兩邊空間分數階反常擴散方程的一種有限差分解法

馬亮亮，劉冬兵

（攀枝花學院 數學與計算機學院，四川 攀枝花617000）

0 引言

反常擴散現象在自然科學和社會科學中大量存在，如污染物在土壤中的遷移、石油滲流、地下水傳輸、湍流等［1－2］，這些擴散現象由于不滿足經典的Fick梯度擴散率，因而被稱為反常擴散［3－5］。

反常擴散過程本質上是時間上有記憶性和空間非局限性的過程，與整數階導數定義相比，分數階反常擴散方程能夠更準確地描述反常擴散過程［5－17］。因此，對分數階反常擴散方程進行數值求解有著十分重要的意義。

本文考慮如下兩邊空間分數階反常擴散方程的混合問題：

其中1＜α≤2，d＋（x，t）和d－（x，t）是非負的有界函數，為 Riemann－Liouville分數階導數［18］：

其中0≤n－1＜α＜n（n是整數），Γ（·）是伽馬函數。

兩邊空間分數階反常擴散方程（1）是一種反常擴散，能夠較精確地描述有記憶和遺傳、路徑依賴性質的物理過程。關于這類問題的數值解法，馬維元等對兩邊空間－時間分數階擴散方程進行了加權有限差分求解［19］。另外，Meerschaert等分別對單邊對流擴散和雙邊隨流擴散方程進行了Grünwald－Letnikov改進型差分求解［20－21］，蘇麗娟等給出了雙邊空間分數階對流擴散方程的一種有限差分解法［22］。本文根據移位Grünwald－Letnikov公式，將給出方程（1）的隱式有限差分格式，并分析其穩定性。

1 有限差分格式的建立

做網格剖分，令τ和h分別為時間和空間步長，xi＝L＋ih，i＝ 0，1，2，…，N，h ＝；t＝ kτ，k ＝ 0，1，2，…，kM，τ＝。

把式（2）－（4）代入（1），可得到方程（1）對應的隱式差分格式：

2 穩定性和收斂性分析

引理1 當1＜α≤2時，gj（j＝0，1，2，3，…）具有如下性質：

引理2 （Lax等價定理）給定一個適定的線性初值問題以及與其相容的差分格式，則差分格式的穩定性是差分格式收斂的充分必要條件。

引理3 （Gerschgorin定理）設 A ＝ （ai，j）n×n，記rt＝稱復平面上的圓域Gi＝ ｛z｜｜z－ai，j｜≤ri，Z∈C｝（i＝0，1，2，…，N）為矩陣A的第i個Gerschgorin圓，稱ri為Gerschgorin圓Gi的半徑。此時矩陣A∈Cn×n的全體特征值都在它的N＋1個Gerschgorin圓構成的并集之中。

定理1 由式（5）定義的隱式差分格式是無條件穩定的。

證明 將式（5）寫成矩陣的形式：AUk＋1＝Uk＋τFk＋1，其中 Uk＝，…，］T，Fk＝ ［，…，］T，A ＝（ai，j）（i，j＝0，1，2，…，N）為系數矩陣，其元素ai，j的定義如下：

根據引理1和引理3，矩陣A的特征值在以ai，j＝1－（?＋φ）g1＝1＋（?＋φ）α為中心，以≤ （?＋φ）α為半徑的圓盤上。故有λ（A）≥ai，i－ri≥1，從而0＜λ（A－1）≤1，所以由式（5）定義的隱式差分格式是無條件穩定的。再由引理2得該方法收斂。

推論1 差分格式（5）的局部截斷誤差為O（τ＋h）。

推論2 在方程（1）中，當d＋（x，t）變為d＋（x），d－（x，t）變為d－（x）時，定理1的結論依然成立。

推論3 差分格式（5）可推廣應用到其他邊界條件，如u（L，t）＝0，u（R，t）＋v＝p（t），v≥0，0≤t≤T。

3 數值例子

考慮如下兩邊空間分數階反常擴散方程

其中d＋（x，t）＝Γ（0.2）x0.8，d－（x，t）＝ 5Γ（0.2）（1－x）1.8，f（x，t）＝－（1＋x）（1＋4t2）x3。此方程有精確解：u（x，t）＝ （1＋4t2）x3。

取定時間步長τ＝0.000 1，空間步長h＝0.02。圖1是在t＝0.01時刻由隱式差分格式（5）計算得到的數值解與精確解的比較圖，可以看出數值解收斂于精確解。圖2是隱式差分格式（5）計算得到的數值解與空間軸、時間軸之間的三維立體圖。

4 結論

本文考慮了兩邊空間分數階反常擴散方程的數值逼近問題，利用移位Grünwald－Letnikov公式對空間分數階導數進行離散，構造出了一種計算有效的隱式差分格式，并證明了該差分格式是無條件穩定和收斂的，且具有收斂階。最后，為了進一步說明文中構造的差分格式是有效的，我們通過數值例子將差分格式得到的數值解與精確解進行了比較，結果表明：差分格式的數值解收斂于精確解，因此文中構造的差分格式是有效的［23－25］。

圖1 數值解與精確解比較圖

圖2 三維立體圖

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