高中數學教學中的三角代換之妙用

三角函數是高中數學的重要內容，其中“三角代換”應用廣泛，變形靈活多樣。它利用三角函數的性質和一些基本三角公式將代數或幾何問題轉化成三角問題，進而靈活運用三角知識求解，達到化難為易、化繁為簡的目的，實質是換元思想，體現了“三角”是數學中的工具的特征。本文就三角代換在幾種題型中的妙用加以說明。

一、應用三角代換求最值

三角代換在求函數最值中是一種常用的方法。其實質是把求函數最值的問題利用三角函數知識進行合理替換，使之轉化成三角函數問題，將所給函數中的自變量用某個三角函數進行代換，并對代換后的式子適當變形，從而達到解題目的。

例1：求y=x+■的最大值。

解：不妨設x=sinα，α∈[-■，■]，

則變為y=sinα+cosα=■sin（α+■），

故ymax=■當且僅當α=■時，能取到最大值。

例2：求函數y=x-3-■的值域。

解：原函數可化為y=（x+3）-■■-6，

設x+3=tanα■=secα，α∈（-■，■），

y=tanα-■secα-6=■-6<0

（因為sinα≤1<■，cosα>0，所以，y<0），

sinα-（y+6）cosα=■，

■sin（α+β）=■，

■≤1，又y<0？圯y≤-7，

所以函數的值域是-∞

在進行三角代換求函數最值時，如何選擇代替函數變量的三角函數，以及代換后如何根據原函數限定所選三角函數中角的范圍是本題的重點。如對根式■或者■的形式，利用三角代換，將原無理函數轉化為三角函數，再利用三角函數的性質使問題獲解。

一般地，當變量的取值范圍是[-1，1]時，用正弦或余弦代換；當變量的取值范圍是（-∞，+∞）時，用正切或余切作代換等等，應根據具體問題作相應的三角代換。

對■，令X=αtanα，則■=|a|secα；

對■，令X=asecα，則■=|a|tanα；

對■，令X=acosα，則■=|a|sinα；即可將根式轉化為有理式。

二、利用三角代換證明不等式

將代數式通過三角代換，轉化為三角函數式，進而借助三角函數的有界性，或者運用數形結合的思想方法求解。

例3：若x2+y2=1，求證：-■≤x2+2xy-y2≤■

證明：令x=cosθ，y=sinθ，θ∈（0，2π），

∴x2+2xy-y2=cos2θ+2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ

=■sin（2θ+■），

∵θ∈（0，2π），∴sin（2θ+■）∈[-1，1]，

∴-■≤■sin（2θ+■）≤■，

即-■≤x2+2xy-y2≤■.

三、利用三角代換解定積分的有關問題

當被積函數含有根式時，積分的困難在于含有根式，如何化去根式成為許多學生的難點所在，用三角公式代入，將無理根式化為有理的三角函數的積分來解決。

例4：求下面的定積分■■dx.

解：令x=2sint，

■■dx=■2costd（2sint）=■4cos2tdt=■（1+cos2t）d（2t）=（2t+sin2t）■-■

=2π+sinπ-sin（-π）=2π.

總之，通過三角變換可以使上述題目化繁為簡，化難為易。但是三角代換時，要注意新變量與原變量間的取值范圍是否一致。