淺談電力系統無功功率的形成機理

摘要：在電力系統中，由電源供給負載的電功率有兩種，分別是有功功率和無功功率。相對有功功率而言，無功功率的定義比較抽象，但它卻是電力系統和用電設備正常運轉的重要元素之一。對無功功率的物理意義、無功功率的大小和符號以及無功功率與余弦穩態瞬時功率之間的關系進行了討論，指出平均功率是由同相電壓、電流分量產生的，而正交電壓、電流分量則產生無功功率，并據此導出了平均功率與余弦穩態瞬時功率之間的兩種表達式。理清了關于無功功率的一些模糊認識，表明消耗在電阻的平均功率就是整個系統的平均功率，純電感和純電容均不消耗能量。

關鍵詞：電力系統；無功功率；平均功率；瞬時功率

作者簡介：馬冠雄（1981-），男，廣東佛山人，廣州供電局有限公司系統規劃研究中心，工程師。（廣東 廣州 510610）

中圖分類號：TM714.3 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）36-0221-03

現今許多用電設備均是根據電磁感應原理工作的，如配電變壓器、電動機等，它們都是依靠建立交變磁場才能進行能量的轉換和傳遞。為建立交變磁場和感應磁通而需要的電功率稱為無功功率，因此，所謂的“無功”并不是“無用”的電功率，只不過它的功率并不轉化為機械能、熱能而已。

無功功率其實是一份真實的功率，它的數量級和隨伴它的有功功率一樣，但被電路不停地吞吐著。雖則每半周期都抵消掉，基本上不消耗電能，但如果讓它在電網中任意流動的話，它不但白占著電源的容量，而且增加了電網的損耗，加大電壓降。

在交流輸電中，無功功率是不可避免的。它在半周之內由零升到最大又降回零，電力系統要將如此巨大的一份電磁場能量在半周之內吸收又放出來。使用的電流越大，建立的磁場能就越大，吞吐就越大。

一、無功功率的解析推演

要理順無功功率的概念，首先需對電力系統中的純感性電路和純容性電路分別進行簡單的推演。

1.純感性電路

設正弦電流為 I=Im sin（ωt ） （1）

根據法拉第電磁感應定律，電感L上的感生電動勢（e.m.f.）為：

于是電感L上的電壓uL就是：

比較（1）和 （3）式，就可以發現電壓uL超前電流i 90°。這里（3）式中的ωL叫做感抗，記作xL。

2.純容性電路

在電容C 上的正弦電壓uC如下（4）式所示：

比較（4）和（4）式，顯然，電壓uC 比電流i 滯后90°。

這里（4）式中的1/（ωL）叫做容抗，記作xC。

3.電感串電阻電路

按歐姆定律，電阻R 上的電壓降是：

因為在式（3）已經推導過電感L上的電壓為：

于是在電感電阻串上的電壓為：

（5）

對（5）式作些數學處理，并引入一些輔助參數：

z就稱為電感L電阻R串的阻抗。于是（5）式就改寫成：

到此，就證明了加在一個帶有歐姆電阻的電感上的電壓u比電流i超前φ角度。

二、瞬時功率和平均功率推導

上述Um和Im分別是正弦電壓和正弦電流的幅值。為了接近實際，引入正弦電壓和正弦電流的有效值（均方根值r.m.s.）到式（5）和式（7）。

同時為方便計算，令電壓作為參考（矢）量u=Umsin（ωt）。

于是瞬時功率：

（8）

圖1表示出瞬時電壓u、瞬時電流i和瞬時功率pL之間的關系。從（8）式看到，瞬時功率pL包括兩部分：

恒定功率 p1=UI cosφ= P （9）

交變部分p2=UI cos（2ωt-φ） （10）

圖1中Φ/ω是電流電壓相差的時間表達式。

瞬時功率的交變部分p2是以兩倍工頻2ω變化。整個瞬時功率pL在一周期T的平均功率：

（11）

瞬時功率的交變部分pL在一周期T內抵消為零。

消耗在電阻R（串有L或C）上的瞬時功率：

一周內在電阻R（串有L 或C）上的平均功率：

（12）

上式（11）、（12）說明，消耗在電阻R的平均功率，就是整個電路的平均功率。純電感L和純電容C都不消耗能量。

同時，瞬時功率交變部分p2可以進一步分解為：

（13）

p2式的第一項是以平均功率P=UIcosφ為振幅的交變功率。而第二項是以UIsinφ為振幅的交變功率。將它記作Q=UIsinφ，于是（13）就變成：

（14）

從因子cos2ωt和sin2ωt可看出，P和Q在時間相位上是“正交”的。于是（8）式的電感串電阻電路的瞬時功率pL就變為：

pL=P-Pcos2ωt-Qsin2ωt （15）

用相似的方法，可以得到電阻R和電容C串聯電路的瞬時功率，pC就變為：

pC=P-Pcos2ωt+Qsin2ωt （16）

當然，上式瞬時功率pC的交變部分在時間相位上也是“正交”的。

三、復空間中的正弦交變量

1. 旋轉矢量

以上推算屬于解析推演，是最基礎的物理和數學方法，能準確地描述瞬時過程和對時間的平均值，是最易理解和可信的分析，但只限于實空間（實軸），無法在同一場面內反映相位的關系。復數就能克服這個困難。

參考量u將采用余弦形式，u=Um cos（ωt），而相應的電流就變為i=Im cos（ωt-φ）。

圖2上兩個模（幅值）分別為Um和Im的矢量，繞原點0 以角速度ω轉動。它們在實軸0x上的投影Umcos（ωt）和Imcos（ωt-φ）正是交變電壓和交變電流的瞬時值。

這些矢量，轉動角速度ω是常數。所以，如果有一個以ω恒定轉動的平面，相對于這樣的平面，矢量變成固定的了。

以上的敘述還是基于實空間的，啟示旋轉矢量能代表正弦交變量。

2.旋轉復平面

數的最普遍的形式是復數。它包含兩個部分——實部x和虛y。通常的實數或虛數，看成是復數的特殊情況。復數用復空間上一個矢量來表示。

Z=x+jy

=z（cosφ+jsinφ）

=

式中z稱為復數的模（幅值），φ稱為復數的幅角。

通常，如果R，L和C串聯，復阻抗就是：

式中z稱為復數的模（幅值），φ稱為復數的幅角。

令復平面繞原點0以角速度ω轉動。于是正弦交變電壓U和弦交變電流I就成為這個旋轉復平面上兩個靜止的矢量。這里，矢量長度不再是幅值，而是它們的有效值（其實幅值是有效值的倍）。用和表示旋轉復平面上的電流矢和電壓矢。I和U是它們的絕對值（有效值）。對于電壓參考矢，由于它置于實軸，其絕對值和等于矢量，即：

（17）

于是可以用歐姆定律導出電流矢：

（18）

在旋轉復平面上只有兩種矢量：電壓矢量和電流矢量。參考矢的選用是任意的，通常都以電壓為參考矢。因為電壓常常發自電源點或在電路的始端，驅動電流的相移相對這個始點是順理成章的，如圖3。

電能E、功率P、無功功率Q和阻抗Z（包括電抗xL，xC）對旋轉復平面，都是的標量。它們不能出現在旋轉復平面，但它們可以以復數形式出現在靜止的復平面上。

電壓和電流是旋轉復平面上的矢量，而它們的乘積（標量積），則是靜止復平面上的矢量。

以感性電路為例，電流矢比電壓矢滯后φ角度：

（19）

它和電壓矢的標量積：

（20）

國際協議規定，感性負荷的無功Q應和有功功率同為正向。式（20）顯然是不符的。

所以視在功率定義為電流的共軛矢I*和電壓矢的標量積。對于電流，它的共軛矢就是：

（21）

共軛矢I*在幾何上是原電流矢的鏡像。于是感性負荷的視在功率變成：

（22）

如果是容性負荷，視在功率就是 ：

（23）

四、結論

最后，回顧一下以上的基礎推演和復平面推算的結論：

首先，由式（14）可見，瞬時功率的交變部分（無功部分）p2 可以用矢量表示為：

p2=-Pcos2ωt-Qsin2ωt

它存在于以2ω轉動的旋轉復平面。從式（14）可見，在一個以2ω旋轉的復平面上，由-P矢量和-Q矢量合成了瞬時功率的交變部分p2矢量。

但不要忘記，純電感L和純電容C均不消耗能量。

另外，從圖3中可以想象到，虛線矢量、和只能存在于旋轉的復平面中。而圖3是靜止的復平面。它們只能像幽靈一樣隨伴P、Q的空間而旋轉。

通過本文的理論分析和公式推演，可從不同的角度理清關于電力系統無功功率的一些模糊認識，其中的一些觀點和結論可供電力系統相關工作人員加以參考和學習。

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