淺談“垂直”空間觀念的有效構建

摘 要：在圖形與幾何的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。垂直概念的學習要讓學生經歷多種感官參與的擺一擺、折一折、畫一畫等操作活動，在活動中內化垂直的概念，并有效構建垂直的空間觀念，培養學生的幾何直觀能力，感受垂直在生活中的應用價值。

關鍵詞：整合；操作；構建；垂直空間觀念

“垂直與平行”這一內容是在學生學過直線和角的知識的基礎上進行學習的，本課內容屬于“圖形與幾何”領域的概念。《義務教育數學課程標準》明確指出：“在圖形與幾何的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。”為此，幾何概念的學習要讓學生通過多種感官參與操作活動，逐步內化概念，建立空間觀念，發展學生的幾何直觀能力。本課時的教學，不但要使學生理解垂直的概念，更為重要的是，要讓學生經歷擺一擺、折一折、畫一畫等操作活動，內化垂直的概念，并有效構建垂直的空間觀念，培養學生的幾何直觀能力，感受垂直在生活中的應用價值。

經歷了《垂直》這一內容的教學實踐，對課堂中如何有效構建垂直的空間觀念有所感悟，下面就談談自己的所思所悟。

一、在教材有機整合的過程中，強調構建垂直的空間觀念

人教版教材把“垂直”和“平行”兩個概念編排在第一課時內同時進行教學；第二課時編排學習畫垂線，認識“點到直線的距離”；第三課時編排學習畫平行線，理解“平行線之間的距離處處相等”。同一課時內編排“垂直”和“平行”兩個概念，以往的教學設計偏重于“平行”概念的教學，特別是“同一平面”的內化往往成為這課時的難點，而對“垂直”概念的理解和內化比較單薄。教學實踐證明，在同一課時內教學兩個抽象的幾何概念，對于小學中年級的學生，在概念的理解和內化上是有一定困難的，同時垂直和平行的空間觀念構建是不到位的，因此需要對教材內容進行整合。

由于垂直現象在生活中十分普遍，如校園里的單杠、云梯以及學生已經知道長方形和正方相鄰的邊形成的是直角，可見學生的大腦中已經積累了許多垂直的表象。為了更有效地開展教學，我對學生進行了教學前測，通過前測我們發現學生對垂直的相關認知并非一片空白。其中，對于垂直的判斷和垂直的生活經驗測試效果較好，而對于兩條直線的位置關系表達不清晰，同時垂直概念的描述上也存在一定的困難。由此可見，從理解同一平面內兩條直線的位置關系，即相交和不相交入手，在理解相交的基礎上，抓住垂直概念的本質屬性，引導學生理解并內化垂直的概念，進而構建垂直的空間觀念是本課教學的核心。

根據以上分析，我對教材的內容進行了有機整合，把“垂直”概念的學習及相關垂直的知識點整合在一課時進行學習，留有足夠的課堂學習時間讓學生經歷擺小棒、折紙片、畫垂線等操作活動，進而發展學生垂直的空間觀念。這種線性的教學設計，把垂直概念的理解和內化、垂直空間觀念的構建、垂線畫法的探究、垂直價值的感悟進行有機的整合，尊重了學生的學習起點，又遵循了數學知識內在的邏輯結構。

二、在理解垂直概念的過程中，逐步構建垂直的空間觀念

小學幾何概念教學要遵循學生的心理特征和認識規律，讓學生經歷：感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質屬性、語言符號表征、概念內化五個階段。教學中應幫助學生抓住概念的本質屬性，溝通概念之間的內在聯系，在內化概念的過程中，逐步構建空間觀念。為此，在本課教學時，引導學生借助具體的圖形進行兩次分類，在分類和操作的過程中循序漸進，逐層展開垂直概念的學習。

第一次層次，在初步感知垂直概念的階段，讓學生通過想一想、畫一畫、分一分等操作活動，經歷兩條直線在同一平面內位置關系的探究過程。首先借助學生動手畫出的兩條直線的具體圖形進行第一次分類，也就是感知具體對象階段。在分類過程中，使學生理解“相交”和“不相交”的含義，為進一步研究“垂直”做好知識的準備。如圖1：

在學生理解“相交”的基礎上，從探究兩條直線相交時的共同特征入手，引導學生觀察，進行第二次分類，嘗試建立“垂直”的表象。通過直角的驗證活動及討論，使學生對垂直概念的本質屬性——“垂直相交”有了直觀的感性認識和積累，這個環節就是抽象本質屬性階段。在此基礎上再進行互相垂直、垂線、垂足等概念的學習，語言符號表征階段便水到渠成。這樣，學生經歷了對同一平面內兩條直線位置關系的兩次分類，不但認識了“相交”和“不相交”，理解了垂直的含義，還初步建立了垂直的空間觀念。

第二層次，在學生通過二次分類理解“垂直”概念后，及時安排畫兩條互相垂直直線的活動，不但為后面的垂線畫法教學做好鋪墊，更是借助垂線畫法的討論使得學生對互相垂直的本質——兩條直線相交成直角有進一步的理解。畫兩條互相垂直的直線，使得垂直的空間觀念在學生頭腦中逐步清晰，同時垂線的畫法與垂直的概念緊密結合。然后用字母a，b表示兩條直線，說說兩條直線的位置關系，則是對垂直、垂線和垂足知識的進一步理解和鞏固。

第三層次，動態展示同一平面內兩條直線位置關系的整理過程（如圖3）。借助多媒體的動態展示，使得垂直知識的邏輯結構整體呈現，溝通了垂直與相交之間的內在聯系，即垂直是一種特殊的相交。其中，對于垂直的變式判斷，進一步加深了對垂直這一概念本質屬性的理解，有利于學生構建正確的垂直空間觀念。

這樣先借助具體表象感悟概念，再通過動手操作理解概念的本質屬性，最后動態演示溝通概念之間的聯系和區別，這種層層推進的教學設計，使得數學知識的內在邏輯結構和學生的認知規律有效結合，在學生對垂直概念不斷理解的過程中，學生頭腦中垂直的空間觀念也就逐步建立了。

三、在擺、折、畫等操作過程中，有效發展垂直的空間觀念

人們對幾何圖形的認識，首先是根據生活實踐的經驗，依靠直觀觀察、比較、分析、概括而形成的。心理學的研究還表明，空間觀念的建立一般是多種感覺器官共同活動的結果。《義務教育數學課程標準解讀》明確指出：生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發展學生空間觀念的有效途徑。因此，在學生初步理解垂直的概念后，安排了擺一擺、折一折、畫一畫這三個操作活動，旨在讓學生通過操作活動積累活動經驗，從而內化垂直概念，發展垂直的空間觀念。

擺一擺的活動，具體環節如下：

1.擺一擺

（1）用兩根小棒在桌面上擺出互相垂直的情況；學生獨立完成，同桌互相檢驗。

（2）同桌合作，在桌面上擺出互相垂直的情況。

（3）同桌合作，在空間中用兩根小棒擺出互相垂直的情況，想一想，可以怎樣來擺？

讓學生借助頭腦中垂直的表象，通過自己擺一擺，同桌合作擺一擺等環節，把抽象的垂直概念進行物化，同時把在桌面上擺小棒延伸到空間擺小棒，讓學生初步體驗同一平面的不同情況，進一步拓展了學生的空間觀念。

折一折的活動，具體環節如下：

2.折一折

師：把這張正方形的紙片折一折，使兩條折痕互相垂直，可以怎么折？

學生嘗試；匯報交流；探索不同的方法。

師：大家折的方法盡管不相同，但在折的過程中有什么相同的地方嗎？

折紙活動，再次把學生頭腦中的垂直表象進行物化，借助折出互相垂直的折痕的活動讓學生積累創造垂直的經驗。對不同折紙方法的探索，使得學生頭腦中垂直的表象更為豐富，垂直的空間觀念不斷發展。對不同折法共同特征的討論，讓學生充分感悟到垂直的本質屬性是相交出現了直角。這種半抽象的操作活動需要學生頭腦中垂直表象的支撐，在學生思考、想象的過程中鞏固了學生垂直的空間觀念。

畫一畫的活動，具體環節如下：

3.畫一畫

（1）學生嘗試畫垂線。

師：剛才大家折出了兩條互相垂直的折痕，現在要來畫兩條互相垂直的直線。這里有三組練習，請你自己選擇一組，先想象垂線在什么位置，再按要求畫一畫。

畫出已知直線的垂線；過直線上一點畫出它的垂線；過直線外一點畫出它的垂線。

（2）同桌交流畫垂線的方法。

（3）全班匯報展示。

師：你是怎么畫的？把你的畫法給大家說一說。

（4）教師小結。

師：我們先放一把直尺，與已知直線相交，再借助三角板的直角使得直尺與直線相交成直角，最后沿著直尺的邊沿把這條垂線畫出來，最后標上直角符號。

通過畫一畫的活動，讓學生經歷借助直尺和三角板共同畫垂線的過程。在學生畫垂線時，先要求學生想象垂線在哪里，然后再動手畫，這樣，當學生頭腦中能呈現垂線正確的位置時，學生大腦皮層中垂直的表象已經建立，垂直的空間觀念得到了增強。同時，三個題組的設計，讓不同的學生在練習中得到不同的發展，更好地體現了新課標的理念。

由此可見，上面三個環節中學生經歷具體、半抽象、抽象三個層次的操作活動，學生在動手、動腦，多種感官參與動手操作的過程中，加深了對垂直概念的理解，垂直的空間觀念不斷得到發展，同時也讓學生積累了基本的數學活動經驗。

通過“垂直”這課的教學實踐，我感悟到只要符合數學知識的邏輯結構，尊重學生的學習起點和認知規律，有機整合教學內容，抓住幾何概念教學的核心環節——內化概念，通過分層有效的操作活動，垂直的空間觀念一定會不斷發展，幾何直觀能力就會逐步提高。

（作者單位 浙江省余姚市實驗學校）