數(shù)學(xué)符號發(fā)展簡史

【摘要】數(shù)學(xué)符號是在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中逐漸提出的，并隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而得到完善的。數(shù)學(xué)研究中每提出一個新概念，一個新理論，一種新方法，必定會增加一些新的術(shù)語和新的符號。因此，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)是一個不斷擴(kuò)充、優(yōu)化的開放系統(tǒng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)符號；發(fā)展簡史；符號系統(tǒng)

數(shù)學(xué)中常見的符號有200余種，而中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的符號也有100多個。這些符號的都是在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中逐漸提出的，并隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而得到完善。數(shù)學(xué)符號的形成是一個長期的和復(fù)雜的歷史過程。

一、建立自然數(shù)符號體系，特別是引入位值制計數(shù)法及零的特殊記號

數(shù)學(xué)中最先產(chǎn)生的概念是自然數(shù)概念，最早出現(xiàn)的數(shù)學(xué)符號則是數(shù)字符號。但是表示數(shù)目的符號的發(fā)展是相當(dāng)緩慢的。現(xiàn)在國際上通用的阿拉伯?dāng)?shù)字實(shí)際上是印度人發(fā)明的，它本身的演變也有一段漫長復(fù)雜的歷史。印度人最早用梵文的字頭表示數(shù)碼，各個地方的寫法也不完全相同。經(jīng)過幾百年的演變，在8世紀(jì)時傳入阿拉伯。當(dāng)時印刷術(shù)還未發(fā)明，書籍全部是用手抄寫的，出入很大。12世紀(jì)時開始傳入歐洲。歐洲人只知道這些數(shù)碼是從那些阿拉伯國家傳來的，所以就稱之為阿拉伯?dāng)?shù)碼。14世紀(jì)，中國的印刷術(shù)傳到歐洲。1480年英國有些印刷本書籍中的數(shù)字已十分接近現(xiàn)代的寫法了。到1522年，英國聞斯托書中所用數(shù)碼已經(jīng)和今天的基本一致。眾所周知，自然數(shù)的概念的完善依賴于算數(shù)的計算。在古代文明國家中很早就產(chǎn)生了算術(shù)運(yùn)算及其相應(yīng)的符號，如表意文字或縮寫文字，或用不同符號把兩數(shù)并列表示加號、乘號，又用特殊記號表示減號。而我國古代長期用算籌計算，沒有采用任何表示運(yùn)算的符號，更沒有圖形符號，必要時直接用文字?jǐn)⑹觥Ｎ恢抵朴洈?shù)法是干百年人類智慧的結(jié)晶，它可以同字母的發(fā)明媲美，兩者都是用少數(shù)簡單的記號來代替復(fù)雜難記的符號。古埃及人很早就使用了10進(jìn)制記數(shù)法，但是每一個較高的單位都是用不同的符號來表示的。馬雅人懂得位值制用的是20進(jìn)制，巴比倫人用的是60進(jìn)制。中國人為最早知道位值制而又是十進(jìn)制的。而沒有表示零的的位值制是不完備的，所以位值制的關(guān)鍵是零的表示。在很早的時候曾用空位的方法表示零，但代之以用圓圈表示的零號“〇”卻遲遲難以產(chǎn)生。到今天為止所發(fā)現(xiàn)的第一批載有零號的文字，是同時出現(xiàn)在公元683年柬埔寨和蘇門答臘的一些碑文上。至于用“〇”表示零，因為東南亞各國文化曾受到中、印兩國的影響，因此一些科學(xué)史家傾向于認(rèn)為它是公元4世紀(jì)左右產(chǎn)生于中、印兩國的邊境一帶。后來符號“〇”則演變?yōu)楸鈭A的“0”。世界上有不少民族懂得零的道理，然而對零進(jìn)行系統(tǒng)地研究、處理和介紹，還是印度人最為突出。

二、建立代數(shù)的符號體系

代數(shù)符號是經(jīng)過悠久的歲月不斷改良、選擇和淘汰的結(jié)果。內(nèi)塞爾曼于1842年指出代數(shù)符號體系演變的三個階段——文字代數(shù)、簡寫代數(shù)與符號代數(shù)。在最初的文字代數(shù)階段使用的基本是自然語言，不用任何符號，而是用地道的散文形式寫成。3600年以前的古埃及的紙草書上，用象形文字表示一次方程，一直到公元300年整個代數(shù)都還是文字代數(shù)。到了后希臘時期，代數(shù)學(xué)才獲得重大的發(fā)展，代表人物是丟番圖（公元246—330年），被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖。他的重要貢獻(xiàn)之一就是對希臘代數(shù)引進(jìn)了簡寫記法，他用簡寫文字表示三次多項式，用字母來表示未知元和一些運(yùn)算，這是近世符號代數(shù)的嚆矢。公元9世紀(jì)，阿拉伯人阿爾·花拉子模的《代數(shù)學(xué)》中，一切算法都用文字語言來表達(dá)。15世紀(jì)以前，尤其是西歐基本上都是文字代數(shù)，直到后來，才開始有一些零星的簡寫記法。符號代數(shù)是15世紀(jì)才開始在西歐出現(xiàn)的。在此之前，丟番圖所采用的簡寫代數(shù)并沒有受到重視，直到文藝復(fù)興時期，由于近代印刷業(yè)的興起，標(biāo)準(zhǔn)符號的引進(jìn)才成為必要和可能，但發(fā)展緩慢。直到17世紀(jì)中葉常用的符號體系才大致完備了。法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540一1603年），他是第一個比較有意識地、系統(tǒng)地在代數(shù)中引入符號體系。他的代表作《分析方法入門》一書對符號代數(shù)的發(fā)展做出了不少貢獻(xiàn)，被認(rèn)為是一部最早的符號代數(shù)著作。其中，他用輔音字母表示已知元，用元音字母表示未知元。對多項式的系數(shù)加以修飾，用字母表示一般的系數(shù)，還使用了現(xiàn)在的“+”號和“-”號。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596～1650年）在其統(tǒng)一科學(xué)的思想的啟發(fā)下，通過引進(jìn)運(yùn)動著的點(diǎn)的坐標(biāo)概念，建立了直角坐標(biāo)系，從而將平面上運(yùn)動著的點(diǎn)的狀態(tài)描述和代數(shù)學(xué)中的二元方程聯(lián)系了起來，由此建立了解析幾何，解析幾何的創(chuàng)立不僅將代數(shù)和幾何統(tǒng)一了起來，擴(kuò)大了幾何學(xué)研究的領(lǐng)域，而且由于以代數(shù)為方法，幾何學(xué)也進(jìn)一步符號化了。現(xiàn)代的代數(shù)符號系統(tǒng)主要是采取笛卡爾的符號。數(shù)學(xué)符號的隨之發(fā)展是跟無窮小解析的創(chuàng)立密切的相聯(lián)系的，解析記號的形成在很大程度上為代數(shù)學(xué)打下了基礎(chǔ)。

三、與微積分學(xué)的產(chǎn)生相聯(lián)系的符號的發(fā)展

微積分學(xué)經(jīng)過了長時間的醞釀，終于在17世紀(jì)末，經(jīng)牛頓、萊布尼茲而完成。微積分的計算方法在牛頓、萊布尼茨之前就已經(jīng)在各國的著作初見端倪中，其中積分的思想，早在希臘時代已經(jīng)萌芽。牛頓、萊布尼茲各自引進(jìn)了一些導(dǎo)數(shù)、微分、積分等有關(guān)符號，但牛頓引進(jìn)的符號，基本上早巳淘汰。而萊布尼茲受到韋達(dá)符號體系的啟發(fā)，認(rèn)識了到建立符號體系的重大意義，開始了微積分符號化的進(jìn)程，而且建立的符號一直使用到現(xiàn)在，基本沒有變化。萊布尼茲是第一個清楚地理解了數(shù)學(xué)符號的巨大意義，并且力圖找到最方便的表達(dá)數(shù)學(xué)概念的記號。他還對自然科學(xué)發(fā)展兩千多年來曾經(jīng)出現(xiàn)過的各種符號進(jìn)行了專門的、系統(tǒng)的研究，他自己創(chuàng)設(shè)過許多符號，并聽取他人的意見，從中作出選擇，今天數(shù)學(xué)中所使用的許多符號，或是他創(chuàng)立的，或是在他的倡導(dǎo)下得到通用的。萊布尼茲認(rèn)為，好的符號可以節(jié)省思維過程，使思路和書寫更加緊湊、美觀和有效。

四、集合論與數(shù)理邏輯符號在數(shù)學(xué)中的發(fā)展和滲透

在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)符號的作用更加擴(kuò)大起來，而在創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)符號的同時，數(shù)學(xué)家更力求基本符號的標(biāo)準(zhǔn)化，而數(shù)學(xué)符號化的擴(kuò)大結(jié)果產(chǎn)生了一門新的學(xué)科——數(shù)理邏輯，也稱為符號邏輯，是研究推理，特別是研究數(shù)學(xué)中的推理的一門科學(xué)。在數(shù)理邏輯上取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的是英國數(shù)學(xué)家布爾（1815～1864年），他確信符號化會使邏輯變的嚴(yán)密，他的演算遵守某些規(guī)律，構(gòu)成了一個代數(shù)系統(tǒng)，布爾是第一個真正使邏輯代數(shù)化的數(shù)學(xué)家。

與布爾同時及之后的許多人，像德·摩根、弗雷格、皮亞諾、懷特海、羅素、哥德爾等人，都為數(shù)理邏輯的發(fā)展做出了重大的貢獻(xiàn)，他們的工作不僅使數(shù)理邏輯發(fā)展成為一門成熟的學(xué)科，并且伴隨著數(shù)學(xué)符號化的擴(kuò)充，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)更加完備，從而上升為科學(xué)語言的最高形式——形式語言。

數(shù)學(xué)符號的建設(shè)并沒有止步不前，今天仍有許多人致力于對它的研究并試圖使之更完備，如布爾巴基學(xué)派的年輕人們做了大量的工作以統(tǒng)一數(shù)學(xué)符號語言，此外，任何一個數(shù)學(xué)符號從提出到使用，直到被大眾接受而推廣開來，都需要一個選擇過程，最終，好的符號保留下來，不好的符號被淘汰，這種選擇是自然的，非個別人的意志所能強(qiáng)制的。

數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)造是在人們對數(shù)學(xué)認(rèn)識的發(fā)展過程中不斷進(jìn)行的。數(shù)學(xué)研究中的每提出一個新概念，一個新理論，一種新方法，必定會增加一些新的術(shù)語和新的符號。因此，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)是一個不斷擴(kuò)充、優(yōu)化的開放系統(tǒng)。

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