一個級數un收斂時，就需要把其通項un適當放大到vn，使得級數vn是一個收斂級數；而要說明級數un發散時，就需要把其通項un適當縮小到vn，使得級數vn是一個發散級數。這時要求我們必須把握好放大或縮小的“度”，這一般來說并不容易。于是，又有了比較判別法的另一種形式：

（1）的斂散性已知；（2）的值要能確定。

針對這兩個依據，我們可通過對通項un的無窮小量的階數來分析，求取一個適當的參考級數。

2 無窮小量（或無窮大量）分析方法

2.1 分析un的分母的無窮大的階來求取vn

當un的分子分母都為無窮大量時，通過綜合分析確定un的無窮小量的階，從而求取vn

下面舉例來說明：

例1 判定下列級數的斂散性

上述級數通項un的分母的無窮大的階數分別為（1）是3階，（2）是1階，（3）是2階，所求取的參考級數的通項vn分別可取，從而（1）（3）收斂，（2）發散。

命題1 指數函數ax(a＞1)是x→+∞時的無窮階無窮大量。

證明 取n階無窮大量xn(x→+∞)，這時有

無論n為多么大的一個正數，都有上述極限成立。因此指數函數ax(a＞1)的階比無論多么高階的無窮大量xn的階都還要高，是無窮階無窮大量。

[注記] 指數函數a-x(a＞1)是x→+∞時的無窮階無窮小量。

命題2 對數函數ln x是x→+∞時的零階無窮大量。

更進一步，有

(ln n)k?nα?an?n！ ?nn(k,α＞0,a＞1,?表示遠遠小于)

例2 判定下列級數的斂散性

（1）中由于3n是無窮階無窮大量，無窮大階遠高于n的1階，較3n之趨于無窮大，n可忽略不計，因此只取；級數收斂。 （2）中由于ln n是零階無窮大量（雖是零階，但畢竟是無窮大量！），任何α階無窮大量nα(α＞0)的階都比它的階高，在此不妨考慮為，因此取vn=即可；從而此級數收斂。（3）中考慮ln n與同階不能判別其斂散性，α必須小于，不妨考慮為，因此取，此級數收斂。

2.2 利用等價無窮小代換求取vn

利用un的等價無窮小作為vn，此時斂散性與對應一致。

參考級數的通項vn分別可取成un的等價無窮小為（1）

3 結束語

借助于極限，掌握了無窮小量階數的分析，在利用比較判別法判定級數的斂散性時就可以很快的找到作比較的級數從而做出判斷，此方法簡單有效。

［1］龔德恩.經濟數學基礎（第一分冊 微積分）[M].成都：四川人民出版社,2005.

［2］王國政,王婷.微積分（下）[M].成都：西南財經大學出版社,2009：65-69.

［3］尹遜波,楊果俅.全國大學生數學競賽輔導教程[M].2版.哈爾濱工業大學出版社,2013：35-36.