例談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“反例”的運(yùn)用

本文的“反例”是指教師在教育實踐中收集的例題的典型誤解、重要知識點的典型錯誤認(rèn)識。所謂典型是指它有豐富的教學(xué)價值，通過分析對例題的錯解、知識點的錯誤認(rèn)識，能夠揭示出解題的規(guī)律和方法，從而幫助學(xué)生掌握重要的知識點，鞏固學(xué)生所學(xué)知識的薄弱環(huán)節(jié)。反例具有典型、精制、簡練的特點。

數(shù)學(xué)教學(xué)中時常會遇到這樣的情況：一些數(shù)學(xué)知識若學(xué)生從正面去思考十分困惑時，教師仍從正面解釋顯然是難以奏效。這個時候就需要借助反例的力量。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的錯誤不能單純依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，舉反例的教學(xué)方式常常能使學(xué)生興趣盎然，直觀、簡潔的反例更使人拍案叫絕。正如數(shù)學(xué)家蓋爾鮑母所指出的那樣：一個數(shù)學(xué)問題用一個反例予以解決給人的刺激猶如一場好戲。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，反例與正面示范同樣重要，它對訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新思維起著舉足輕重的作用。下面就談?wù)勗谛W(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中怎樣運(yùn)用反例。

一、在概念內(nèi)涵豐富時反例的運(yùn)用

內(nèi)涵豐富是指關(guān)于概念的本質(zhì)屬性比較多。因為小學(xué)生的感知不全面、不精細(xì)，理解這類知識時，可能因教師揭示其本質(zhì)的方式不當(dāng)，致使學(xué)生常常丟掉了新知中部分本質(zhì)屬性，從而產(chǎn)生錯誤的認(rèn)識。此時可舉反例，幫學(xué)生找回被丟掉的部分本質(zhì)屬性，明晰概念的真正內(nèi)涵，使學(xué)生獲得正確的知識。而小學(xué)生的感知具有范圍窄小、不精確等特點，小學(xué)生很難同時注意幾件事物，常會出現(xiàn)“丟三落四”的現(xiàn)象，所以對一個有豐富內(nèi)涵的概念來說，學(xué)生在感知過程中，可能只會抓住感知對象的部分本質(zhì)特征，而丟掉另外一部分本質(zhì)特征，形成錯誤的概念。

例如，一個小數(shù)，從小數(shù)部分的某一位起，一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。依次不斷地反復(fù)出現(xiàn)，這兩個條件缺一不可，在幫助學(xué)生理解循環(huán)小數(shù)的概念時，可以出示這樣的反例：0.19191919 和3.1415926…，0.19191919雖然重復(fù)出現(xiàn)了四次，但不符合依次不斷這個條件，而3.1415926…符合了依次不斷的條件，可不符合重復(fù)出現(xiàn)這個條件，所以這兩個小數(shù)都不是循環(huán)小數(shù)。

通過舉這樣的兩個反例就能使學(xué)生很好地理解循環(huán)小數(shù)這個概念，知道作為循環(huán)小數(shù)，依次不斷和反復(fù)出現(xiàn)這兩個條件必須都滿足，缺一不可。所以，當(dāng)學(xué)生對內(nèi)涵豐富的知識感知不全時可通過教學(xué)反例，凸顯所學(xué)知識中易為學(xué)生忽視的本質(zhì)屬性，促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的全面認(rèn)識和深刻理解。

二、在概念易向鄰近概念泛化時反例的運(yùn)用

小學(xué)數(shù)學(xué)同其他學(xué)科相比，具有更高的抽象性、概括性，而小學(xué)生的感知特點是不能一下子看出事物的主要方面或特征，以及事物各部分之間的聯(lián)系。小學(xué)生在認(rèn)識的最初階段容易產(chǎn)生錯誤，在數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)中，相近的或相互聯(lián)系的知識，學(xué)生更容易混淆，在心理學(xué)上稱為“痕跡性錯誤”，主要是指因舊知識痕跡的影響而發(fā)生的錯誤。概念泛化即指學(xué)習(xí)概念過程中痕跡錯誤的發(fā)生過程。此時可通過舉反例否定學(xué)生的錯誤認(rèn)識，澄清相鄰概念的區(qū)別和聯(lián)系。

例如，判斷下面命題正確與否。

（1） 兩個因數(shù)相乘，當(dāng)其中的一個因數(shù)小于 1 時，乘得的積必定小于另一個因數(shù)。

（2）兩個數(shù)相除，當(dāng)除數(shù)小于 1 時，所得的商必定大于被除數(shù)。

很多學(xué)生在做這樣的兩道判斷題時，很容易都把它們當(dāng)作是正確的命題，這時教師就可以及時出示反例：當(dāng)另一個因數(shù)為 0 時， 0 乘以任何數(shù)都為 0 ，顯然第（1）個命題是錯誤的；當(dāng)被除數(shù)為 0 時，得到的數(shù)為0，顯然小于除數(shù)，第（2）個命題也是錯的。

通過舉反例很容易就把這樣的謬論否定了，不但學(xué)生容易理解，也幫助他們在未來的學(xué)習(xí)中排除了干擾信息。

三、當(dāng)練習(xí)中出現(xiàn)消極思維定式時反例的運(yùn)用

思維定式是人們長期形成的一種習(xí)慣思維。這種習(xí)慣是學(xué)生經(jīng)由一定思維活動訓(xùn)練形成的一種固定的習(xí)慣。學(xué)生在解決問題的時候常常會被這種思維方式所束縛，不能多方面、多角度地去思考、分析和解決問題，導(dǎo)致思維固化。因此在課堂教學(xué)中，教師在要盡量克服教學(xué)方法的呆板性，要提倡和鼓勵學(xué)生向權(quán)威挑戰(zhàn)。一是向教師挑戰(zhàn)，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，允許學(xué)生發(fā)表與教師不同的意見和觀點；二是鼓勵學(xué)生向課本挑戰(zhàn)，鼓勵學(xué)生提出與課本不同的看法。

小學(xué)生的思維還處在具體形象向抽象邏輯過渡的階段，他們看問題往往是片面的，容易被事物的表象迷惑。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的錯誤不能單純依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，而發(fā)散思維提倡思維發(fā)散于不同的方向，從不同的方面進(jìn)行思考問題，則可以培養(yǎng)學(xué)生多角度、全方面地觀察問題的能力。因此舉反例的教學(xué)方式常常能使學(xué)生興趣盎然，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力。

例如，學(xué)生容易受乘法分配律m（a+b）=ma+mb的影響，得出錯誤的類推：m÷（a+b）=m÷a+m÷b。針對這種問題，教師只要舉出反例：當(dāng)m=30，a=2，b=3時，30÷（2+3）=30÷5=6，30÷2+30÷3=15+10=25，所以30÷（2+3）≠30÷2+30÷3。從而糾正學(xué)生的錯誤認(rèn)識。

又如，對于錯誤命題“兩個質(zhì)數(shù)相加，和一定是偶數(shù)。”只要舉例“2+3=5”，即可推斷其命題是錯誤的。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)從正面講清概念、性質(zhì)、法則、公式等基礎(chǔ)知識，認(rèn)清知識的正面形態(tài)，還應(yīng)從反面誘導(dǎo)學(xué)生弄清易于混淆和失誤之處，使之在反例的“牛痘”接種下，增強(qiáng)認(rèn)知的免疫功能，因為只有這樣學(xué)生才能牢固掌握知識，并加深對數(shù)學(xué)的理解。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時地引進(jìn)一些反例或適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，還能促使學(xué)生在不斷辯證中深化，提高學(xué)生全面地分析問題和判斷問題的能力，有利于激發(fā)和活躍學(xué)生的思維，從而使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到不斷地發(fā)展。

四、當(dāng)解題過程中被表面現(xiàn)象干擾時反例的運(yùn)用

解決數(shù)學(xué)問題是按照一定的思維對策進(jìn)行的一個思維過程，在這個過程中一步步接近目標(biāo)，并最終達(dá)到目標(biāo)。小學(xué)生看問題常常被事物的表象所迷惑而干擾他們對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，此時可舉反例，排除干擾，揭示本質(zhì)。

例如，在教學(xué)低年級段的解決問題時，由于學(xué)生經(jīng)常見到“賣掉、吃掉、用了”就用減法，因此不管問題求什么，他們只要看到題中的數(shù)據(jù)就用減法。因此在復(fù)習(xí)課上我出示了這道題目：一輛公共汽車到臨時停靠站有9人下車，這時車上有19人，原來車上有多少人？不出所料，很多學(xué)生的算式是19-9=10（人）。于是我就讓一位學(xué)生說說自己的想法，他的理由果然是下車后車上的人變少了，所以用減法。有一位學(xué)生反駁道：“如果車上原來有10人，下車9人，那么車上只剩下一人了，怎么會19人呢？”通過討論大家終于得出了結(jié)論：在解決問題的過程中，一定要認(rèn)真審題，分析已知條件是什么，題目要求的是什么。只有這樣才能找到正確的解題方法。

又如，教學(xué)簡便計算時，有部分學(xué)生對“先乘除，后加減”的理解有偏差，經(jīng)常拿到題目不管三七二十一就急于簡便計算。于是在練習(xí)課上，我出示兩道題：（1）200÷25×4；（2）25×4÷25×4。部分學(xué)生很快說出得數(shù)是2和1，這下引來了大家的爭議，我便抓住時機(jī)，讓他們說說誰對誰錯，并說出理由。經(jīng)過討論，大家得出了一致的結(jié)論：錯誤的原因是計算順序弄錯了，算式只有乘除法時，是按照從左往右的順序進(jìn)行計算的。接著我把這兩道算式改一下：（1）200÷25÷4；（2）25×4÷25÷4。讓學(xué)生進(jìn)行簡便計算。學(xué)生通過計算、對比、討論，知道了做計算題也需要認(rèn)真審題，不能被表面現(xiàn)象所干擾。

五、當(dāng)反饋矯正時反例的運(yùn)用

當(dāng)學(xué)生解題出現(xiàn)錯誤和漏洞時，他們也能從反例中受到啟發(fā)，自主發(fā)現(xiàn)，從而獲得正確的結(jié)論。

例如，教學(xué)三年級上冊“分米的認(rèn)識”時，出示一篇數(shù)學(xué)日記：早上我從2分米的床上起來，拿起12分米長的牙刷，擠出1分米長的牙膏刷牙，然后拿起14分米長的筷子吃飯，接著和1分米高的弟弟一起上學(xué)去。走了1200毫米遠(yuǎn)的路來到學(xué)校，坐在5米高的凳子上，拿出12毫米長的鉛筆和5分米厚的練習(xí)本，開始做練習(xí)。學(xué)生讀了這篇數(shù)學(xué)日記后哈哈大笑，主動地去修改日記中長度的錯誤用法。

美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾說過：“影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去教學(xué)。”此例是我從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)自身的內(nèi)涵與魅力來吸引學(xué)生，學(xué)生經(jīng)歷了改正錯誤的過程后就會區(qū)分米、分米、厘米和毫米的關(guān)系，并且感受到數(shù)學(xué)在生活中無處不在。

六、當(dāng)教學(xué)遇到難點時可運(yùn)用反例

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)密的學(xué)科，是由知識點編制而成的穩(wěn)固的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，當(dāng)原有的知識結(jié)構(gòu)接受一個新的知識點時，學(xué)生若是只憑感覺理所當(dāng)然地去理解，往往會“失之毫厘，謬以千里”。因此在課堂教學(xué)中遇到教學(xué)難點時，教師不僅要運(yùn)用正確的例子深刻闡明新的知識，還要適時地引用一些反例，將難化易，促使學(xué)生在不斷辯證中深化、完善數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生分析理解知識以及正確判斷、運(yùn)用知識的能力。

例如，在教學(xué)圓的周長和面積時，部分學(xué)生表示很難理解，這時可以出示一個例子：直徑是4厘米的圓，它的面積與周長相等。學(xué)生給出了兩種答案：一部分學(xué)生認(rèn)為是對的，都等于12.56；另一部分學(xué)生認(rèn)為是錯的，好像面積與周長不能比較。此時可以組織學(xué)生研究討論，從面積與周長的意義、表現(xiàn)形式等方面來分析，使學(xué)生在主動參與研究的過程中充分體驗到“研究者、探索者、發(fā)現(xiàn)者”的快樂，從而積極找出錯誤的原因。

建構(gòu)主義理論指出：學(xué)生的錯誤不能單純依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正。舉反例的教學(xué)方式常常能使學(xué)生興趣盎然，直觀、簡潔的反例往往使人拍案叫絕。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)善于應(yīng)用反例教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深化認(rèn)知。

反例在教學(xué)中雖處于輔助教學(xué)的地位，但它是培養(yǎng)學(xué)生主動性和能力的一種手段，是教師和學(xué)生共同活動的對象，是講解知識的一種方法，它有利于學(xué)生更好地掌握各種數(shù)學(xué)理論知識，豐富和加深學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)理論的理解，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理有比較清晰的認(rèn)識，它還能發(fā)展學(xué)生的綜合分析能力和創(chuàng)造力，激發(fā)學(xué)生積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、靈活性、求異性、深刻性、創(chuàng)造性，幫助學(xué)生克服思維定式，從而實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。誠然，在小學(xué)課堂教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例，必能收到事半功倍的教學(xué)效果。

（責(zé)編 金 鈴）