矩陣分塊法的應用

郝玉芹

（唐山學院 基礎教學部，河北 唐山063000）

《線性代數》大都介紹了矩陣分塊法理論，但對其應用卻涉及較少。本文將利用矩陣分塊法理論對矩陣進行分塊，或構造相關的分塊矩陣，探討此理論在解題中的應用。

1 利用矩陣分塊法證明矩陣有相同的特征值

例1 設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則AB與BA有相同的非零特征根。

（1）式與（2）式等號兩邊分別取行列式后的兩式左端相等，從而右端也相等，即

由此可知，矩陣AB與BA的特征多項式相差一個λm－n因子，因而矩陣AB與BA非零特征值相同。證畢。

2 利用矩陣分塊法證明二次型的正定性

例2 如果二次型f1（x1，x2，…，xn）＝XTAX 是正定二次型，那么f（x，x，…，x）＝是負定二次型，212n其中

下面兩個命題是《線性代數》中常見的命題，本文將用矩陣分塊法證明它們。

3 利用矩陣分塊法證明行列式相等

例3 設A，B是任意n階矩陣，則｜AB｜＝｜A｜｜B｜［1］。

證明 以n階矩陣A，B，n階零矩陣O以及n階單位矩陣的負就矩陣－E構造分塊矩陣并用分塊矩

上式左邊為｜A｜｜B｜，右邊應用Laplace定理［2］選取n＋1～2n列展開得到：

4 利用矩陣分塊法證明矩陣秩的關系式

例4 設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，則R（AB）≥R（A）＋R（B）－n。

證明 以Am×n，－Bn×s，En，Om×s為子塊構造分塊矩陣乘矩陣Q，有

即R（AB）≥R（A）＋R（B）－n。證畢。

5 結語

通過對《線性代數》中幾個命題的證明可以看出，借助矩陣分塊法這個重要工具，可以簡化矩陣證明題的證明過程，突顯了此方法在矩陣證明過程中簡捷高效的特點，體現了矩陣分塊法這一工具的實用價值。

［1］ 同濟大學數學系.線性代數［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］ 華中理工大學數學系.線性代數［M］.北京：高等教育出版社，1999.