淺談“用函數觀點看一元二次方程”

摘 要：人教版九年級：“用函數觀點看一元二次方程”，是代數與幾何知識有機結合的亮點；是初、高中數學知識的銜接點，是初中數學的重要內容，是學業水平考試的重點考察內容之一。用函數觀點看一元二次方程要把握以下兩點：一是用函數思想看方程；二是用方程思想看函數。

關鍵詞：二次函數；一元二次方程；數學思想方法

二元一次方程是初中階段最重要的一個代數知識，對二次函數與一元二次的教學，許多教師都感到難以把握，綜合其原因主要有如下兩點：一是本節教學內容牽扯到了的知識點較多，有相當數量的學生對舊的知識點掌握本身就不是特別牢固，教師對教學的深淺度不太容易把握；二是本節運用了各種教學方法，有函數、方法、類比、分類討論、數形結合思想等，這都是初中數學中對學生所要培養的重要思想。可以說本節內容是初中代數各種知識與思想的集中展現，是初中代數內容的一個總結。

“用函數觀點看一元二次方程”，是代數與幾何知識有機結合的一個亮點，是初中、高中知識的一個銜接點，是初中數學的重要內容，是初中學業水平考試重點考察的內容之一，因此，全面掌握二次函數的基礎知識和基本技能，并能分析和解決有關二次函數的綜合問題，合理利用他們之間代數關系是學生必備知識。

一、二次函數與一元二次方程的聯系

方程和函數有著不可分割的聯系，用函數觀點看一元二次方程要把握好以下兩點：1、用函數的思想看方程；即函數值y=0（即圖像上的點在x軸上），函數即轉化為一元二次方程方程的解即為拋物線與x軸交點的橫坐標。2、用方程的思想看函數；即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，這兩點間的距離AB=|x1-x2|，另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）-A|（A為其中一點的橫坐標；當b2-4ac=0，圖像與軸只有一個交點；當b2-4ac<0，圖像與x軸沒有交點，當a>0時，圖像落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖像落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0。

二、還需要掌握用待定系數法求二次函數的解析式

（一）當題給條件為已知圖像經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）。

（二）當題給條件為已知圖像的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a（x-h）2+k。

（三）當題給條件為已知圖像與軸的兩個交點坐標時，可設解析式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）

二次函數知識很容易與其他知識綜合應用，形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是初中學業水平考試的熱點考題，往往以壓軸題的形式出現。

三、二次函數與一元二次方程的綜合解題

初中代數中的二次函數與一元二次方程的關系十分密切。我們在教學學習時，以熟練地蔣這兩部份知識相互轉化。二次函數y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0從形式上看十分相似，但兩者之間既有聯系又有區別。當拋物線的y的值為0時，就得到一元二次方程。拋物線與x軸是否有交點就取決于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況。

例1、求拋物線y=x2+6x+9與x軸的兩個交點。

【分析】令y=0，根據y=x2+6x+9的根來確定拋物線與x軸的交點的橫坐標。

解：令y=0，則x2+6x+9=0的解方程得：x1=3，x2=-3

∴拋物線y=x2+6x+9與x軸的兩個交點坐標為：（3，0）（-3，0）

例2、已知二次函數

（1）y=x2+2x+k-1若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍。

（2）若拋物線的頂點在x軸上，求k的取值。

【分析】此題的關鍵是利用二次函數與一元二次方程的關系來解，當拋物線與軸有兩個不同的交點，可利用b2-4ac>0來確定k的取值范圍。當拋物線的頂點在x軸上，說明拋物線與x軸只有一個交點，可利用b2-4ac=0來確定k的取值。解： x2+2x+k-1=0

（1）△=22-4（k-1）=4-4 k+4=8-4 k>0

∴當k<2時，拋物線與x軸有兩個不同的交點。

（2）△=8-4 k=0 ∴當k=2時，拋物線的頂點在x軸上。

例3、已知函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，那么關于x的方程ax2+bx+2=0的根的情況（ ）

A、無實數根 B、 有兩個相等的實數根C、 有兩個異號實數根 D、有兩個同號不等實數根

【解析】因為ax2+bx+c+2=0

所以 ax2+bx+c=-2，設y1=ax2+bx+c， y2=-2，因為 y1=ax2+bx+c，的圖像如圖2，-3<-2<0，所以 x1>0， x2>0 且 x1≠x2

所以方程ax2+bx+2=0有兩個同號不等的實數根。選D。

評析：本題解題的關鍵是通過把方程ax2+bx+2=0與拋物線y1=ax2+bx+c比較后，把已知方程轉化為兩個函數值相等的形式，再利用這兩個函數圖像的交點的橫坐標就是這個方程的解的關系，來判別方程兩實數根的情況。

總之，教學和學習這節內容，要充分運用以下兩種思想方法：一是函數與方程的思想，用變量和函數來思考問題的方法就是函數思想，函數思想是函數概念、圖像和性質等更高層次的提練和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出帶有觀念的指導方法；二是數形結合思想，在中學數學里，我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數問題可以幾何化、幾何問題可以代數化，“數”和“形”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。在學生理解二次函與一元二次方程的聯系的基礎上，能夠運用二次函數及其圖像、性質去解決現實生活中一些問題。進一步培養學生綜合解題的能力，在整個這個章節學習過程中始終滲透數形結合的思想，更體現了學數學的重要意義。是教學難點，相信通過教師采取積極的教學策略，定會取得滿意的教學效果。

參考文獻：

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[3]云南教育2012年中考面對面（陜西科學技術出版社）.

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