裂隙巖體的三維非線性有限元分析

摘要：討論天然裂隙巖體的機(jī)械力學(xué)行為及力學(xué)問(wèn)題，建立了相應(yīng)的有限元格式，介紹了裂隙巖體剛度方程的建立及彈塑性狀態(tài)下的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系是非線性的表達(dá)式，闡述了非線性問(wèn)題的分類及解法。

關(guān)鍵詞：裂隙巖體；接觸單元；非線性問(wèn)題

工程巖體經(jīng)受過(guò)復(fù)雜的地質(zhì)作用后，其內(nèi)部存在不同規(guī)模、性質(zhì)各異的地質(zhì)結(jié)構(gòu)面（節(jié)理、裂隙、斷層等），使得巖體的結(jié)構(gòu)特征與力學(xué)性質(zhì)錯(cuò)綜復(fù)雜。一方面，不連續(xù)面的存在使得巖體介質(zhì)類型不同于其他任何一種力學(xué)材料。在進(jìn)行裂隙巖體力學(xué)問(wèn)題分析時(shí)，準(zhǔn)確選擇巖體力學(xué)模型成為必須解決的首要問(wèn)題。另一方面，巖體中的不連續(xù)面使得巖體性質(zhì)表現(xiàn)出不連續(xù)、非均勻、各向異性及尺寸效應(yīng)等特征。這就使得傳統(tǒng)彈性有限元法不能更好地模擬真實(shí)情況。

近年來(lái)，節(jié)理單元被廣泛應(yīng)用于模擬巖體中的斷層、剪切帶和不連續(xù)區(qū)域。在節(jié)理單元中，由于引入了巖石燕子節(jié)理的法向和切向的剛度，使得節(jié)理單元的應(yīng)用受到了一定的限制。這是因?yàn)閯偠认禂?shù)通常都是從野外實(shí)測(cè)得到的，測(cè)試存在困難和不確定性。Katona于1983年提出了一種不用剛度系數(shù)的簡(jiǎn)單接觸摩擦單元，它能模擬兩物體之間的滑動(dòng)摩擦、張開和閉合過(guò)程，適用于不計(jì)厚度影響的節(jié)理、斷層和位移不連續(xù)場(chǎng)的有限元分析。由于這種單元采用的是常接觸力二節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單單元，因而很難適應(yīng)接觸面復(fù)雜的問(wèn)題。同時(shí)，由于該單元選取節(jié)點(diǎn)接觸力作為基本未知量，接觸應(yīng)力是由接觸力平均得到的，這不僅降低了計(jì)算接觸應(yīng)力的精度，而且使得這種簡(jiǎn)單求應(yīng)力的方法很難推廣至三維問(wèn)題。雷曉燕于1994年在此基礎(chǔ)上提出了一種新的接觸摩擦單元。在這種單元中，直接選取節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力作為基本未知量，同時(shí)采用六節(jié)點(diǎn)的等參單元模擬接觸面復(fù)雜的幾何形狀。接觸單元的幾何和靜力約束是作為補(bǔ)充方程包含在剛度方程中的。運(yùn)用虛位移原理導(dǎo)出接觸摩擦問(wèn)題的等效單元?jiǎng)偠取s束矩陣和等效載荷向量。

1、非線性問(wèn)題的分類

引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生非線性變形的原因很多，大致可以分為三類：材料非線性問(wèn)題、幾何非線性問(wèn)題、狀態(tài)非線性問(wèn)題。

1）材料的非線性問(wèn)題：指材料的物理定律即其應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系是非線性的，但只考慮小位移和小應(yīng)變的情況，也就是指結(jié)構(gòu)整個(gè)幾何形狀的變化及結(jié)構(gòu)材料內(nèi)部的應(yīng)變與結(jié)構(gòu)尺寸相比，是無(wú)限小的，這樣可以忽略微元體的局部應(yīng)變。例如，計(jì)算應(yīng)力時(shí)可以采用原來(lái)的、未變形的微元體面積。至于應(yīng)變——位移關(guān)系則采用線性的應(yīng)變——位移關(guān)系式。各種小應(yīng)變、小位移問(wèn)題的結(jié)構(gòu)彈塑性分析及巖土工程中的問(wèn)題一般都屬于這一類。

2）幾何非線性問(wèn)題：雖然假設(shè)線性的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系，但非線性的應(yīng)變——位移關(guān)系和幾何形狀的有限變化卻引起幾何非線性問(wèn)題。大多數(shù)的幾何非線性問(wèn)題是小應(yīng)變和大位移，當(dāng)然，也包括大位移和大應(yīng)變的情況。

3）狀態(tài)非線性問(wèn)題：例如，一根只能拉伸的電纜可能是松弛的，也可能是張緊的；軸承套可能是接觸的，也可能是非接觸的；凍土可能是凍結(jié)的，也可能是非凍結(jié)的；巖土體中的斷層結(jié)構(gòu)面間相對(duì)運(yùn)動(dòng)。由于系統(tǒng)狀態(tài)的改變，從而引起系統(tǒng)的剛度在不同的值之間突然變化。狀態(tài)改變也許和載荷直接有關(guān)（如電纜情況），也可能由某種外部原因引起（如凍土情況）。

巖土體材料的一個(gè)重要特征是其應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系具有明顯的非線性性質(zhì)。因此，對(duì)于巖土體通常都按材料非線性問(wèn)題來(lái)考慮。材料非線性問(wèn)題又可以分為兩種情況：一種是非線性彈性問(wèn)題；另一種就是非線性彈塑性問(wèn)題，系材料超過(guò)屈服極限以后就呈現(xiàn)出非線性性質(zhì)，各種結(jié)構(gòu)和巖土介質(zhì)若采用彈塑性的本構(gòu)模型進(jìn)行分析就是這類問(wèn)題。在加載過(guò)程中，這兩種非線性問(wèn)題在本質(zhì)上相同，但是卸載過(guò)程就會(huì)出現(xiàn)不同的現(xiàn)象，非線性彈性問(wèn)題是可逆過(guò)程，卸載后結(jié)構(gòu)或介質(zhì)會(huì)恢復(fù)到加載前的位置，非線性彈塑性問(wèn)題是不可逆的，它將會(huì)出現(xiàn)殘余變形。

對(duì)于材料非線性問(wèn)題，由于應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系是非線性的，對(duì)于這類問(wèn)題的微分方程的求解在數(shù)學(xué)上有一定的困難。然而有限元法處理非線性問(wèn)題卻是十分有效的。用有限元法處理非線性問(wèn)題的基本思想是用一系列線性問(wèn)題的解來(lái)逐步逼近非線性問(wèn)題的解。因而，非線性問(wèn)題可以理解為一系列線性解進(jìn)行迭代過(guò)程的結(jié)果。

2材料非線性問(wèn)題的解法

用有限元解材料非線性問(wèn)題，通常采用三種基本的方法來(lái)解析，即增量法、迭代法以及增量迭代法（或混合法）。在說(shuō)明問(wèn)題時(shí)，可以只考慮單個(gè)單元的非線性平衡方程：

[k （δ）]e{δ}={R} （1）

這是是非線性出現(xiàn)在單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e 中，k [δ]e是非線性材料性質(zhì)[D （ε）]的函數(shù)。可以把[k]e 寫成[k]e =[k{δ}，{R}]的形式，因而[k]e 中的材料參數(shù)不再是常數(shù)。圖1中的載荷{R}與節(jié)點(diǎn)位移{δ}相對(duì)的非線性應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系。根據(jù)這個(gè)應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系或本構(gòu)關(guān)系，進(jìn)而確定非線性分析時(shí)變化的矩陣[D （ε）] 。本文主要介紹迭代法。

圖1 非線性的載荷——位移曲線圖

2.1常剛度迭代法

對(duì)于方程（1）：[k （δ）]e{δ}={R}，假設(shè)R= R0已知，則有限元解法的實(shí)質(zhì)就是在R-δ曲線與R= R0直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。為此可用試探法，如果已經(jīng)找到一個(gè)試探值δn，但不滿足式（1），如圖1所示，它在曲線上的縱坐標(biāo)值Rn低于R0值，用Pn（R n，δn）表示。現(xiàn)在可以通過(guò)點(diǎn)Pn（R n，δn）繪一條直線p，其斜率為kn ，則

kn （δn+1-δn ） = R0 - Rn （2）

這樣，直線p與R0 - Rn的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)δn+1就是一個(gè)改進(jìn)了的試探解。如果按δn+1 由式（1）計(jì)算得的Rn+1仍小于R0，就可以從 Pn+1（R n+1，δn+1）出發(fā)，重復(fù)前面過(guò)程，雙可以得到進(jìn)一步的改進(jìn)試探解R n+2。這樣，循環(huán)迭代，直到前后兩次的位移值接近為止（圖2）。

所謂常剛度，是指取kn=k0為某個(gè)常數(shù)，即在迭代時(shí)直線p的斜率不變，故稱為常剛度法。

圖2 常剛度迭代法圖

2.2割線變剛度迭代法

用一系列的割線，即直線p與R= R0直線的交點(diǎn)P1S，P2S，P3S，……取逐次逼近R-δ曲線與R= R0直線的交點(diǎn)PS時(shí)，這些直線p的斜率并不一定相同。如對(duì)第n條直線，其斜率為kn，則迭代的方程為

R0= Rn+Kn（δn+1-δn） （3）

因而，可得第n+1次近似解為

δn+1=δn+ kn （δn+1-δn） （4）

這里的割線剛度kn=kns= Rn /δn。其中，kns為從原點(diǎn)出發(fā)到所迭代時(shí)與曲線交點(diǎn)割母的斜率。因而這個(gè)過(guò)程稱為割線迭代法（圖3）。

圖3 割線變剛度迭代法圖

2.3 切線變剛度迭代法

變切線剛度的表達(dá)式可表示為

kn=kn’= （5）

這里kn在物理上代表切線剛度，因而這個(gè)過(guò)程稱為切線變剛度迭代法（圖4）。

圖4 切線變剛度迭代法圖

2.4 New-Raphson 法

對(duì)應(yīng)于非線性方程式（1），可以考慮一個(gè)非線性的初始試探解δ0，它與真實(shí)解δ*之差為一個(gè)小量，任何一個(gè)具有一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)Ψ（δ），在δ0附近光滑，則可按一階泰勒級(jí)數(shù)展開為

Ψ（δ）= Ψ（δ0）+ （δ-δ0）+…= 0 （6）

如僅取其線性項(xiàng)，則

Ψ（δ）= Ψ（δ0）+ （δ-δ0）= 0 （7）

所以，δ=δ0- （8）

這個(gè)迭代過(guò)程，直至在某個(gè)允許精度內(nèi) <ε。這種迭代方法就稱為New-Raphson 法，簡(jiǎn)稱N-R法。

3結(jié)語(yǔ)

節(jié)理、裂隙、斷層及軟弱夾層是地質(zhì)中常見(jiàn)的現(xiàn)象，并且它們都對(duì)巖體的強(qiáng)度和穩(wěn)定性有極大的影響。通常，對(duì)于工程巖體而言，有以下兩種處理方法：①把節(jié)理巖體視作不連續(xù)介質(zhì)，由巖石結(jié)構(gòu)體和結(jié)構(gòu)面組成，因此分別研究巖石和結(jié)構(gòu)面的力學(xué)性質(zhì)及巖石和結(jié)構(gòu)面共同作用時(shí)的耦合原理，這種方法的代表有離散無(wú)法、塊體理論和剛彈性法；②把節(jié)理巖體視作宏觀上的連續(xù)體，建立巖體的等效本構(gòu)關(guān)系，這種方法的代表有當(dāng)量體法、斷裂力學(xué)法和損傷力學(xué)法。本文根據(jù)巖體中含有節(jié)理、層理、斷層及軟弱夾層等不連續(xù)結(jié)構(gòu)面，研究了塑性有限元分析中常采用的迭代法的詳細(xì)過(guò)程。