淺談如何面對高中函數綜合題

函數的綜合問題，涉及到的知識點比較多，綜合性比較強，屬于中、高檔題目，是對學生的能力和素質檢驗的重要途徑。學生在高考過程中，遇到這類問題最容易丟分。為了幫助學生更好的把握這類問題，在高考中取得好成績，我把對這類問題的理解與看法與大家分享：

一、考查函數的實際應用問題

這類題目以社會實際生活為背景，設問新穎、靈活。解答這類問題的一般步驟：

1、讀題（文字語言）。

2、審題（函數模型與數學關系）：理解題意，把握其中的數學本質。

3、建模（數學語言）：分析題中變量間的數學關系，建立相應的數學模型，將實際應用問題轉化為數學問題。

4、解模（求解數學問題）：用數學知識與方法解決轉化出的數學問題。

5、還原（還原成實際問題的解答）：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論。

同學們對這個步驟可能比較清楚，但在解決函數實際問題的使用過程中，還應著重注意以下幾點：

（1）注意實際問題中所設自變量的實際意義，即所建函數模型的定義域來自兩個方面的限制條件：一是使解析式有意義，二是題目的實際意義。對于沒有表明定義域的函數，我們認為其定義域是使函數解析式有意義的所有自變量的取值，若此時恰好與函數的定義域一致，可以不標，否則是錯誤的。

（2）正確建立函數關系后，要分析所建函數解析式的特點，根據其特點，選擇恰當的解題方法，要注意通性通法的使用，如常見的求函數值域的方法：配方法和求導法等。

例：某公司生產某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總投入滿足函數：

其中，x為月產量。

1.將利潤表示為月產量x的函數f（x）。

2.當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？

（總收入═總成本+利潤）

解題提示：此題關鍵是根據題設條件建立數學模型，進而得到函數解析式，特別注意由定義域的不同，得到不同解析式。由“總收入═總成本+利潤”知“利潤═總收入-總成本”。由于R（x）是分段函數，所以利潤也要分段求出。分別求出利潤在各段中的最大值，通過比較，就能確定利潤的最大值。

二、函數與其他知識相結合的綜合問題

解決函數的綜合問題，要認真分析、處理好各種關系，加深對函數的基礎知識系統的整體把握，深入理解有關概念，正確運用有關性質，抓住函數的本質特征。解題時，一般選擇恰當的變量，構建函數關系，利用函數知識與函數方法解決問題，常見的類型有：

（1）與不等式聯系：利用函數的單調性解不等式，利用函數的最值求不等式中有關參數問題；

（2）與數列聯系：數列是一種特殊的函數，以函數的觀點解決數列的最值問題是常見的解題方法，要注意自變量取值為正整數這一限制條件；

（3）與解析幾何聯系：利用題設條件得到的等量關系，確定函數關系式，明確自變量，借助曲線本身對自變量的限制，確定函數的定義域，然后求解函數的值域，從而明確一些范圍問題的解決；

（4）函數與方程的綜合問題：研究方程的解的實質是確定函數圖像與x軸交點的位置問題，可以看做是函數圖像的一種特殊狀態，這類問題考察的熱點是方程解的討論或方程解的條件，常以二次方程或對數方程中含有參數的問題出現，關鍵是運用相關知識和方法把問題轉化為混合組處理，尤其注意等價轉化的思想。

故滿足條件的實數 不存在.

總之，認識函數與其它不同數學表達方式之間具有密切的聯系，并能解決這些聯系問題。解決這些問題要用到數學思想，并且或淺析推理，或證明計算……通過對這類問題的體驗，能提高學生的綜合運用能力，使學生實實在在地感受到數學的本質，是使他們對數學充滿興趣和信心的動力，這樣才能更好地在高考中取得好成績。