金融時間序列中同積向量的充分改進最小二乘估計研究

曹 瀟

（西北政法大學 經濟管理學院，西安710100）

在金融資產價格波動研究中，同積過程｛yt｝的同積向量往往是未知的，需由觀察到的樣本估計得到。現有文獻對同積向量的最小二乘估計、估計量的極限分布和對同積向量的假設檢驗進行了研究［1－3］，但是沒有考慮矩陣∑21不為零時的情形，統計量T（＾γT－γ）的極限分布是非標準的。本文將研究同積向量的充分改進的最小二乘估計方法，旨在克服這一困難。這一研究可以為實際的微觀金融資產波動分析提供有力的工具。

1 同積向量的最小二乘估計

若n維隨機向量同積，并有同積向量a，那么a可由最小二乘法一致地估計得到。為說明最小二乘法的合理性，作以下考慮。a為yt的同積向量，因此zt＝a′yt為一單變量I（0）的過程。

但是，若a不是yt的同積向量，那么zt＝a′yt仍為I（1）變量，此時可得

式（1）中，T為樣本量，W（r）是標準維納過程，r∈ ［0，1］。令Λ＝Ψ（1）P，Ψ（L）為無窮階滯后多項式，Λ決定于Δyt的自相關系數矩陣。（1）式是一正定的二次型，從而有

因此，只要ｙｔ是同積的，并有同積向量ａ，以下最優問題

的解a，即A的最小二乘估計，是同積向量的一致估計。

同積向量的最小估計通常在同積過程的三角表示形式中進行。同積過程｛yt｝的三角表示形式為：

這里，y1t為單變量隨機變量，y2t為（n－1）維隨機向量。現有文獻給出了參數α和γ的最小二乘估計。

2 充分改進的最小二乘估計

同積向量的充分改進的最小二乘估計（fully modified OLS），簡稱改進的OLS。考慮同積系統的三角表示形式：

（u1t，u2t）′有表示形式＝ Ψ（L）ε，其中，Ψ（L）為無窮階滯后多項式，｛εt｝獨立同分布，E（εt）＝0，D（εt）＝E）＝ Ω＝PP′。令Λ ＝ Ψ（1）P，則有：

若∑21不為零，構造將其從y1t中減去，可得修改后的同積系統為＝α＋＋，其中其中的矩陣L′對中的參數作估計，得最小二乘估計＾α＋T和＾γ＋T，

其中，W（r）為n維標準維納過程，參數δ＋的表示式：

方差矩陣∑可由下式

3 結論

綜上分析，構造充分改進的最小二乘估計＾α＋＋T和＾γ＋＋T需要采取以下步驟：先以y1t對常數和y2t作回歸，取得殘差＾u1t；然后用＾u1t和＾u2t構造估計量＾Γv和；對y1t作調整＝計算＾δ＋；最后用對常數和y2t作回歸，并將 T＾δ＋從（∑y2t＾y＋1t）中減去。

值得注意的是，以上的分析并不依賴于u1t和u2t的具體的參數結構，所以從這個意義上說，改進的OLS方法是一種非參數的方法，有助于充分的最小二乘估計。

［1］ 王志強.基于改進最小二乘支持向量機的最優解估計方法［J］.計算機與應用，2013（11）：27－28.

［2］ 程延強.廣義均方誤差標準下雙類估計優于最小二乘估計的充分條件［J］.中國科教創新導刊，2008（10）：21－23.

［3］ 楊旸.相依誤差下線性回歸模型最小二乘估計的相合性［J］.統計與決策，2014（4）：31－33.

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［5］ 尹小紅.線性模型廣義最小二乘估計的中偏差、重對數律與相對效率［J］.湖南文理學院學報：自然科學版，2013（3）：27－28.