小波變換在一二維空間中去噪應用

【摘要】本文通過對小波變換理論的深入認識，加深多頻率分析和Mallat分解和重構信號圖像理論研究，在matlab環境下仿真，實現小波圖像去噪，體現出小波去噪的優勢。

【關鍵詞】小波變換；圖像去噪；多頻率分析；Mallat分解和重構

1.引言

圖像處理是將圖像通過計算機技術變為另外一幅修改的圖像或者是從中提取圖像測量所需測度的過程，現在圖像編碼、壓縮、傳輸、去噪以及重現等技術都是以獲得更清晰更高質量的圖片為目的，但是在實際實物轉換為圖像的過程中，在圖像的生成、編碼、壓縮、傳輸、重現的過程中，由于設備的非線性噪聲，還有設備噪聲以及環境兼容性等等，都不可避免的產生噪聲。

圖像去噪是圖像處理的一個非常重要的環節。去噪的方法有很多種，在空間域內，有偏最小二乘法，均值濾波，自適應濾波器，幾何均值濾波器還有維納濾波等等，在頻域內，運用保留低頻成分或低尺度的方法減小噪聲[1]，但是在效果方面小波去噪的效果要好些，因為這些都在去噪的同時，不可避免的丟失許多圖像的高頻信息。但是，小波去噪可以克服這些問題。

2.圖像去噪

圖像去噪是一個針對性很強的技術，根據不同應用、不同要求需要采取不同的處理方法。采用的方法是綜合各學科較先進的成果而成的，如數學、物理學、心理學、生物學、醫學、計算機科學、通信理論、信號分析學等等；各學科互相補充、互相滲透使得數字圖像去噪技術飛速發展。就目前應用的方法來看，計算機圖像去噪處理主要采取兩大類方法：一類是空域中的去噪處理，即在圖像空間中對圖像進行各種去噪處理；另一類是把空域中的圖像經過變換，如傅立葉變換、小波變換，變換到頻率域，在頻率域內進行各種去噪處理，然后再變回圖像的空間域，形成去噪處理后的圖像。[2]

圖像去噪的原理就是利用噪聲和信號在頻域上的分布不同而完成的。信號主要集中在低頻區，高頻部分主要是噪聲和低頻信號。

圖像去噪的目標就是從含噪圖像中去估計得到原始像，使得去噪圖像是原始圖像的最佳估計。圖一給出了原始圖像f（i，j）被加性噪聲ε（i，j）污染，產生含噪圖像g（i，j）的過程（即退化）。圖像去噪的任務就是從含噪圖像g（i，j）得到原始圖像f（i，j）的估計，要求f（i，j）盡可能的逼近，同時最大限度的濾除噪聲。[3]

3.小波變換理論研究

小波變換在圖像去噪領域的成功應用主要得益于

兩點：（1）小波變換對圖像的稀疏性表示，即經過小波變換后，圖像大部分能量集中在少數的小波系數上，而大多數系數能量很小；（2）小波變換的多分辨率特性使其能夠較好地刻畫信號時頻局部化特征。正因為如此，小波域中的信、噪分離較之傳統的去噪方法具有獨特的優越性，目前，基于小波的去噪方法已成為圖像去噪和恢復的重大分支和主要研究方向[4]。本文采用的是小波去噪方法。

3.1 小波變換

一個信號從數學的角度來看，小波是一個自變量為時間t的函數f（t）。因為信號是能量有限的。即：

其中小波基ψab（t）相當于時-頻局部窗函數，是母小波ψ（t）經平移和伸縮的結果；a尺度因子，是ψab（t）中的頻率參數，b是平移因子，是ψab（t）中的時間參數。從上述定義可看出，小波變換是一種積分變換，它將一個時間函數變換到時間-尺度相平面[5]。

小波函數ψ（t）必須滿足小波的允許條件：

因ψ（t）∈L2（t），∫Rψ（t）2dt<+∞，所以ψ（t）應該具有快速衰減性；而（6）式同時也表明ψ（t）具有波動性。因此ψ（t）是像波一樣的快速衰減函數，形如小的波，所以稱ψ（t）為小波[5]。

小波分析也是將信號分解為一系列小波函數的疊加，屬于時頻分析的一種，小波變換運用二維二進制離散小波變換，將原始信號用一組不同尺度的帶通濾波器進行濾波，將信號分解到一系列頻帶上進行分析處理。

3.2 多分辨分析

信號多分辨率分析定義為一系列連續逼近的閉合子空間凡，該子空間滿足下列特性[6]：

（1）一致單調性：

（2）伸縮規則性：

（3）漸進完全性：

小波變換和多分辨率分析理論是以一維信號分析的。但是時這些理論也是可以推廣到二維的。在算法實現上，二維圖象的小波分解可以用類似于一維的樹狀算法來實現，在每一層的分解中如圖五所示。

一維小波的重建算法同樣可以推廣到二維圖象的情況。此時，在每一層中，圖像重生如圖六所示。即每列之間，插入一列零值，用一維濾波器與行卷積；再生成圖象的每行間再插入一行零值，用另一維濾波器與列卷積。

4.小波去噪以及仿真結果

圖像去噪的原理就是利用噪聲和信號在頻域上的分布不同而完成的。信號主要集中在低頻區，高頻部分主要是噪聲和低頻信號。

4.1 一維小波變換的去噪情況

本文實驗所用PC機，內存為2G，CPU為4G，實驗軟件平臺為Matlab2007a。以正弦波和輪胎圖片為例，在matlabR2009A的軟件下仿真器去噪[8]。

利用小波對信號進行分解，然后通過閥值信號進行去噪。也可以用下面的程序控制：

Matlab的核心代碼：

圖像越接近原始信號說明去噪信號越好。從圖可以看出，小波效果比較明顯。

4.2 二維圖像的小波去噪的主要過程

（1）裝入原始圖像，首先利用高斯噪聲對原始圖像進行預處理。

（2）圖像的小波分解。根據Mallat的塔式分解理論，圖像經過一級小波變換后被分解成為四個頻帶：水平、垂直、對角線三個高頻部分和一個低頻部分。有時考慮到經小波分解后的低頻系數部分仍含有一部分噪聲，就可以對低頻部分進行二級小波分解。基于圖像和噪聲進行小波變換后具有不同的特性，信號中的有用信息主要集中在低頻區，而噪聲分布在所有小波系數中且主要表現在高頻區，經過小波變換后圖像細節也主要表現在高頻區，簡單地把高頻區去除時會失去許多重要的細節信息，為了解決這一問題，可以利用噪聲經小波分解后系數幅值都比較小的特點，設置不同的閾值過濾掉噪聲而達到去噪的目的。

（3）小波分解圖像信號，確定小波基函數，確定小波分解的層次。小波基的選擇具有正交性。選擇小波sym4。

（4）多分辨分析閥值采取的是經驗值。

（5）重構圖像信號

輪胎原圖在加高斯噪聲的情況下，在對其進行小波去噪仿真，主要是針對小波的一層分解和二層分解。

對輪胎圖片的其他方法去噪仿真，包括均值去噪，巴斯低通，指數低通濾波、梯形低通濾波去噪。

用小波去噪的方法，在matlab主窗口中輸入wavemenu后，在上述信號中加入高斯白噪聲，利用二維小波分析工具[8]。

從仿真圖可以看出，小波去噪效果是最好的。中值濾波，特別是巴斯低通濾波、指數低通濾波、梯形低通濾波的效果顯然遠遠不及小波去噪的效果。小波去噪后圖像更清晰，更接近于原始圖形。

5.結論

本文通過對在matlab環境下的仿真，運用小波去噪，保留了高頻成分，通過仿真，實驗訓練的圖片結果表明：一維信號在小波去噪后，信號變得比加如噪聲后，好很多；二維圖片加噪聲后的圖像，小波去噪效果對比均值濾波、巴斯低通濾波、指數低通濾波、梯形低通濾波的效果，二維小波的去噪效果很好，其實在小波去噪的過程中，可以使其去噪效果更好，這個需要對小波閥值進行深入的研究，可以找出去噪效果更好的小波去噪。

參考文獻

[1]徐暢.有關小波在圖像去噪處理中的應用[OL].論文網.

[2]基于小波變換的圖像去噪算法的研究[OL].道客巴巴.

[3]章毓晉.數字圖像處理和分析技術[D].清華大學，2004.

[4]謝杰成，張大力，徐文立.小波圖象去噪綜述[J].中國圖象圖形學報，2002，7（3）：209-217.

[5]侯建華.基于小波及其統計特性的圖像去噪方法研究[D].華中科技大學，2007，2（3）：14-21

[6]郇正良.基于小波變換的紋理圖象分割算法研究[D].山東科技大學，2003.

[7]高成.Matlab數字圖像處理[M].機械工業出版社，2009.

[8]飛思科技產品研發中心編著.Matlab輔助小波分析與應用[M].電子工業出版社，2003.