淺談對稱思想在數學解題中的應用

【摘要】數學問題中，對稱是一類較常見的問題。如數的對稱、式的對稱、圖形的對稱，而利用對稱的性質來解決有關數學問題又是數學思想方法的重要體現。教學中常常啟發學生用對稱思想思考數學問題，對增強學生解決數學問題的能力，啟迪心智，大有裨益。

【關鍵詞】對稱思想；數學；教學；解題思想

對稱是自然界和人類社會中普遍存在的形式之一，是其運動、變化和發展的規律之一。人們在認識和解決具有對稱或對等以及反對等性的問題過程中產生和形成的思想、方法，我們稱之為對稱思想方法；數學家們用數學的思想、方法解決這類問題所產生和形成的思想與方法，我們稱之為數學對稱思想方法。

對一個整體，若存在可互換的諸部分，在數學上稱為“對稱”。

用“對稱”的原理去解決某些數學問題稱為“對稱的思想方法”。在中學數學中，主要有四種對稱形式：①關于某個點的中心對稱；②關于某條直線的軸對稱；③關于某個平面的平面對稱；④多項式對稱。現在的各類考試中經常有這類的求解，下面筆者結合自身的教學實際，談談對稱的思想方法在數學解題中的一些具體應用。

一、求已知點的對稱點的問題

⑴點P（x0，y0）關于點（a，b）的對稱點P'（x'，y'），可由中點坐標公式求得：

⑵點P（x0，y0）關于直線的對稱點P'（x'，y'），可由PP'及PP'的中點在直線上，得到關于x'，y'的方程組：

由此解得：

特別地，點P（x0，y0）關于①x軸和y軸的對稱點分別是P'（x0，-y0）和P'（-x0，y0）；②關于直線x=a和y=a的對稱點分別是P'（2a-x0，y0）和P'（x0，2a-y0）；③關于直線y=x和y=-x的對稱點分別是P'（y0，x0）和P'（-y0，-x0）。熟記這些結論，可以簡化運算，提高解題速度。

例1：已知長方形的四個頂點A（0，0）、B（2，0）、c（2，1）、D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA、和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）。設P4的坐標為（x4，0），若1

分析：借助對稱進行轉化，兼用一般化與特殊法。注意到當P4點P0與重合時，則點P3、P2、P1應為DA、CD、BC的中點，此時，點P1的坐標為，則，所以，選項中只有（C）符合條件，所以選（C）。

反思：依據單選題的特點，將點P4特殊化為P0（1，0），將P0鏡面反射回到P0，由此得到tan取值區間的右端點為，四個選項中只有C有此端點，所以選（C）

例2：原點關于直線8x+6y=25的對稱點坐標是（ ）。

分析：設對稱點坐標為（x，y），其兩點連線的斜率與直線8x+6y=25斜率互為負倒數

解一：只需解方程組：

解得：

故對稱點坐標為（4，3），所以選（D）。

解二：用點關于直線的對稱點的坐標公式，得：

即對稱點的坐標為（4，3），所以應選（D）。

二、求二次曲線上點的對稱點的問題

二次曲線的弦的兩端點是關于該弦的中心對稱的，利用這種對稱性，可以將弦的中點坐標轉移到弦的兩端點上來考慮，從而給出與二次曲線弦中點有關問題的簡捷解法。若二次曲線F（x，y）=0的弦PQ的中點為M（x，y），則可設P（x+a，y+b）、Q（x-a，y-b），當弦PQ的斜率k存在時，，進而知P（x+a，y+ka），Q（x-a，y-ka）這樣就將弦中點坐標轉移到了弦的端點上，只要將P、Q的坐標代入F（x，y）=0中，由于坐標的對稱性會給求解帶來極大的方便。

例3：已知定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，記線段AB中點為M。求點M到y軸的最短距離，并求此時點M的坐標。

分析：依據二次曲線上點的對稱點的性質，設M點的坐標為（x，y），則A（x+a，y+b），B（x-a，y-b）。

得：

①

②

③

由①-②，得a=2by

由①+②，得b2=x-y2 ④

從而有a2=4y2（x-y2） ⑤

將④、⑤代入③，整理得點M的軌跡方程為。

等號當且僅當時，即時成立。

故點M到y軸的最短距離為，此時點M的坐標為。

三、求已知曲線的對稱曲線的問題

在求已知曲線F（x，y）=0（關于已知點或已知直線）的對稱曲線方程時，只要用曲線F（x，y）=0上任意一點（x，y）（關于已知點或已知直線）的對稱點的坐標替換方程F（x，y）=0中相應的坐標即得。

（1）知曲線F（x，y）=0關于點（x，y）對稱的曲線方程為F（2x0-x，2y0-y）=0

（2）已知曲線關于直線f（x，y）=Ax+By+C=0對稱的曲線方程為：

特別地，對曲線F（x，y）=0

①其關于x軸和y軸的對稱的曲線方程分別是F（x，-y）=0和F（-x，y）=0

②其關于直線x=a和y=a的對稱曲線方程分別是分別F（2a-x，y）=0和F（x，2a-y）=0

③其關于直線y=x和y=-x的對稱曲線方程是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0

例4：如果函數y=sin2x+acos2x的圖象關于直線對稱，那么a等于 。

分析：運用對稱的思想方法解。

設：F（x，y）=sin2x+acos2x-y=0

由于曲線F（x，y）=0關于直線對稱，所以曲線F（x，y）=0上的點關于直線的對稱點必在曲線F（x，y）=0上，于是有，解得，a=-1。

例5：已知橢圓C與橢圓關于直線x+y=1對稱，則橢圓C的方程是 。

分析：運用對稱的思想方法，在橢圓C上任取一點（x，y），關于直線x-y=1對稱的點（-y，-x）在已知橢圓上，即，所以橢圓C的方程為。

四、求奇、偶函數的有關對稱的問題

眾所周知，一個函數是奇（或偶）函數的充要條件是它的圖象關于原點（或）對稱。由此還可以得到一個有用的性質：奇函數在和上具有相同的單調性，偶函數在和上具有相反的單調性。

例6：已知函數是奇函數，并且在上（0，a）是減函數，判斷函數在上（-a，0）的增減性，并加以證明。

分析：依據奇函數關于原點對稱這一性質，由已知可畫出草圖，根據圖象可作出直觀判斷，進而作邏輯證明。

解：∵在（0，a）上是減函數，依據奇函數圖象關于原點對稱。

∴在（-a，0）上也是減函數。

證明：設x1，x2∈（-a，0）且x1

∵在（0，a）上是減函數

∴

又∵是奇函數

∴

∴，∴

∴在（-a，0）上是減函數。

五、求互為反函數的有關對稱問題

由互為反函數的函數和的圖象關于直線y=x對稱可知，若點（a，b）在函數的圖象上，則點（b，a）必在其反函數的圖象上，反之亦然，這是解題中的一個有用的性質。

例7：將y=2的圖象（ ）。

A、先向左平移1個單位 B、先向右平移1個單位

C、先向上平移1個單位 D、先向下平移1個單位

再作關于直線y=x對稱的圖象，可得到函數y=log2（x+1）的圖象

分析：運用對稱方法進行求解。因為指數函數與對數函數互為反函數，其圖象是關于直線y=x對稱的，而y=log2（x+1）的反函數為，所以y=log2（x+1）關于直線y=x對稱的函數是y=2x-1，所以答案為（D）。

六、結語

每種現象的一切方面（而且歷史在不斷地揭示出新的方面）相互依存，極其密切而不可分地聯系在一起，這種聯系形成統一的、有規律的世界運動過程。因此，站在對稱思想的哲學高度去研究解決這類問題的規律和數學方法，有利于認識、分析相關問題，達到遵循對稱規律、簡化問題、縮短解決問題的進程之目的

數學對稱不僅僅是邏輯推理的工具和計算工具，它更是一種思想工具，有著哲學方法論的深遠意義：教學中充分發揚其思想方法論的價值，學生在學習中就會獲得高層次的數學能力、具備較高綜合素質；利用其思想方法去搞其他研究、分析和解決實際問題，將會獲得豐厚的收益。自然界中許多事物都呈現對稱性，在數學學習和研究中更是如此。重視對稱性的應用并且恰當地利用對稱性，可以為我們提供解題思路，幫助我們簡化數學中的計算和證明。

參考文獻

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作者簡介：吳建濤（1970—），男，無錫機電高等職業技術學校講師，主要研究方向：高職數學教學。