應(yīng)用中值定理驗(yàn)證中值等式的實(shí)例分析

汲守峰

（唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山063000）

應(yīng)用中值定理驗(yàn)證中值等式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是教學(xué)難點(diǎn)。內(nèi)容主要涉及連續(xù)函數(shù)的介值定理（零點(diǎn)定理）和微分中值定理，包括費(fèi)馬定理、羅爾定理（廣義羅爾中值定理）、拉格朗日定理、柯西定理［1］、泰勒定理及積分中值定理。另外，利用函數(shù)的單調(diào)性也可以討論與中值有關(guān)的問題。一般來(lái)說，討論中值的存在性需要用到介值定理、微分中值定理和積分中值定理；討論唯一性通常利用函數(shù)的單調(diào)性或反證法，微分中值定理和積分中值定理有時(shí)還可以用來(lái)求函數(shù)極限。以下將通過幾個(gè)典型的例題進(jìn)行分析。

1 利用廣義羅爾中值定理證明中值等式

例1 設(shè)函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上連續(xù)且可微，f（0）＝1，f（x）≤e－x，求證存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＝－e－x0。

證明 首先證明廣義羅爾中值定理。

設(shè)f（x）在區(qū)間［a，＋ ∞）（或（－ ∞，a］）上連續(xù)，在（a，＋∞）（或（－∞，a））內(nèi)可導(dǎo)，且f（x）＝f（a）（或f（x）＝f（a）），則至少存在一點(diǎn)ξ∈ （a，＋∞）（或ξ∈ （－∞，a）），使得f′（ξ）＝0）［1］。

僅在區(qū)間［a，＋∞）給出證明。

若f（x）＝f（a），x≥a時(shí)結(jié)論顯然成立。

設(shè)x0＞a，f（x0）≠f（a）（不妨設(shè)f（x0）＞f（a）時(shí)），由連續(xù)函數(shù)介值定理及f（x）存在且等于f（a）可知，存在x1（x1∈ （a，x0））與x2（x2＞x0），使得

函數(shù)f（x）當(dāng)x＞a時(shí)可導(dǎo)，對(duì)f（x）在［x1，x2］上應(yīng)用羅爾中值定理可知，存在ξ∈ ［x1，x2］（a，＋∞），使得f′（ξ）＝0。

本例中，設(shè)g（x）＝f（x）－e－x，由f（x）連續(xù)且可導(dǎo)知g（x）也連續(xù)可導(dǎo)，且g（0）＝f（0）－e－0＝0g（x）＝0，由廣義羅爾中值定理知，存在x0∈（a，＋∞），使得g′（x0）＝f′（x0）＋＝0，即f（x0）＝－.

2 利用微分中值定理證明中值等式

例2 設(shè)函數(shù)f（x）在［－2，2］上二階可導(dǎo)，且｜f（x）｜≤1，f′（0）＋［f′（0）］2＝4，證明在（－2，2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＋f″（x0）＝0。

證明 由拉格朗日中值定理可知，存在x1∈（－2，0），x2∈ （0，2），使得

f（0）－f（－2）＝2f′（x1），f（2）－f（0）＝2f′（x2）。

因?yàn)椋黤（x）｜≤1，所以

令 g（x）＝ f2（x）＋ ［f′（x）］2，則 ｜g（x1）｜≤ 2，｜g（x2）｜≤2，因?yàn)間（x）在［x1，x2］上連續(xù)，且g（0）＝4，若設(shè)g（x）在［x1，x2］上的最大值g（x）≥4，顯然，g（x）取最大值的點(diǎn)在（x1，x2）內(nèi)，即g（x0）＝g（x），又g（x）在［x1，x2］上可導(dǎo)，由費(fèi)馬定理可得g′（x0）＝0，即

由于g（x）≥4，可知f′（x0）≠0（若不然，f′（x0）＝0，則有g(shù)（x0）＝f2（x0）≥4｜f（x0）｜≥2，與｜f（x）｜≤1矛盾），于是f（x0）＋f″（x0）＝0，x0∈ （－2，2）。

例3 設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在［a，b］內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且g″（x）≠0，f（a）＝f（b）＝g（a）＝g（b）＝0。則以下結(jié)論成立：（1）g（x）≠0，x∈ （a，b）；（2）存在ξ∈ （a，b），使得

證明 （1）若存在c∈（a，b），g（c）＝0，由羅爾中值定理可 知，存在c1∈ （a，c），c2∈ （c，b），使得g′（c1）＝g′（c2）＝0，再由g（x）在［a，b］上存在二階導(dǎo)數(shù)，對(duì)g′（x）由羅爾中值定理可知，存在η∈（c1，c2），使g″（η）＝0，這與g″（x）≠0矛盾，故特設(shè)成立。

（2）令h（x）＝f（x）g′（x）－f′（x）g（x），由f（x），g（x）在［a，b］內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，所以h（x）在［a，b］上可導(dǎo)。又f（a）＝f（b）＝g（a）＝g（b）＝0，則h（a）＝h（b）＝0。

由羅爾中值定理可知，存在ξ∈ （a，b），使得h′（ξ）＝f″（ξ）g（ξ）－g″（ξ）f（ξ）＝0，由（1）及g″（x）≠0，得

例2和例3的證明除了對(duì)微分中值定理能夠熟練運(yùn)用外，根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)也是非常關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)，構(gòu)造的函數(shù)既要符合在區(qū)間上連續(xù)與可導(dǎo)的性質(zhì)，還要求其一階導(dǎo)數(shù)能與結(jié)論中的函數(shù)相吻合。一般來(lái)講，可直接根據(jù)結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，也有部分題目中并未明確構(gòu)造的函數(shù)類型，構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)需要一定的技巧，但也有規(guī)律可循。

3 利用積分中值定理證明中值等式

例4 設(shè)函數(shù)f（x）在［0，1］上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f（1）＝f（x）dx（c＞1），證明至少存在一點(diǎn)ξ∈ （0，1），使得f′（ξ）＝ （1－ξ－1）f（ξ）。

因?yàn)閑1－ξ0，所以f′（ξ）＝ （1－ξ－1）f（ξ）。

利用積分中值定理去驗(yàn)證中值等式時(shí)，也可以用積分中值定理的推廣形式［3］：

函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，而在x＝a及x＝b為第一類間斷點(diǎn)，或只有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)而另一間斷點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)，則在（a，b）上至少存在一點(diǎn)ξ，使f（x）dx＝f（ξ）（b－a）。

4 利用單調(diào)性或反證法討論中值的唯一性

例5 設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，證明f（x）的任何兩個(gè)不同的零點(diǎn)之間一定有函數(shù)f（x）＋f′（x）的一個(gè)零點(diǎn)，并由此證明方程（x－2）ln（x－1）＋＝0在（1，3）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。

證明 假設(shè)f（x）在（a，b）上任意兩個(gè)不同的零點(diǎn)為x1，x2（x1＜x2），即f（x1）＝f（x2）＝0，由f（x）＋f′（x）＝0，解該微分方程得f（x）＝Ce－x（C為任意常數(shù)），構(gòu)造函數(shù)令g（x）＝exf（x），則函數(shù)g（x）在［x1，x2］上連續(xù)，在（x1，x2）上可導(dǎo)，且g（x1）＝g（x2）＝0，由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈ （x1，x2），使得g′（ξ）＝0，即ex（f（ξ）＋f′（ξ））＝0，也就是f（ξ）＋f′（ξ）＝0。

構(gòu)造函數(shù)f（x）＝ （x－3）ln（x－1），則f′（x）＝ln（x－1）＋，f（1）＝f（3）＝0，且f（x）在（1，3）內(nèi)可導(dǎo)，x＝11，x2＝3是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，由前面所證結(jié)論可知，在（1，3）內(nèi)一定存在f（x）＋f′（x）＝ （x－2）ln（x－1）＋的一個(gè)零點(diǎn)，即方程（x－2）ln（x－1）＋＝0在（1，3）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

所以g（x）在（1，3）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，因此方程g（x）＝0在（1，3）內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)根，方程（x－2）ln（x－1）＋＝0在（1，3）內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)根。

5 結(jié)語(yǔ)

介值定理、中值定理不僅可以用來(lái)驗(yàn)證中值等式，而且還可以證明一些不等式方程。驗(yàn)證中值的唯一性時(shí)除了單調(diào)性外還可以用反證法等方法。

［1］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007：136.

［2］ 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義［M］.北京：高等教育出版社，2004：212－213.

［3］ 王海玲.微分中值定理的推廣及應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2003（3）：81－85.