基于“幾何畫板”的數學探究教學的實證研究

數學實驗教學是指恰當地運用數學實驗，創設問題情境，引導學生獨立操作實踐、自主探究、合作交流，從中發現問題、提出猜想、驗證猜想、概括猜想，并創造性地解決問題的一種教學活動。目前，網絡環境下的數學實驗教學已經成為探究性學習的有效切入點，也是未來數學教學模式發展的方向之一。

幾何畫板是一個小巧、功能強大且使用簡單的數學實驗工具，具有簡明樸素、短小精悍的特點。用幾何畫板做數學實驗花時少、收效好，在對各種圖形或數量進行變換的操作中，可以動態地保持數量與數量、圖形與圖形、數量與圖形之間的關系，并能展示其中某些恒定不變的規律。通過動態演示數學變化規律，有助于引導學生厘清數和形的辯證關系，形成動態觀察問題、分析問題和解決問題的思想方法。

一、基于“幾何畫板”的數學探究教學的操作程序

基于“幾何畫板”的數學探究教學的研究立足于高中數學課堂，以問題或任務為載體，創設一種類似于科學研究的情境，讓學生通過自主探究活動回答問題或完成任務，并在此過程中了解知識的來龍去脈，獲得知識和技能，強化數學思考過程，提高綜合運用知識解決問題的能力。其操作程序包括5個環節：創設情境、提出問題→探究實驗、提出猜想→師生合作、驗證猜想→繼續實驗、深層探究→總結概括、形成結論。在一次具體的探究學習活動中，上述5個環節一般是先后執行，但這5個環節往往不是一次性的線性的過程，而是一個反復循環、螺旋式上升的過程。在“創設情境、提出問題”環節，教師用“幾何畫板”創設問題情境，推動學生的認知沖突，啟發思維，引出問題；在“探究實驗、提出猜想”環節，學生在教師的指導下，借助“幾何畫板”進行探究性實驗，比如，對各個數學元素進行有序的控制操作、變換情境，從而發現規律，合情推理，歸納猜想；在“師生合作、驗證猜想”環節，學生在教師的啟發和引導下，對所得出的猜想進行驗證，即通過演繹推理等方法來驗證猜想是否正確，或通過舉出反例的方法來否定猜想；在“繼續實驗、深層探究”環節，在得出結論的基礎上，讓學生進一步探究，進而獲取真正的數學經驗，而非抽象的數學結論；在“總結概括、形成結論”環節，學生通過自主探究，對新知識已經有了零碎或粗淺的認識后，需要在教師的啟發和引導下進行概括、整理、歸納、總結，將各個知識點整理成為有條理有層次且準確系統的知識。

二、“幾何畫板”應用于探究教學的教學模式

通過實踐，我校數學課題組已初步構建起三種常用的教學模式。

1.以教師為主導的“指導—探究”課堂教學，它是指教師根據教材的知識結構和學生的思維特點，對學生進行學習思路的引導，針對學生求知過程中產生的疑點，啟發學生思考，幫助學生掌握知識規律，并在實踐和探究中提高運用知識解決問題的能力。由于我們日常的教學任務比較重，經常拿出一整節課進行實驗探究不太現實，在這種情況下，采用“指導一探究”的教學模式能較好地將教學的重點、難點用形象直觀的動態畫面演示出來，變抽象的內容為形象直觀的知識，促進學生對知識的理解。

例如：我校周小英老師在講解某些特殊的高次不等式（x-x1）（x-x2）…（x-xn）>0（或<0）的解法時，采取的教學設計是“提出問題—轉化探究—改變條件—探求新知—歸納總結”，具體操作如下：

首先是“提出問題”環節：求不等式y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的解集。

其次是“轉化探究”環節：師生對函數、方程、不等式三者間的關系進行討論后，將問題轉化為求函數y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的圖像在x軸上方的部分的橫坐標的集合，因此，求不等式的解集，關鍵在于了解函數圖像。如圖2，學生通過作圖，觀察后發現了函數y=（x-x1）（x-x2）…

（x-xn）的圖像規律。

圖2

第三個環節是“改變條件”：若方程（x-x1）（x-x2）…（x-xn）=0有重根，圖像還相同嗎？

第四個環節是“探求新知”：學生利用“幾何畫板”開展實驗探究，歸納出兩種情形：①方程有奇數個重根的情況，如圖3、圖4。

圖3

圖4

②方程有偶數個重根的情況，如圖5、圖6。

圖5

圖6

最后是“歸納總結”環節：y=0時的n個根將x軸分為n+1個區間，最右一個區間f（x）>0，其余區間函數值的符號從右到左“負正相間”，有重根時，圖像的特點是奇數根處圖像穿過根，偶數根處圖像不穿過根（簡記為“奇穿偶不穿”）。

周小英老師對題目的改造，使數學問題變得更具吸引力和探究性，較好地激發了學生的好奇心和探究欲，培養了學生的探究意識和能力。

又如，正態曲線就是函數f（x）=■■的圖像。面對如此復雜的函數，在傳統的教學中，教師往往依照教科書的三個圖形畫出草圖，然后告知學生正態曲線的所有性質。實際上，大多數學生根本無法從僅有的幾個圖像中真正理解這些性質。對正態曲線性質的理解成了傳統教學中學生一直無法克服的難點，而在實驗探究教學中，學生能夠主動地利用信息技術具有動態性的優點來研究函數圖像（如圖7、圖8），通過觀察圖像的位置和形狀的變化，輕而易舉地得出正態曲線的性質，促進了學生對這些性質的理解。

圖7

圖8

2.以學生為主體的“情境—探究”課堂教學，這種教學模式由教師預先設計好需要探究的問題或情境，學生直接進行探究。課前，學生向老師提出感興趣的問題或教師根據教學經驗和教學需要確定課堂教學探究的主題，編寫探究導學，探究導學的內容包括探究的主題和探究的目標任務。教師將探究導學提前兩至三天發給學生，要求學生課前認真閱讀探究導學，明確目標任務，復習相關知識，進行思考研究。課中，學生成立實驗小組，根據教師創設的學習情境進行觀察，同時結合自己的課前研究和思考與同伴展開交流，進行操作實踐，驗證猜想是否正確，然后在教師的指導下把思考的過程和實踐的結果進行歸納和總結。

下面以陳清卓老師的一個實驗課為例作具體說明：

實驗課題：f（x）=x+■函數的圖像和性質。

實驗背景：函數f（x）=x+■蘊含極大的教學價值。表現在：它是一個正比例函數與一個反比例函數之和通過變量替換而得到的函數；它是一個奇函數；把它用在（0，+∞）上的單調性可以解決函數的一類最值問題，特別是在“均值不等式”中不能取得等號時求最值的問題；當k≠0時其圖像為雙曲線。

實驗工具：幾何畫板GPS（4.01）。

實驗目的：探究函數f（x）=x+■的圖像和性質（單調性和奇偶性）。

實驗要求：1.把學生分成若干小組，每個小組4人；2.各小組寫出實驗目的、實驗方法、實驗步驟；3.各小組按計劃開展實驗；4.全班交流實驗結果；5.撰寫實驗報告。

實驗步驟：

1.打開幾何畫板，進入函數編輯功能。

2.輸入函數f（x）=x+■（k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4……）。

3.不斷改變k的值，觀察函數圖像（如圖9、圖10）的變化規律，記錄下觀察到的現象，填寫表2。

4.根據觀察到的現象，猜想函數f（x）=

x+■的性質（奇偶性、單調性）。

5.檢驗猜想的正確性。

圖9

圖10

實驗報告：

1.實驗現象記錄。不斷改變k值時，觀察到的現象是：隨著k值的不斷減小，分布在1、3象限的兩條曲線逐漸靠近。當k值為正數時，圖像在第一象限內“先減后增”，在第三象限內“先增后減”；當k為0時，兩條曲線變為一條直線y=x；當k值為負值時，若x>0，函數為增函數，若x<0也是增函數。在整個函數圖像的變化過程中，函數圖像都關于原點對稱。（教師用幾何畫板演示）

2.猜想。

猜想①：函數f（x）=x+■為奇函數。

猜想②：當k<0時，函數f（x）=x+■在x>0時單調遞增，在x<0時也單調遞增。

猜想③：當k>0時，函數f（x）=x+■在第一象限“先減后增”，在第三象限“先增后減”。

3.證明猜想①、猜想②；猜想③中的增與減的分界點難以確定。

4.尋找函數f（x）=x+■（k>0）的單調區間：①打開“幾何畫板”；②當k取不同的值時，作出函數f（x）=x+■（x>0）的圖像，并觀察函數取最小值時x的值（見圖11），填寫表3；③由表3猜想函數f（x）=x+■（x>0）取得最小值時x的值中所蘊含的規律；④對猜想進行驗證；⑤證明猜想的正確性。

5.討論：函數f（x）=x+■的性質。

①函數f（x）=x+■是奇函數，圖像關于原點對稱；②當k<0時，x在（-∞，0）上函數為增函數，x在（0，+∞）上函數也是增函數；③當k>0時，x在（-∞，■），（■，+∞）上的函數是增函數；x在（-■，0），（0，■）上的函數是減函數。若x>0，當x=■時，ymin=2■；x<0，當x=-■時，ymax=-2■.④當k=0時，函數為y=x，是一次函數。

這是一節探究實驗課，教學設計的宗旨是讓學生利用信息技術開展教學實驗，根據原始的實驗數據進行歸納整理，觀察實驗現象，從中猜想出函數的性質，并通過實驗過程來驗證猜想的正確性，利用函數的性質特點來解決一些實際問題和數學問題，培養科學實驗的方法，學會撰寫數學實驗報告，促進學習方式的轉變。

3.以學生“自主—探究”為主的研究性學習，是指讓學生根據自身的經驗、技能，以個體自學為主進行自主選擇、自主探究、自主發展。除課堂內的探究性活動，教師還可以利用課外時間教給學生操作幾何畫板的簡單知識，讓學生利用計算機做實驗來解決數學問題。對那些較為抽象的或幾何圖形變化較為復雜的數學知識，我們可以將它設計為數學實驗，把抽象的數學知識具體化，把靜止的圖形動態化，讓學生動手做數學實驗，在實驗中了解知識的發生和發展過程，掌握知識的變化規律，理解數學知識的來龍去脈，真正實現在“做中學”。

三、確定探究實驗教學的整合點，建立與探究教學相配套的教學資源庫

在數學探究教學過程中，要有效地發揮“幾何畫板”在數學探究教學中的作用，關鍵是要準確診斷出教學內容的整合點，在此基礎上研究如何合理運用“幾何畫板”。以“導數”這一章節教學內容為例，我們對教材進行了認真分析，找出了利用“幾何畫板”進行探究實驗教學的整合點。比如：在導數的概念這節內容中，動態演示■的變化過程，對■的值進行測量、通過動態演示來明確切線與曲線交點的問題、通過測量明確導函數的值與曲線圖像性質的關系等內容，教學時采取以教師為主導的探究教學模式。對于一元三次函數的圖像性質這一內容，讓學生自己設計方案繪制出有代表性的函數圖像，通過探究活動，明確一元三次函數的圖像性質。含參數函數的圖像性質這部分內容，采用以學生為主體的探究教學模式，而函數圖像和它導函數圖像的關系，需要通過觀察圖像找到它們之間的聯系，然后撰寫相應的研究報告，進行課題匯報，在課堂中進行展示交流，這部分內容采用以學生探究性學習為主的教學模式。

構建與探究教學內容相配套的教學資源庫，從一定程度上改變了教師備課的方式。教師可以從素材庫中選取授課時所需要的教學資源，在較短的時間內制作出教學所需要的教案或課件，這種做法在將教師從繁重的備課中解脫出來后，能把更多的精力放在鉆研教學內容和教學設計上。而資源庫中的成品課件，可以供學生使用，在豐富課程資源的同時，也為學生提供了廣闊的探究空間。（責編 歐孔群）