灰色預測模型的改進及其應用

摘要：灰色預測模型以其計算量少、適應性強而廣泛應用于眾多領域的研究，文章從某些函數變換能提高建模數據序列的光滑性這一角度出發，基于灰色系統建模理論方法，對于基于一元線性函數變換法的GM（1，1）模型進行了研究，并結合實例進行了驗證和分析，結果證明了基于函數變換來改進灰色預測精度這一想法的可行性。

關鍵詞：灰色預測；GM（1，1）；光滑性

1 引言

預測是指在一定的理論指導和技術手段條件下，根據已掌握的事物發展的歷史和現狀為出發點，對其未來某一時間段內可能發生的變化特征量或變化趨勢做出合理估計和推斷的過程。簡單來說，預測就是：根據過去和現在，估計未來。預測理論可以幫助人們認識并揭示事物的發展規律，提供關于未來發展的信息，使得人們當前的行為能有所依據，因此預測技術越來越受到社會各界的重視。

預測技術主要包括回歸分析法、時間序列法、趨勢分析法、人工神經網絡法、模糊預測法、灰色預測法、小波分析法和數據挖掘技術等。而灰色預測模型作為一種典型的趨勢分析模型特別適用于那些因素眾多、結構復雜、涉及面廣、綜合性較強的社會系統指標的趨勢預測，且它對一般模型具有很強的融合力和滲透力，可將其與其他模型相結合進行分析和預測，從而實現優勢互補，增強預測能力，改善預測精度。

2 灰色預測模型

2.1 灰色系統背景知識

所謂灰色系統是指介于白色系統和黑色系統之間的過渡系統，其具體的含義是：如果某一系統的全部信息已知則為白色系統，全部信息未知則為黑色系統，部分信息已知、部分信息未知，那么這一系統就是灰色系統。一般地說，社會系統、經濟系統、生態系統都是灰色系統。

我國學者鄧聚龍教授于1982年首次提出了灰色系統理論這一概念，30多年來灰色系統理論受到了國內外學術界的極大關注，它以部分信息已知，部分信息未知的貧信息、不確定系統為研究對象，主要通過對部分已知信息的開發利用，去發現系統的運行規律，從而實現對事物發展規律的認識和預測。灰色預測理論問世以來的理論和實踐證明，與其他預測方法相比，灰色預測模型普遍精度高，誤差小，已經成為了許多領域進行系統分析建模、預測控制決策等的獨特思路和嶄新方法。

2.2 GM（1，1）模型概述

灰色預測理論是整個灰色系統理論的重要組成部分，建立灰色動態模型（GM模型）則是灰色預測理論的核心。灰色系統在預測領域中應用最為廣泛的是GM（1，1）模型，由于其所需樣本數據少，計算簡便等優點，已廣泛應用于社會、經濟、生態等各個領域。

2.3 GM（1，1）建模過程

設有原始非負數據序列： ，其中n為數據個數。利用該數據序列建立GM（1，1）模型的一般步驟是：

Step1：累加生成

對原始數據序列X0作一階累加生成，得到累加生成序列：

，

其中，。

Step2：建模

構造背景值 ，

其中 ，？琢一般取0.5。假設x（1）具有近似指數分布規律，對累加序列建立GM（1，1）模型，得到對應的白化微分方程形式為：

其中，a為發展系數，b為灰色作用量，且a的有效取值區間為a∈（-2，2）。其對應的微分方程形式為：

Step3：求參數a，b

參數列？準=[a，b]T可由最小二乘法確定：

其中， 。

Step4：建立預測公式

在初始條件下，可得到生成的序列模型：

Step5：預測結果

在初始條件 下，可得到原始數據序列模型：

即

將k=2，3，…，n代入上式，便可得到初始數據的擬合值；當k>n時，便可得到灰色模型對未來的預測值。

2.4 GM模型精度檢驗方法

GM模型一般常采用三種方法檢驗：殘差大小的檢驗、關聯度檢驗、后驗差檢驗。殘差大小的檢驗是一種直觀的按點進行比較的算數檢驗法，它是把預測數據與實際數據相比較，觀測其相對誤差是否滿足實際要求；關聯度檢驗，屬于幾何檢驗，它是通過考察模型擬合曲線與實際值曲線的相似度進行檢驗；后驗差檢驗，屬于統計概念，它是按殘差的概率分布進行檢驗。限于篇幅，本文僅介紹簡單常用的殘差大小的檢驗方法。

設建立模型所用實際數據為： ，根據GM（1，1）模型建模求出的擬合數據值為 。

計算殘差，得到殘差序列為：

其中， 。

計算相對誤差，得相對誤差為：

計算平均相對誤差，得平均相對誤差為：

一般要求？著<20%，最好是？著<10%。

3 基于函數變換改進的灰色預測模型

提高灰色預測模型精度的方法主要有兩種：研究GM（1.1）模型內部建模機制和對數據序列進行變換處理。理論研究和具體時間都證明，原始離散數據的光滑度是影響模型精度的關鍵因素之一，原始離散數據越光滑，利用這些數據所建立的模型的精度就越高，也就越能反應原始數據的真實值和預測原始數據的發展趨勢。但是實際問題中，許多已知數據序列的光滑度很低，這就大大降低了灰色預測的精度，限制了灰色模型的使用范圍。而適當的函數變換能提高建模數據的光滑度，這就為提高灰色預測模型的精度提供了一種有效的解決方案。

常用的函數變換線性變換、拋物線變換、冪函數變換、指數函數變換、對數函數變換、多元線性回歸變換等方法。本文在此僅對構造簡單而又能卓有成效地提高預測精度的一元線性函數變換為例說明基于函數變換的灰色預測改進策略。

3.1 一元線性函數變換法的基本思想

假設一元線性函數變換式為：（p，q為參數），則一元線性函數變換法的主要思想是：基于原始數據，以函數變換后的數據作為基本數據來建立灰色預測模型，然后根據模型進行還原，使得還原后模型的平均相對誤差值■■|■|最小。其中，可用粒子群算法或蒙特卡羅算法等計算一元線性變換函數px（0）（k）+q中的參數p和q的值，使得其變換結果滿足以上基本思想，進而可計算得到變換后的預測模型。

3.2 基于一元線性函數變換法的GM模型建模

同原始的GM（1，1）建模步驟相類似，設有原始非負數據序列：X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…x（0）（n）），其中n為數據個數，得出基于一元線性函數變換的GM（1，1）模型建模步驟如下：

Step1：線性變換

對原始數據序列 按線性變換函數 生成新的數據序列 。

Step2：建模計算

參照傳統GM（1，1）模型對新的生成數據序列 進行建模計算，得到變換后的新數據序列的預測公式：

預測結果：

Step3：建立預測公式

根據逆變換函數 ，還原得到原始數據序列所對應的的模型值

再利用GM模型精度檢驗方法進行模型檢驗，并與傳統灰色預測模型相比較即可。

4 實驗及結果分析

農村居民家庭人均純收入是農村居民純收入按照農村住戶人口平均的純收入水平，它反映的是全國或一個地區農村居民的平均收入水平。農村居民家庭人均純收入是一個年度核算指標，是反映一個國家農業經濟發展水平的一個重要指標，是國家制定農業經濟發展戰略的重要依據，因此建立農村居民家庭人均純收入預測模型對于農業經濟發展規劃有著十分重要的意義。在本文研究的基礎上，現以傳統GM（1，1）模型和基于一元線性函數變換法的改進型GM（1，1）模型對我國1996-2005年間的農村居民家庭人均純收入進行建模，預測2006-2008年的數據值，并比較兩種不同方法建模的預測精度。

（1）按傳統GM（1，1）模型建模，記為模型Ⅰ。則有：

其中，

（2）按基于一元線性函數變換法的改進型GM（1，1）模型建模，記為模型Ⅱ。其中，變換函數為，利用蒙特卡羅算法求解出的參數為p=-0.1786，q=367.8301。則有：

其中，

將1996-2003年我國農村居民家庭人均純收入的實際數據代入以上兩個模型進行模型計算，并預測2004-2005年的數值，計算結果如表4-1所示：

表4-1 兩種預測模型相對誤差的比較

由表4-1中的相對誤差和平均相對誤差可見，本文提出的模型Ⅱ，即基于一元線性函數變換法的改進GM（1，1）模型建模方法得到的平均相對誤差明顯低于傳統的GM（1，1）建模法，這說明本文提出的模型Ⅱ預測模型的數據擬合效果優于傳統的GM模型建模法。

表4-2 兩種預測模型預測精度的比較

由表4-2的預測誤差結果可以看出，模型Ⅱ預測精度明顯高于傳統的模型Ⅰ。這說明基于一元線性函數變換法的改進方法在提高灰色預測模型精度方面是有顯著作用的，即適當的函數變換能提高建模數據的光滑度，從而也就越能反應原始數據的真實值和預測原始數據的發展趨勢，從而提高灰色預測模型的預測精度。

5 結束語

本文從灰色預測理論入手，對灰色系統中的一些概念和GM（1，1）模型的建模過程進行了較為詳細的討論，并針對提高灰色預測精度的建模方法，提出了一種改善原始離散數據光滑度的方法，最后通過一組實例對兩種模型進行仿真實驗，最終得出結論：一元線性函數變換法有助于改善原始數據的光滑性，對于提高灰色預測模型的預測精度是可行的。

參考文獻

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作者簡介：張亞飛（1991，10-），男，河南周口人，中南大學信息科學與工程學院，本科生，研究方向：控制算法、模式識別。