高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想的案例分析

近幾年的高考數(shù)學(xué)，已經(jīng)不單單是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與知識(shí)掌握，更加注重考查學(xué)生學(xué)以致用的能力和思維。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要把握好對(duì)學(xué)生解題技巧和解題思維的培養(yǎng)。化歸思想就是把原先復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行變化和轉(zhuǎn)化，最終能夠運(yùn)用自己熟悉的方法來(lái)解決，這種思想在數(shù)學(xué)中是非常重要的，它的靈活與多變，總是能夠讓高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的局面。本文重點(diǎn)通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)案例來(lái)闡述化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的重要應(yīng)用。

一、化歸思想方法的一般原則

化歸思想具有多項(xiàng)性、層次性和重復(fù)性的特點(diǎn)，為了實(shí)施有效化歸，一般應(yīng)遵循以下原則：

1.熟悉化原則

將復(fù)雜和陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解答，這是轉(zhuǎn)化思想的基本原則，也是轉(zhuǎn)化的目的之所在。如：把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，把數(shù)列中非等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比問(wèn)題。

2.簡(jiǎn)單化原則

將抽象和難度較高的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)方程、函數(shù)等工具的處理進(jìn)一步來(lái)解決問(wèn)題。

3.具體化原則

化歸思想的具體化原則就是指將抽象的問(wèn)題具體化，即分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，將抽象問(wèn)題向較具體的問(wèn)題轉(zhuǎn)化。

4.標(biāo)準(zhǔn)化原則

將待解問(wèn)題在形式上向該類(lèi)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式化歸，標(biāo)準(zhǔn)形式就是指給這類(lèi)問(wèn)題建立起數(shù)學(xué)模式。如：一元二次方程ax2+bx+c=0，只有化歸成標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程形式后，才可用有關(guān)結(jié)果。

二、化歸方法及相關(guān)案例分析

1.化高次為低次

例1.已知：x+■=2，求x4+■的值。

分析：題目的條件中所含的是字母x的一次式，而所求的結(jié)論中是x的四次式，因次我們可以通過(guò)降次，由結(jié)論向已知轉(zhuǎn)化；或通過(guò)升次，由已知向結(jié)論轉(zhuǎn)化。

解：x4+■=（x2+■）2-2=[（x+■）2-2]2-2=2

2.化為熟知的數(shù)學(xué)工具

例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4■），點(diǎn)B在x正半軸上，且∠ABO=30°，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒■個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。在x軸上取兩點(diǎn)M，N作等邊△PMN.求直線AB的解析式。

■

解：直線的解析式為：y=-■x+4■.

這道習(xí)題的解答就是通過(guò)分析題目的深層次含義，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)一次函數(shù)的直線解析式的確立方法——待定系數(shù)法，建立數(shù)學(xué)方程組，最終求解出直線解析式的表達(dá)式。這道題目其實(shí)可以解決現(xiàn)實(shí)生活中一些動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)建模思想所在，通過(guò)實(shí)際生活建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，是必要的數(shù)學(xué)能力。

3.化多元為一元

例3.若■=-■=■，則■= .

分析：消去未知數(shù)是解題的常見(jiàn)思路，常見(jiàn)的方法有代入消元和加減消元，本問(wèn)題可采用“設(shè)k法”，表面上看似乎增加了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，實(shí)際上找到了新的等量關(guān)系，如x=3k等，設(shè)參與消參的轉(zhuǎn)化達(dá)到了化多元為一元的目的，使問(wèn)題順利求解。

解：設(shè)■=-■=■=k，則x=3k，y=-4k，z=7k，代入原式，得：

■=■=■=-3.

除了以上提到一些轉(zhuǎn)化思維的方法之外，高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，還有很多等量代換、幾何中的向量轉(zhuǎn)移以及等比數(shù)列中的一些轉(zhuǎn)化方法。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)嘗試不斷總結(jié)，在總結(jié)中教授給學(xué)生必要的解題技巧，讓學(xué)生感受到轉(zhuǎn)化思想解題的精妙。

總之，化歸思想就是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化、模式化以便應(yīng)用已知的理論、方法和技巧，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。希望本文的一些案例能夠?yàn)閺V大高中教師帶來(lái)有力的幫助，也希望廣大教育界的同仁們提出不同意見(jiàn)，共同為了轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作出自己的貢獻(xiàn)。

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