基于研發(fā)實(shí)物期權(quán)的大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件項(xiàng)目計(jì)價(jià)模型研究

摘要：為了提出一種科學(xué)合理的大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件項(xiàng)目的計(jì)價(jià)方法，引入研發(fā)實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型，并新增加研發(fā)項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)格與初始價(jià)值之間的函數(shù)關(guān)系，通過分析研發(fā)項(xiàng)目的價(jià)格（最終市場(chǎng)價(jià)值）與初始價(jià)值、研發(fā)項(xiàng)目的價(jià)格與期權(quán)價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建了研發(fā)項(xiàng)目的最終市場(chǎng)價(jià)值、期權(quán)價(jià)格、初始價(jià)值三者之間的方程組。然后，在證明該方程組有可行解的前提下，推導(dǎo)得出基于實(shí)物期權(quán)的軍用軟件定價(jià)模型。最后，通過多組案例的模型實(shí)驗(yàn)，對(duì)該方法的有效性和可行性進(jìn)行了證明。計(jì)算結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的成本加上5%利潤(rùn)的計(jì)價(jià)方法相比，由此方法制定的價(jià)格推算出的利潤(rùn)率高于5%。

關(guān)鍵詞：研發(fā)實(shí)物期權(quán)；價(jià)格；初始價(jià)值；期權(quán)價(jià)格；軍用軟件

1 研發(fā)實(shí)物期權(quán)理論應(yīng)用于大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件計(jì)價(jià)的可行性分析

使用研發(fā)實(shí)物期權(quán)的理論應(yīng)用于大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件計(jì)價(jià)的理由有三點(diǎn)：

第一，研發(fā)周期長(zhǎng)的大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件應(yīng)當(dāng)實(shí)行分階段計(jì)價(jià)。研發(fā)實(shí)物期權(quán)定價(jià)的基本思路是把研發(fā)過程分為若干階段，每一個(gè)階段都要計(jì)算市場(chǎng)價(jià)值和清算價(jià)值。其中，市場(chǎng)價(jià)值是指研發(fā)成功后的階段價(jià)格，清算價(jià)值是指研發(fā)失敗后的階段價(jià)格[4]。分階段計(jì)價(jià)一方面可以使研發(fā)過程中，中途研發(fā)失敗的項(xiàng)目仍然可以以一定的價(jià)格將階段性的成果轉(zhuǎn)包給其它研發(fā)機(jī)構(gòu)繼續(xù)研發(fā)；分階段計(jì)價(jià)另一方面有益于研發(fā)周期長(zhǎng)的軍用軟件項(xiàng)目管理、分期付款的依據(jù)、及時(shí)準(zhǔn)確的跟蹤、控制軍用軟件研發(fā)的成本、進(jìn)度等，這樣一來，分階段計(jì)價(jià)既可以用于目前的“目標(biāo)價(jià)格生成”的研究，也可以用于“過程成本監(jiān)控”的研究[2]。

第二，區(qū)別于中小型規(guī)模的軍用軟件按照成本加成原理進(jìn)行定價(jià)，大規(guī)模的軍用軟件應(yīng)該按照風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理進(jìn)行定價(jià)。

在同等成本投入、同等研發(fā)時(shí)間的情況下，軍用軟件研發(fā)成功的概率越小（失敗的概率越大），一旦研發(fā)成功，其包含的價(jià)值應(yīng)該越大。換句話說，大型軍用軟件的定價(jià)不應(yīng)當(dāng)只是對(duì)成本進(jìn)行補(bǔ)償，而應(yīng)當(dāng)肯定其技術(shù)價(jià)值。而研發(fā)實(shí)物期權(quán)定價(jià)思想是技術(shù)商品的定價(jià)基本原理，即：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理[4]。

第三，實(shí)物期權(quán)理論在研發(fā)項(xiàng)目的投資評(píng)估領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[5-8]，而軍用軟件開發(fā)項(xiàng)目屬于研發(fā)項(xiàng)目，符合實(shí)物期權(quán)理論的應(yīng)用范圍。本文的研究在引用借鑒實(shí)物期權(quán)理論在研發(fā)項(xiàng)目的投資評(píng)估領(lǐng)域的研究成果的基礎(chǔ)之上，做了更進(jìn)一步的改進(jìn)和探索。

一般的硬件類研發(fā)項(xiàng)目的投資評(píng)估流程，是先估計(jì)產(chǎn)品的銷量和單價(jià)，然后運(yùn)用二叉樹實(shí)物期權(quán)計(jì)價(jià)模型計(jì)算期權(quán)價(jià)值，從而得到該項(xiàng)目的投資價(jià)值[4]。區(qū)別于一般硬件類的研發(fā)項(xiàng)目，軍用軟件類、尤其是大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件類的研發(fā)項(xiàng)目，市場(chǎng)上沒有成熟的報(bào)價(jià)體系，因此無(wú)法估計(jì)數(shù)量和單價(jià)，從而也不能求解項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)格。而本文的目的是求解軍用軟件價(jià)格，已有的實(shí)物期權(quán)計(jì)價(jià)模型基礎(chǔ)中包含兩個(gè)未知變量：期權(quán)價(jià)格、軍用軟件價(jià)格，一套算法不能求解兩個(gè)變量，需要引入其它方程。

根據(jù)期權(quán)定價(jià)理論中的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，可以推導(dǎo)得到研發(fā)項(xiàng)目的最終價(jià)格與初始價(jià)值之間的邏輯關(guān)系，因此很自然的想到引入軍用軟件初始價(jià)值這個(gè)變量。三個(gè)變量需要三個(gè)系列的方程。

綜合以上分析，本方法的綜合模型由三個(gè)系列的方程組合而成。

第一類：根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，得到軍用軟件價(jià)格（最終市場(chǎng)價(jià)值）與軍用軟件初始價(jià)值之間的方程。

第二類：根據(jù)實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型，得到軍用軟件價(jià)格（最終市場(chǎng)價(jià)值）與軍用軟件期權(quán)價(jià)格之間的方程。

第三類：根據(jù)期權(quán)的定義，得到軍用軟件初始價(jià)值與軍用軟件期權(quán)價(jià)格之間的方程。

2 大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件計(jì)價(jià)模型的構(gòu)建

2.1 主要符號(hào)說明

（1）r－無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；（2）R－資產(chǎn)收益率；（3）q1－初始階段的成功概率；（4）q2－細(xì)化階段的成功概率；（5）q3－構(gòu)造階段的成功概率；（6）q4－交付階段的成功概率；（7）t1－初始階段的研發(fā)時(shí)間；（8）t2－細(xì)化階段的研發(fā)時(shí)間；（9）t3－構(gòu)造階段的研發(fā)時(shí)間；（10）t4－交付階段的研發(fā)時(shí)間；（11）c0－項(xiàng)目的啟動(dòng)成本；（12）c1－初始階段的估算成本；（13）c2－細(xì)化階段的估算成本；（14）c3－構(gòu)造階段的估算成本；（15）c4－交付階段的估算成本；（16）CV1－初始階段的清算價(jià)值；（17）CV2－細(xì)化階段的清算價(jià)值；（18）CV3－構(gòu)造階段的清算價(jià)值；（19）CV4－交付階段的清算價(jià)值；（20）p1－初始階段的風(fēng)險(xiǎn)中性概率；（21）p2－細(xì)化階段的風(fēng)險(xiǎn)中性概率；（22）p3－構(gòu)造階段的風(fēng)險(xiǎn)中性概率；（23）p4－交付階段的風(fēng)險(xiǎn)中性概率；（24）MV0′－期權(quán)價(jià)值；（25）MV0－項(xiàng)目的初始價(jià)值；（26）MV1－初始階段的市場(chǎng)價(jià)值；（27）MV2－細(xì)化階段的市場(chǎng)價(jià)值；（28）MV3－構(gòu)造階段的市場(chǎng)價(jià)值；（29）MV4－交付階段的市場(chǎng)價(jià)值。

2.2 研發(fā)階段劃分

參照軟件工程領(lǐng)域中的軟件生命周期模型的知識(shí)，可以將軟件研發(fā)過程劃分為若干階段。例如，在最經(jīng)典的瀑布模型中，將軟件研發(fā)過程分為需求、設(shè)計(jì)、編碼、測(cè)試、維護(hù)五個(gè)階段[9]；在實(shí)踐當(dāng)中應(yīng)用得最廣泛的統(tǒng)一過程模型中，軟件研發(fā)過程分為初始、細(xì)化、構(gòu)造、交付四個(gè)階段，每一個(gè)階段都是業(yè)務(wù)建模、需求、分析與設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)、測(cè)試、配置、變更管理、項(xiàng)目管理等的迭代[10]。本文選用統(tǒng)一過程模型作為劃分階段的依據(jù)。

初始、細(xì)化、構(gòu)造、交付四個(gè)階段，每一個(gè)階段，如果研發(fā)成功，則實(shí)現(xiàn)市場(chǎng)價(jià)值（MV），如果研發(fā)失敗，則實(shí)現(xiàn)清算價(jià)值（CV），清算價(jià)值為截止到該階段為止的所有投入成本（見圖1）。

圖1 基于統(tǒng)一過程的二叉樹模型

2.3 綜合模型

2.3.1 第一類方程。第一類方程是根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，得到軍用軟件價(jià)格（最終市場(chǎng)價(jià)值）與軍用軟件初始價(jià)值之間的方程。

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，每一個(gè)階段起始時(shí)的市場(chǎng)價(jià)值是每一個(gè)階段結(jié)束時(shí)市場(chǎng)價(jià)值與清算價(jià)值的數(shù)學(xué)期望值[11]。除此之外，還要考慮資金的時(shí)間價(jià)值以及現(xiàn)金的流出。

計(jì)算公式如下。

（1）

公式（1）是四個(gè)階段的市場(chǎng)價(jià)值遞推關(guān)系，從第四個(gè)階段開始，倒推至第一階段，得到最終市場(chǎng)價(jià)值（價(jià)格）MV4與初始價(jià)值MV0之間的方程為：

（2）

2.3.2 第二類方程。第二類方程是根據(jù)實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型，得到軍用軟件價(jià)格（最終市場(chǎng)價(jià)值）與軍用軟件期權(quán)價(jià)格之間的方程。

設(shè)變量pi表示階段i的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，根據(jù)研發(fā)實(shí)物期權(quán)的定價(jià)模型思想，可以得出如下等式：

（3）

最終市場(chǎng)價(jià)值（價(jià)格）MV4與期權(quán)價(jià)格MV0′之間的邏輯關(guān)系為：

（4）

2.3.3 第三類方程。第三類方程是根據(jù)期權(quán)的定義，得到軟件初始價(jià)值MV0與軟件期權(quán)價(jià)格MV0′之間的方程[10]。

（5）

2.3.4 綜合模型及其變量

綜合方程（1）至方程（5），得到原始的綜合模型。模型當(dāng)中，共有29個(gè)變量，輸入變量有19個(gè)，分別為主要符號(hào)說明當(dāng)中的符號(hào)（1）至符號(hào)（19）；輸出變量有10個(gè)，分別是主要符號(hào)說明當(dāng)中的符號(hào)（20）至符號(hào)（29），最重要的輸出變量是MV4。

3 大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件計(jì)價(jià)模型的求解

3.1 模型有解的證明

根據(jù)公式（1），將MVi（i=0，1，2，3）表示成由MV4和輸入變量組成的函數(shù)；

若令：

（6）

則根據(jù)公式（1）的遞進(jìn)推導(dǎo)，得：

（7） （8）

原始方程組為：

（9） 令：（10）

則原始方程組轉(zhuǎn)化為：

（11）

方程（11）中，y是x的線性函數(shù)，在二維平面圖中是一條直線；z是x的高階非線性函數(shù)。在二維平面圖中是一條曲線。要證明原始模型有解，則需要證明該直線和曲線有交點(diǎn)。以下是證明過程。

因?yàn)镸V0＞0，且a0＞0，所以MV4＞(－b0/a0)，則方程可行解的取值范圍是（－b0/a0，+∞）。

將公式（1）中的第一項(xiàng)代入公式（3），得：

（12）

則： （13）

由公式（1）可以證明，當(dāng)MV0＞0時(shí)，MVi＞CVi（i=1，2，3，4），則MVi-CVi＞0（i=1，2，3，4）。

因?yàn)?＜r＜0.1（行業(yè)數(shù)據(jù)），0.1＜R＜0.2（行業(yè)數(shù)據(jù)），即r＜R，則：(1+r)■-(1+R)■為負(fù)數(shù)（i=1，2，3，4）。

因此，公式（13）右邊 和均小于零。

所以 小于 （i=1，2，3，4），進(jìn)一步得：

（14）

當(dāng)x趨于正無(wú)窮大時(shí)，(b0－c0)為一常數(shù)，相對(duì)于■x可以忽略不計(jì)。

當(dāng)x趨于正無(wú)窮大時(shí)，MVi也趨于正無(wú)窮大（i=1，2，3，4）。由公式（13），得pi趨于■（常數(shù)）（i=1，2，3，4），則f(x)中所有pi的乘積均趨于某常數(shù)，則

趨于某常數(shù)，相對(duì)于■可以忽略不計(jì)。

因此，

（15）

當(dāng)x等于(c0－b0)/a0時(shí)，y等于0。

當(dāng)x等于(c0－b0)/a0時(shí)，

（16）

在得出公式（14）成立之前，已經(jīng)證明 小于（i=1，2，3，4），pi小于qi（i=1，2，3，4）。則：

1－pi/qi＞0

1－pi+pi－pi/qi＞0

(1-pi)-pi(■)＞0（i=1，2，3，4）。

又因?yàn)椤觯肌觯╥=1，2，3，4），轉(zhuǎn)換為■＜1（i=1，2，3，4）。

所以：

則：當(dāng)x等于(c0－b0)/a0時(shí)，z=f(x)＞0

即：當(dāng)x等于(c0－b0)/a0時(shí)，z=f(x)＞y

■＜1 （17）

根據(jù)零點(diǎn)定理，則在區(qū)間（(c0－b0)/a0，+∞），一定存在某一點(diǎn)x0，使得下式成立：

f(x0)=a0x0+b0-c0（18）

從而證明該方程一定有解。

3.2 模型的推導(dǎo)

模型的推導(dǎo)過程分為三步：

第一步，根據(jù)公式（1），將MVi（i=0，1，2，3）表示成由MV4和輸入變量組成的函數(shù)。

第二步，將第一步推導(dǎo)出的函數(shù)代入到公式（3），將pi（i=1，2，3，4）表示成由MV4和輸入變量組成的函數(shù)。

第三步，將第二步推導(dǎo)出的函數(shù)代入到公式（6），聯(lián)立方程組，得到只包含一個(gè)輸出變量MV4的一元十次方程。

（19）

其中，系數(shù)s0～s10均為由輸入變量組成的函數(shù)。

3.3 模型的計(jì)算步驟

模型的計(jì)算步驟分為三個(gè)階段，第一個(gè)階段是計(jì)算輸入變量的取值，第二階段是計(jì)算一元十次方程的系數(shù)取值，第三階段是運(yùn)用matlab軟件計(jì)算一元十次方程的解。詳見圖2。

圖2 模型的計(jì)算步驟

4 模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所提出的方法的有效性，本文隨機(jī)生成的多組數(shù)據(jù)作為輸入變量的取值進(jìn)行模擬計(jì)算，這里僅列舉其中的兩組數(shù)據(jù)（見表1）。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先分析了實(shí)物期權(quán)理論應(yīng)用于大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件計(jì)價(jià)的可行性，然后構(gòu)建了大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件的計(jì)價(jià)模型，并在證明該模型有解的基礎(chǔ)之上給出了的模型的求解方法和計(jì)算步驟，最后列舉了兩組模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以驗(yàn)證該方法的有效性。試驗(yàn)結(jié)果表明，由該方法計(jì)算出來的價(jià)格、進(jìn)而算出的利潤(rùn)率明顯高于5%。從而可以得出結(jié)論：與傳統(tǒng)的成本加成計(jì)價(jià)方法相比，基于實(shí)物期權(quán)的計(jì)價(jià)方法更適合大型高風(fēng)險(xiǎn)軍用軟件的計(jì)價(jià)問題。

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作者簡(jiǎn)介：吳琴，女，講師，博士，主要研究方向：軟件計(jì)價(jià)。