非退化二階曲線內接完全四點形的性質

黃振華，周建新

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

非退化二階曲線內接完全四點形的性質

黃振華，周建新

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

一個完全四點形的邊上和完全四點形的對邊三點形的邊上都存在調和共軛點，討論了當完全四點形內接于一條非退化的二階曲線時，它的對邊三點形的邊上則有多組調和共軛點，從而存在對合點組，并且以它的頂點為切點的切線上也存在調和共軛點。

完全四點形;二階曲線;切線; 調和共軛;對合對應

1 基本概念和性質

定義1 平面上無三點共線的四個點及其每兩點連線所構成的圖形叫完全四點形。這四個點叫頂點，每兩點連線叫邊，沒有公共頂點的兩邊叫對邊，對邊的交點叫對邊點。一個完全四點形有三組對邊，有三個對邊點，三個對邊點構成一個三點形，叫這個三點形為完全四點形的對邊三點形。

定義2 如果一個完全四點形的四個頂點都在一條非退化的二階曲線上，則叫此完全四點形為二階曲線的內接完全四點形。

定理1[1]在完全四點形的每條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是頂點，另一對點偶里，一個點是對邊點，另一個點是這個邊與對邊三點形的邊的交點。

定理2[1]在完全四點形的對邊三點形的每條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是對邊點，另兩個點是這條邊與通過第三個對邊點的一組對邊的交點。

帕斯卡(Pascal)定理 對于任意內接于非退化二階曲線的一個簡單六點形，它的三對對邊的交點在一條直線上。這條直線稱為帕斯卡線。

2 二階曲線內接完全四點形的性質

定理3 內接于一條非退化二階曲線的完全四點形，一組對邊中每條邊上兩個頂點切線的交點與另兩個對邊點共線。

證明 i.如圖1 (a).

設完全四點形ABCD的四個頂點在非退化二階曲線上，一組對邊AC和BD每兩頂點切線的交點分別為R,S，另兩組對邊的對邊點為P,Q.將四點A,B,C,D重新編號P1,P2,P3,P4,P5,P6.

當P1,P6表示同一點A，P2表示點B，P3,P4表示同一點C，P5表示點D時，由帕斯卡定理，對于內接于非退化二階曲線的簡單六點形P1P2P3P4P5P6，可得P,Q,R三點共線；

當P1表示點A，P2,P3表示同一點B，P4表示點C，P5,P6表示同一點D時，由帕斯卡定理，對于內接于非退化二階曲線的簡單六點形P1P2P3P4P5P6，可得P,S,Q三點共線；所以，P,Q,R,S四點共線PQ.

ii.如圖1(b)

圖1 定理3示意圖

設完全四點形ABCD的四個頂點在非退化二階曲線上，一組對邊AD和BC每兩頂點切線的交點分別為R,S，另兩組對邊的對邊點為P,Q.將四點A,B,C,D重新編號P1,P2,P3,P4,P5,P6.

當P1表示點A，P2,P3表示同一點C，P4表示點D，P5,P6表示同一點B時，由帕斯卡定理，對于內接于非退化二階曲線的簡單六點形P1P2P3P4P5P6，可得Q,S,P三點共線；

當P1,P6表示同一點A，P2表示點C，P3,P4表示同一點D，P5表示點B時，由帕斯卡定理，對于內接于非退化二階曲線的簡單六點形P1P2P3P4P5P6，可得Q,P,R三點共線；所以，P,Q,R,S四點共線PQ.

iii. 如圖1(c)

設完全四點形ABCD的四個頂點在非退化二階曲線上，一組對邊AB和CD每兩頂點切線的交點分別為R,S，另兩組對邊的對邊點為P,Q.與ⅱ同理可得，P,Q,R,S四點共線PQ.

定理4 內接于一條非退化二階曲線的完全四點形，兩個對邊點與第三組對邊的每條邊上兩個頂點切線的交點調和共軛。

證明 如圖2

圖2 定理4示意圖

設完全四點形ABCD的四個頂點在一條非退化二階曲線上，P,Q是兩個對邊點，第三組對邊AC和BD每條邊上兩頂點切線的交點分別為R，S由定理3得，P,Q,R,S四點共線PQ，又設AC交BD于O，PQ交BD于H，CR交DS于M，即M為邊CD兩頂點切線的交點，由定理3得，M在直線OQ上；再設AD交CR于N，則C,M,N,R共線CR，所以有，

定理5 內接于一條非退化二階曲線的完全四點形的對邊三點形的每條邊上有一組對合點偶，其中一對點偶是兩個對邊點，另兩對點偶的每對中，一個點是這條邊與完全四點形第三組對邊中一條邊的交點，另一個點是完全四點形第三組對邊中另一條邊上兩頂點切線的交點。

證明 如圖3

圖3 定理5示意圖

定理6 內接于一條非退化二階曲線的完全四點形以一個頂點為切點的切線上有一組調和共軛點，其中兩個點是這個切點相鄰兩頂點切線與這條切線的交點，另一對點偶里，一個點是這個切點，另一個點是這個切點相鄰兩頂點所在邊與這條切線的交點。

圖4 定理6示意圖

[1]梅向明，劉增賢.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，2008.

[2]梅向明，劉增賢.高等幾何學習指導與習題選解[M].北京:高等教育出版社，2003.

[3]孟令江. 非退化二次曲線自共軛極線與極點的射影確定[J]. 河北大學學報(自然科學版)，2006，(2)：139～141.

Charactoristicofcompletequadrangleinscribedinsecondordercurve

HUANG Zhen-hua,ZHOU Jian-xin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

There are harmonic conjugate points on the edge of a complete quadrangle and its diagonal triangle. In this paper, we discussed about the circumstance when the complete quadrangle inscribed in a nondegenerate second order curve, there were multigroup harmonic conjugate points on the edge of its diagonal triangle. There are involution point groups and some harmonic conjugate points on tangent lines with the complete quadrangle's vertices as tangency point.

complete quadrangle; second order curve; tangent; harmonic conjugate; involutive correspondence

2014—07—02

黃振華(1960— )，男，湖北黃石人，副教授，主要研究方向為幾何教學與研究.

O185.1

A

1009-2714(2014)04- 0049- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.011