數(shù)學(xué)期望與經(jīng)濟(jì)生活

摘 要：概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué)，數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量總體取值的平均水平的一個(gè)重要的數(shù)字特征。概率問題與我們的生活緊密聯(lián)系，在經(jīng)濟(jì)生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數(shù)學(xué)期望來解決。通過幾個(gè)例子將數(shù)學(xué)期望與經(jīng)濟(jì)生活中的問題結(jié)合，用具體實(shí)例說明利用數(shù)學(xué)期望方法解決經(jīng)濟(jì)生活中的經(jīng)濟(jì)決策的可行性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)生活的經(jīng)濟(jì)決策問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)期望；統(tǒng)計(jì)規(guī)律；經(jīng)濟(jì)生活

中圖分類號(hào)：F224 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2013）17-0194-02

一、數(shù)學(xué)期望的由來及定義

（一）數(shù)學(xué)期望的由來

17世紀(jì)的歐洲，貴族中盛行賭博。當(dāng)時(shí)法國有一位非常偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家帕斯卡（大氣壓強(qiáng)的單位就是以此人的名字命名的），他的兩位貴族朋友也喜歡賭博。一日，兩人各拿出等額的資金進(jìn)行賭博。他們玩了一種游戲，在一局游戲中，他們勝出的概率是一樣大的，也就是說，這種游戲是完全靠運(yùn)氣的。兩人約定，誰先贏滿5局，誰就贏得所有賭金。在甲贏了4局，乙贏了3局時(shí)，一突發(fā)事件使得賭局不得不中止，這時(shí)有一個(gè)非常現(xiàn)實(shí)的問題是，賭金該怎樣分。他們將這個(gè)問題交給了帕斯卡，帕斯卡并沒有立即給出答案。而是與法國另外一位大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬進(jìn)行討論。那么，他們是怎樣解決這個(gè)問題的呢？

（二）定義

數(shù)學(xué)期望（mathematical expectation）簡(jiǎn)稱期望，又稱均值，是概率論中一項(xiàng)重要的數(shù)字特征，在經(jīng)濟(jì)管理工作中有著重要的應(yīng)用。本文通過探討數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)和實(shí)際問題中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用，以期起到讓學(xué)生了解知識(shí)與人們實(shí)際生活緊密聯(lián)系的豐富底蘊(yùn)，切身體會(huì)到“數(shù)學(xué)的確有用”。

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）.即E（X）=

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f（x），若積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X），即E（X）=

3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y=g（X）（g是連續(xù)函數(shù)）.

（i）如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為P{X=xk}，k=1，2，….P{X=xk}，k=1，2，….若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則有E（Y）=E[g（X）]=

（ii）如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為f（x），若絕對(duì)收斂，則有E（Y）=E[g（X）]=

二、數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)生活中的一些應(yīng)用

（一）資金投資問題

怎樣使自己袋里的錢能夠“生出”錢來？并且可能“生出”更多的錢。近年來，投資理財(cái)已成為大眾生活的熱門話題之一，人們都希望通過一定的方式使自己的家庭資產(chǎn)獲得最大收益。面對(duì)五花八門的投資理財(cái)，我們?cè)撊绾巫鞒鰶Q策？決策方案即將數(shù)學(xué)期望最大的方案作為最佳方案加以決策。它幫助人們?cè)趶?fù)雜的情況下從可能采取的方案中做出選擇和決定。具體做法為：如果知道任一方案Ai（i=1，2，…m）在每個(gè)影響因素Sj（i=1，2，…m）發(fā)生的情況下，實(shí)施某種方案所產(chǎn)生的盈利值及各影響因素發(fā)生的概率，則可以比較各個(gè)方案的期望盈利，從而選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。

例1 某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票；一是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，若經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好可以獲利4萬元，形勢(shì)中等可獲利1萬元，形勢(shì)不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為8%，可得利息8 000元；又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問選擇哪一種方案可使投資的效益最大？

解：由題設(shè)可知，在經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好和中等的情況下，購買股票是合算的；但如果經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，那么采取存銀行的方案合算。然而現(xiàn)實(shí)是不知道哪種情況會(huì)出現(xiàn)，因此，要比較兩種投資方案獲利的期望大小。

購買股票的獲利期望是E1=4×0.3+1×0.5+（-2）×0.2=

1.3（萬元）

存入銀行的獲利期望是E2=0.8（萬元）

因?yàn)镋1>E2，所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應(yīng)采取購買股票的方案。

（二）保險(xiǎn)問題

購買保險(xiǎn)是我們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中非常重要的一件事情，高額的賠償金是我們選擇各類保險(xiǎn)的一個(gè)重要理由。通過本題的計(jì)算，我們可改變一下平時(shí)的看法，我們并不是保險(xiǎn)的最大受益者。

例2 據(jù)統(tǒng)計(jì)，在一年內(nèi)健康的人死亡率為2‰，保險(xiǎn)公司開展保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，參加者每年支付20元保險(xiǎn)金，若一年內(nèi)死亡，公司賠償A元（A>20元），問A應(yīng)為多少，才能是保險(xiǎn)公司獲益？

解：設(shè)隨機(jī)變量X為保險(xiǎn)公司從每一個(gè)參加保險(xiǎn)者處獲得的凈收益，X的概率分布為：

要是，得到20

（三）超市抽獎(jiǎng)問題

買彩票、摸獎(jiǎng)、有獎(jiǎng)銷售中的高額大獎(jiǎng)刺激人心，每個(gè)人都期望自己擁有那份幸運(yùn)，然而事實(shí)真如我們所期望的那樣嗎？通過下面計(jì)算期望值可以看出，這一切活動(dòng)我們都應(yīng)少參加，三思而后行。

例3 某超市現(xiàn)有一批快到期的日用產(chǎn)品急需處理，超市老板設(shè)計(jì)了免費(fèi)抽獎(jiǎng)活動(dòng)來處理掉這些產(chǎn)品。紙箱中裝有20個(gè)大小相同的球，10個(gè)10分，10個(gè)5分，從中摸出10個(gè)球，摸出的10個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和即為中獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)，獲獎(jiǎng)如下：

一等獎(jiǎng)1 000分，冰箱一臺(tái)，價(jià)值2 500元

二等獎(jiǎng)50分，電視機(jī)一臺(tái)，價(jià)值 1 000元

三等獎(jiǎng)95分，洗發(fā)精8瓶，價(jià)值178元

四等獎(jiǎng)55分，洗發(fā)精4瓶，價(jià)值88元

五等獎(jiǎng)60分，洗發(fā)精2瓶，價(jià)值44元

六等獎(jiǎng)65分，牙膏一盒，價(jià)值8元

七等獎(jiǎng)70分，洗衣粉一袋，價(jià)值5元

八等獎(jiǎng)85分，香皂一塊，價(jià)值3元

九等獎(jiǎng)90分，牙刷一把，價(jià)值2元

十等獎(jiǎng)70分與80分為優(yōu)惠獎(jiǎng)，僅收成本價(jià)22元，將獲得洗發(fā)精一瓶。

解：表面上看整個(gè)活動(dòng)都是對(duì)顧客有利的，一等獎(jiǎng)到九等獎(jiǎng)都是白得的，只有十等獎(jiǎng)才收取一點(diǎn)成本價(jià)。但經(jīng)過分析可以知道商家真的就虧損了嗎？顧客就真能從中獲得抽取大獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)嗎？摸出10個(gè)球的分值只有11中情況，用X表示摸獎(jiǎng)?wù)攉@得的獎(jiǎng)金金額數(shù)，一等獎(jiǎng)等分100分，其對(duì)應(yīng)事件，

X的取值為2 500、1 000、176、88、44、8、5、3、2、-22，概率可以類似求出，其概率分布為=-10.098

表明商家在每一次的抽獎(jiǎng)中將獲得10.098元，而平均每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)叨蓟?0.098元來享受這種免費(fèi)的抽獎(jiǎng)。從而可以看出顧客真的就占到了大便宜了嗎？相反，商家采用這種方法不僅把快要到期的商品處理出去了，而且還為超市大量集聚人氣，不愧為一舉多得。此百貨超市老板運(yùn)用數(shù)學(xué)期望估計(jì)出了他不會(huì)虧損而做了這個(gè)免費(fèi)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，最后一舉多得。從中也看出了數(shù)學(xué)期望這一科學(xué)的方法在經(jīng)濟(jì)決策中的重要性。

從上面的例子可以看出，數(shù)學(xué)期望與我們的經(jīng)濟(jì)生活有著緊密聯(lián)系，通過它我們可以更好地解決生活中的許多問題，作出科學(xué)準(zhǔn)確的決策。當(dāng)然，除了上述的例子外，還有很多實(shí)際例子，需要我們?cè)谝院蟮娜粘Ｉ钪腥グl(fā)現(xiàn)。